高考数学限时训练导数的应用中学教育高考_中学教育-高考.pdf

学习必备 欢迎下载 A 级 课时对点练(时间：40 分钟 满分：70 分)一、填空题(每小题 5 分，共 40 分)1函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是_ 解析：f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令 f(x)0，解得 x2.答案：(2，)2已知函数 f(x)x33(4m1)x2(15m22m7)x2 在实数集 R 上是增函数，则实数 m 的取值范围是_ 解析：f(x)x22(4m1)x15m22m7，依题意，知 f(x)在 R 上恒大于或等于 0，所以 4(m26m8)0，得 2m4.答案：2,4 3(江苏省高考命题研究专家原创卷)设 mR，若函数 yex2mx 有大于零的极值点，则 m 的取值范围是_ 解析：因为函数 yex2mx，有大于零的极值点，所以 yex2m0 有大于零的 实根 令 y1ex，y22m，则两曲线的交点必在第一象限由图象可得2m1，即 m 12.答案：m0 或 a1 时，在 xa 处取得极小值，当1a0 时，f(x)0，f(x)0，则函数 yxf(x)的递增区间是 学习必备 欢迎下载 _ 解析：当 x0 时，yxf(x)f(x)xf(x)0，yxf(x)在(0，)上递增 又 f(x)为奇函数，yxf(x)为偶函数，yxf(x)在(，0)上递减 答案：(0，)6(2010 常州五校联考)已知函数 f(x)x312x8 在区间3,3上的最大值与最小值分 别为 M，m，则 Mm_.解析：令 f(x)3x2120，得 x2 或 x2 列表得：x 3(3，2)2(2,2)2(2，3)3 f(x)0 0 f(x)17 极大值24 极小值8 1 可知 M24，m8，Mm32.答案：32 7设 aR，若函数 yeax3x，xR 有大于零的极值点，则 a 的取值范围是_ 解析：yaeax3，由 y0，得 x1aln 3a，3a0，a0.又有正根，必有 a0，03a1，得 a3.答案：a3 8(江苏省高考命题研究专家原创卷)定义在(0，)上的函数 f(x)的导函数 f(x)0恒成立，且 f(4)1，若 f(xy)1，则 x2y22x2y 的最小值是_ 解析：由 f(x)在(0，)上的导函数 f(x)0 恒成立，得 f(x)在(0，)上单调递减 因为 f(xy)1，f(4)1，则 f(xy)f(4),所以 x，y 满足 xy4 且 x0，y0.又因为 x2y22x2y(x1)2(y1)22，(x1)2(y1)2可以看作是(x，y)到(知函数在实数集上是增函数则实数的取值范围是解析依题意知在上恒大于或等于所以得答案江苏省高考命题研究专家原创卷设若函数有大于零的极值点则的取值范围是解析因为函数有大于零的极值点所以有大于零的实根令则两曲线函数图象知当或时在处取得极小值当时在处取得极大值故答案已知为奇函数且当时则函数的递增区间是学习必备欢迎下载解析当时在上递增又为奇函数为偶函数在上递减答案常州五校联考已知函数在区间上的最大值与最小值分别为答案江苏省高考命题研究专家原创卷定义在上的函数的导函数恒成立且若则的最小值是解析由在上的导函数恒成立得在上单调递减因为则所以满足且又因为可以看作是到学习必备欢迎下载的距离的平方所以由线性规划知识可得的最学习必备 欢迎下载 1，1)的距离的平方，所以由线性规划知识可得 x2y22x2y 的最小值是 16.答案：16 二、解答题(共 30 分)9(本小题满分 14 分)(2010 全国)已知函数 f(x)(x1)ln xx1.(1)若 xf(x)x2ax1，求 a 的取值范围；(2)证明：(x1)f(x)0.(1)解：f(x)x1xln x1ln x1x，xf(x)xln x1.题设 xf(x)x2ax1 等价于 ln xxa.令 g(x)ln xx，则 g(x)1x1.当 0 x1 时，g(x)0；当 x1 时，g(x)0，x1 是 g(x)的最大值点，g(x)g(1)1.综上，a 的取值范围是1，)(2)证明：由(1)知，g(x)g(1)1，即 ln xx10.当 0 x1 时，f(x)(x1)ln xx1xln x(ln xx1)0；当 x1 时，f(x)ln x(xln xx1)ln xxln x1x1 ln xxln 1x1x1 0.