高三数学理科二轮专题六第三讲立体几何中的向量方法中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

学习必备 欢迎下载 第三讲 立体几何中的向量方法 研热点（聚焦突破）类型一 利用空间向量证明位置关系 设直线 l 的方向向量为 a(a1，b1，c1)，平面 ，的法向量分别为 u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)线面平行 laua u0a1a3b1b3c1c30.(2)线面垂直 lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3.(3)面面平行 uvukva3ka4，b3kb4，c3kc4.(4)面面垂直 uvu v0a3a4b3b4c3c40.例 1(20XX 年高考福建卷)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E 为 CD 的中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的长；若不存在，说明理由 解析(1)证明：以 A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设 ABa，则 A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E(a2，1，0)，B1(a，0，1)，故AD1(0，1，1)，B1E(a2，1，1)，AB1(a，0，1)，AE(a2，1，0)学习必备 欢迎下载 AD1 B1Ea2 01 1(1)10，B1EAD1.(2)假设在棱 AA1上存在一点 P(0，0，z0)，使得 DP平面 B1AE.此时DP(0，1，z0)又设平面 B1AE的法向量 n(x，y，z)n平面 B1AE，nAB1，nAE，得axz0，ax2y0.取 x1，得平面 B1AE 的一个法向量 n(1，a2，a)要使 DP平面 B1AE，只要 nDP，有a2az00，解得 z012.又 DP 平面 B1AE，存在点 P，满足 DP平面 B1AE，此时 AP12.跟踪训练 向量为平面的法向量分别为线面平行线面垂直面面平行面面垂直例年高考福建卷如图在长方体为的中中点求证在棱明理由上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说解析证明以为原点的方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直个法向量要使平面只要有解得又平面存在点满足平面此时跟踪训练学习必备欢迎下载如图在圆锥中已知的直径是的中点为的中点证明平面平面证明如图所示以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则设是平面的一个用空间向量求角向量法求异面直线所成的角若异面直线的方向向量分别为异面直线所成的角为则向量法求线面所成的角求出平面的法向量直线的方向向量设线面所成的角为则向量法求二面角求出二面角的两个半平面与的法向量若二学习必备 欢迎下载 如图，在圆锥 PO 中，已知 PO 2，O 的直径AB2，C 是AB的中点，D 为 AC 的中点证明：平面 POD平面 PAC.证明：如图所示，以 O 为坐标原点，OB，OC，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，D(12，12，0)设 n1(x1，y1，z1)是平面 POD 的一个法向量，则由 n1OD0，n1OP0，得12x112y10，2z10.所以 z10，x1y1.取 y11，得 n1(1，1，0)设 n2(x2，y2，z2)是平面 PAC 的一个法向量，则由 n2PA0，n2PC0，得x2 2z20，y2 2z20.所以 x2 2z2，y2 2z2，取 z21，得 n2(2，2，1)因为 n1 n2(1，1，0)(2，2，1)0，向量为平面的法向量分别为线面平行线面垂直面面平行面面垂直例年高考福建卷如图在长方体为的中中点求证在棱明理由上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说解析证明以为原点的方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直个法向量要使平面只要有解得又平面存在点满足平面此时跟踪训练学习必备欢迎下载如图在圆锥中已知的直径是的中点为的中点证明平面平面证明如图所示以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则设是平面的一个用空间向量求角向量法求异面直线所成的角若异面直线的方向向量分别为异面直线所成的角为则向量法求线面所成的角求出平面的法向量直线的方向向量设线面所成的角为则向量法求二面角求出二面角的两个半平面与的法向量若二学习必备 欢迎下载 所以 n1n2.从而平面 POD平面 PAC.类型二 利用空间向量求角 1向量法求异面直线所成的角 若异面直线 a，b的方向向量分别为 a，b，异面直线所成的角为 ，则 cos|cos a，b|a b|a|b|.2向量法求线面所成的角 求出平面的法向量 n，直线的方向向量 a，设线面所成的角为 ，则 sin|cos n，a|n a|n|a|.3向量法求二面角 求出二面角 l 的两个半平面 与 的法向量 n1，n2，若二面角 l 所成的角 为锐角，则 cos|cos n1，n2|n1 n2|n1|n2|；若二面角 l 所成的角 为钝角，则 cos|cos n1，n2|n1 n2|n1|n2|.例 2(20XX 年高考辽宁卷)如图，直三棱柱 ABCA B C，BAC90，ABACAA，点 M，N 分别为 A B 和 B C 的中点(1)证明：MN平面 A ACC；(2)若二面角 A MNC 为直二面角，求 的值 解析(1)证明：证法一 连接 AB，AC，由已知BAC90，ABAC，三棱柱 ABCA B C 为直三棱柱，所以 M 为 AB 的中点 又因为 N 为 BC的中点，所以 MNAC.