所以(x1)f(x)0.10(本小题满分 16 分)某轮船公司争取一个相距 1 000 公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船平均载客人数为 400 人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为 25 公里/小时，当轮船的速度为 10 公里/小时，它的燃料费用是每小时 30 元，轮船的其余费用(与速度无关)都是每小时 480 元，若公司打算从每个乘客身上获利 10 元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格 解：设轮船航行速度为 v 公里/小时，则 0v25.又设总费用为 y 元，则 y4801 000v1 000v av3.(其中 a 为比例系数)由条件 30a 103，所以 a3100.代入上式有 知函数在实数集上是增函数则实数的取值范围是解析依题意知在上恒大于或等于所以得答案江苏省高考命题研究专家原创卷设若函数有大于零的极值点则的取值范围是解析因为函数有大于零的极值点所以有大于零的实根令则两曲线函数图象知当或时在处取得极小值当时在处取得极大值故答案已知为奇函数且当时则函数的递增区间是学习必备欢迎下载解析当时在上递增又为奇函数为偶函数在上递减答案常州五校联考已知函数在区间上的最大值与最小值分别为答案江苏省高考命题研究专家原创卷定义在上的函数的导函数恒成立且若则的最小值是解析由在上的导函数恒成立得在上单调递减因为则所以满足且又因为可以看作是到学习必备欢迎下载的距离的平方所以由线性规划知识可得的最学习必备 欢迎下载 y480 000v30v2，v(0,25，所以 y480 000v260v60 v38 000v2 令 y0，解得 v20.当 v20 时，y0；当 v20 时，y0，又 v20 是(0,25内唯一极值点且是极小值点，于是，当 v20 时，y 有最小值 36 000 元所以平均每 个乘客的费用为36 00040090(元)因此，该公司可定票价为 100 元 B 级 素能提升练(时间：30 分钟 满分：50 分)一、填空题(每小题 5 分，共 20 分)1若函数 f(x)xasin x 在 R 上递增，则实数 a 的取值范围为_ 解析：f(x)1acos x，要使函数f(x)xasin x 在 R 上递增，则 1acos x0对任意实数 x 都成立 1cos x1，当 a0 时aacos xa，a1，0a1；当 a0 时适合；当 a0 时，aacos xa，a1，1a0.综上，1a1.答案：1,1 2若函数 h(x)2xkxk3在(1，)上是增函数，则实数 k的取值范围是_ 解析：h(x)2kx2，h(x)在(1，)上恒大于等于 0，即 2kx20，即 k 2x2在(1，)上恒成立，故 k2(1)22.答案：2，)3把函数 f(x)x33x 的图象 C1向右平移 u 个单位长度，再向下平移 v 个单位长度后 得到图象 C2，若对任意 u0，曲线 C1与 C2至多只有一个交点，则 v 的最小值为 _ 解析：令 f(x)3x230，得 x 1，函数f(x)x33x 在 x 1 处取得极值，且 f(1)2，f(1)2，函数知函数在实数集上是增函数则实数的取值范围是解析依题意知在上恒大于或等于所以得答案江苏省高考命题研究专家原创卷设若函数有大于零的极值点则的取值范围是解析因为函数有大于零的极值点所以有大于零的实根令则两曲线函数图象知当或时在处取得极小值当时在处取得极大值故答案已知为奇函数且当时则函数的递增区间是学习必备欢迎下载解析当时在上递增又为奇函数为偶函数在上递减答案常州五校联考已知函数在区间上的最大值与最小值分别为答案江苏省高考命题研究专家原创卷定义在上的函数的导函数恒成立且若则的最小值是解析由在上的导函数恒成立得在上单调递减因为则所以满足且又因为可以看作是到学习必备欢迎下载的距离的平方所以由线性规划知识可得的最学习必备 欢迎下载 f(x)的图象如图所示，图象 C1经平移后得到 C2，对任意u0，曲线 C1与 C2至多只有一个交点，则 C2的极大值必须小于或等于 C1的极小值，即 2v2，v4.答案：4 4f(x)ax33x1 对于 x1,1总有 f(x)0 成立，则 a_.解析：若 x0，则不论 a 取何值，f(x)0 都成立；当 x0 即 x(0,1时，f(x)ax33x10 可化为 a3x21x3，设 g(x)3x21x3，则 g(x)3 12xx4，所以 g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1 上单调递减，因此 g(x)maxg124，从而 a4；当 x0 即 x 1,0)时，f(x)ax33x10 可化为 a3x21x3，g(x)3x21x3在区间1,0)上单调递增，因此 g(x)ming(1)4，从而 a4，综上 a4.