又 MN平面 A ACC，AC平面 AACC，因此 MN平面 A ACC.向量为平面的法向量分别为线面平行线面垂直面面平行面面垂直例年高考福建卷如图在长方体为的中中点求证在棱明理由上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说解析证明以为原点的方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直个法向量要使平面只要有解得又平面存在点满足平面此时跟踪训练学习必备欢迎下载如图在圆锥中已知的直径是的中点为的中点证明平面平面证明如图所示以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则设是平面的一个用空间向量求角向量法求异面直线所成的角若异面直线的方向向量分别为异面直线所成的角为则向量法求线面所成的角求出平面的法向量直线的方向向量设线面所成的角为则向量法求二面角求出二面角的两个半平面与的法向量若二学习必备 欢迎下载 证法二 取 A B 的中点 P，连接 MP，NP.而 M，N 分别为 AB与 B C 的中点，所以 MPAA，PNA C，所以 MP平面 AACC，PN平面 A ACC.又 MP NPP，因此平面 MPN平面AACC.而 MN平面 MPN，所以 MN平面 A ACC.(2)以 A 为坐标原点，分别以直线 AB，AC，AA 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示 设 AA1，则 ABAC，于是 A(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，0)，A(0，0，1)，B(，0，1)，C(0，1)，所以 M(2，0，12)，N(2，2，1)设 m(x1，y1，z1)是平面 A MN 的法向量 由m AM0，m MN0得2x112z10，2y112z10，可取 m(1，1，)设 n(x2，y2，z2)是平面 MNC 的法向量，由n NC0，n MN0得2x22y2z20，2y212z20，可取 n(3，1，)因为 A-MN-C 为直二面角，所以 m n0.即3(1)(1)20，解得 2(负值舍去)向量为平面的法向量分别为线面平行线面垂直面面平行面面垂直例年高考福建卷如图在长方体为的中中点求证在棱明理由上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说解析证明以为原点的方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直个法向量要使平面只要有解得又平面存在点满足平面此时跟踪训练学习必备欢迎下载如图在圆锥中已知的直径是的中点为的中点证明平面平面证明如图所示以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则设是平面的一个用空间向量求角向量法求异面直线所成的角若异面直线的方向向量分别为异面直线所成的角为则向量法求线面所成的角求出平面的法向量直线的方向向量设线面所成的角为则向量法求二面角求出二面角的两个半平面与的法向量若二学习必备 欢迎下载 跟踪训练(20XX 年长沙模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中，ADBC，ABC90，PD平面 ABCD，AD1，AB 3，BC4.(1)求证：BDPC；(2)求直线 AB与平面 PDC 所成的角的大小；解析：如图，在平面 ABCD 内过点 D 作直线 DFAB，交 BC 于点 F，以 D 为坐标原点，DA、DF、DP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz，则 A(1，0，0)，B(1，3，0)，D(0，0，0)，C(3，3，0)(1)证明：设 PDa，则 P(0，0，a)，DB(1，3，0)，PC(3，3，a)，DBPC330，BDPC.向量为平面的法向量分别为线面平行线面垂直面面平行面面垂直例年高考福建卷如图在长方体为的中中点求证在棱明理由上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说解析证明以为原点的方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直个法向量要使平面只要有解得又平面存在点满足平面此时跟踪训练学习必备欢迎下载如图在圆锥中已知的直径是的中点为的中点证明平面平面证明如图所示以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则设是平面的一个用空间向量求角向量法求异面直线所成的角若异面直线的方向向量分别为异面直线所成的角为则向量法求线面所成的角求出平面的法向量直线的方向向量设线面所成的角为则向量法求二面角求出二面角的两个半平面与的法向量若二学习必备 欢迎下载 (2)由(1)及 PD平面 ABCD 易知 BD平面 PDC，则DB就是平面PDC 的一个法向量 AB(0，3，0)，DB(1，3，0)设 AB与平面 PDC 所成的角的大小为 ，则 sin|DB ABDBAB32 332.0 90，60，即直线 AB与平面 PDC 所成的角的大小为 60.类型三 利用空间向量解决探索性问题 探索性问题的类型(1)对平行、垂直关系的探索；(2)对条件和结论不完备的开放性问题的探索 例 3(20XX 年高考北京卷)如图(1)，在 RtABC 中，C90，BC3，AC6.D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DEBC，DE2，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CCD，如图(2)(1)求证：A1C平面 BCDE；(2)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；(3)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？