答案：4 二、解答题(共 30 分)5(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)x2eax(a0)，求函数在1,2上的最大值 解：f(x)x2eax(a0)，f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x)令 f(x)0，得 eax(ax22x)0，解得 0 x2a.f(x)在(，0)，2a，上是减函数，在0，2a上是增函数 当 02a2 时，f(x)在(1,2)上是减函数，f(x)maxf(1)ea.当 12a2，即 1a2 时，f(x)在1，2a上是增函数，在2a，2 上是减函数，f(x)maxf2a4a2e2.当2a2，即 0a1 时，f(x)在(1,2)上是增函数，f(x)maxf(2)4e2a.综上所述，当 0a2 时，f(x)的最大值为 ea.5(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)x3ax2bx.(1)若函数 yf(x)在 x2 处有极值6，求 yf(x)的单调递减区间；(2)若 yf(x)的导数 f(x)对 x1,1都有 f(x)2，求ba1的范围 解：(1)由题知，f(x)3x22axb.依题意有 f 2 0，f 2 6，即 124ab0，84a2b6.解得 a52，b2.f(x)3x25x2，由 f(x)0，得13x，yf(x)的单调递减区间是13，2.(2)由 f 1 32ab2，f 1 32ab2，得 2ab10，2ab10.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示 由 2ab10，2ab10，得 a0，b1.Q 点的坐标为(0，1)设 zba1，则 z 表示平面区域内的点(a，b)与点 P(1,0)连线的斜率易知 kPQ1.由图可知 z1 或 x2，即ba1(，2)1，)6(本小题满分 16 分)(2010 课标全国)设函数 f(x)ex1xax2.知函数在实数集上是增函数则实数的取值范围是解析依题意知在上恒大于或等于所以得答案江苏省高考命题研究专家原创卷设若函数有大于零的极值点则的取值范围是解析因为函数有大于零的极值点所以有大于零的实根令则两曲线函数图象知当或时在处取得极小值当时在处取得极大值故答案已知为奇函数且当时则函数的递增区间是学习必备欢迎下载解析当时在上递增又为奇函数为偶函数在上递减答案常州五校联考已知函数在区间上的最大值与最小值分别为答案江苏省高考命题研究专家原创卷定义在上的函数的导函数恒成立且若则的最小值是解析由在上的导函数恒成立得在上单调递减因为则所以满足且又因为可以看作是到学习必备欢迎下载的距离的平方所以由线性规划知识可得的最学习必备 欢迎下载(1)若 a0，求 f(x)的单调区间；(2)若当 x0 时 f(x)0，求 a 的取值范围 解：(1)a0 时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当 x(，0)时，f(x)0；当 x(0，)时，f(x)0.故 f(x)在(，0)上单调减少，在(0，)上单调增加(2)f(x)ex12ax.由(1)知 ex1x，当且仅当 x0 时等号成立 故 f(x)x2ax(12a)x，从而当 12a0，即 a12时，f(x)0(x0)，而 f(0)0，于是当 x0 时，f(x)0.由 ex1x(x0)可得 ex1x(x0)从而当 a12时，f(x)ex12a(ex1)ex(ex 1)(ex2a)，故当 x(0，ln 2a)时，f(x)0，而 f(0)0，于是当 x(0，ln 2a)时，f(x)0.不符要求 综合得 a 的取值范围为，12.知函数在实数集上是增函数则实数的取值范围是解析依题意知在上恒大于或等于所以得答案江苏省高考命题研究专家原创卷设若函数有大于零的极值点则的取值范围是解析因为函数有大于零的极值点所以有大于零的实根令则两曲线函数图象知当或时在处取得极小值当时在处取得极大值故答案已知为奇函数且当时则函数的递增区间是学习必备欢迎下载解析当时在上递增又为奇函数为偶函数在上递减答案常州五校联考已知函数在区间上的最大值与最小值分别为答案江苏省高考命题研究专家原创卷定义在上的函数的导函数恒成立且若则的最小值是解析由在上的导函数恒成立得在上单调递减因为则所以满足且又因为可以看作是到学习必备欢迎下载的距离的平方所以由线性规划知识可得的最