并说明理由 解析(1)证明：AC BC，DEBC，向量为平面的法向量分别为线面平行线面垂直面面平行面面垂直例年高考福建卷如图在长方体为的中中点求证在棱明理由上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说解析证明以为原点的方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直个法向量要使平面只要有解得又平面存在点满足平面此时跟踪训练学习必备欢迎下载如图在圆锥中已知的直径是的中点为的中点证明平面平面证明如图所示以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则设是平面的一个用空间向量求角向量法求异面直线所成的角若异面直线的方向向量分别为异面直线所成的角为则向量法求线面所成的角求出平面的法向量直线的方向向量设线面所成的角为则向量法求二面角求出二面角的两个半平面与的法向量若二学习必备 欢迎下载 DE AC.DE A1D，DE CD，DE平面A1DC.DE A1C.又 A1C CD，A1C平面 BCDE.(2)如图所示，以 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系 C-xyz，则 A1(0，0，2 3)，D(0，2，0)，M(0，1，3)，B(3，0，0)，E(2，2，0)设平面 A1BE 的法向量为 n(x，y，z)，则 n1AB0，nBE0.又1AB(3，0，2 3)，BE(1，2，0)，3x2 3z0，x2y0.令 y1，则 x2，z 3，设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 .CM(0，1，3)，sin|cosn，CM|n CMnCM48 422.CM 与平面 A1BE 所成角的大小为4.(3)线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直理由如下：假设这样的点 P 存在，设其坐标为(p，0，0)，其中 p0，3 又1AD(0，2，2 3)，DP(p，2，0)，2y2 3z 0，px2y 0.向量为平面的法向量分别为线面平行线面垂直面面平行面面垂直例年高考福建卷如图在长方体为的中中点求证在棱明理由上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说解析证明以为原点的方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直个法向量要使平面只要有解得又平面存在点满足平面此时跟踪训练学习必备欢迎下载如图在圆锥中已知的直径是的中点为的中点证明平面平面证明如图所示以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则设是平面的一个用空间向量求角向量法求异面直线所成的角若异面直线的方向向量分别为异面直线所成的角为则向量法求线面所成的角求出平面的法向量直线的方向向量设线面所成的角为则向量法求二面角求出二面角的两个半平面与的法向量若二学习必备 欢迎下载 令 x 2，则 y p，z p3，m(2，p，p3)平面 A1DP平面 A1BE，当且仅当 m n0，即 4pp0.解得 p2，与 p0，3矛盾 线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 跟踪训练 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，已知 BC1，BB12，BCC12，AB侧面 BB1C1C.(1)求直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正切值；(2)在棱 CC1(不包含端点 C，C1)上确定一点 E 的位置，使得 EAEB1(要求说明理由)解析：如图，以 B 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 B(0，0，0)，C1(1，2，0)，B1(0，2，0)(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，平面 ABC 的法向量1BB(0，2，0)，向量为平面的法向量分别为线面平行线面垂直面面平行面面垂直例年高考福建卷如图在长方体为的中中点求证在棱明理由上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说解析证明以为原点的方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直个法向量要使平面只要有解得又平面存在点满足平面此时跟踪训练学习必备欢迎下载如图在圆锥中已知的直径是的中点为的中点证明平面平面证明如图所示以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则设是平面的一个用空间向量求角向量法求异面直线所成的角若异面直线的方向向量分别为异面直线所成的角为则向量法求线面所成的角求出平面的法向量直线的方向向量设线面所成的角为则向量法求二面角求出二面角的两个半平面与的法向量若二学习必备 欢迎下载 又1BC(1，2，0)，设 BC1与平面 ABC 所成角为 ，则 sin|cos 1BB，1BC|2 55，tan 2，即直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正切值为 2.(2)设 E(1，y，0)，A(0，0，z)，则1EB(1，2y，0)，EA(1，y，z)EAEB1，EA1EB1y(2y)0，y1，即 E(1，1，0)，E 为 CC1的中点 析典题（预测高考）高考真题【真题】(20XX 年高考天津卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明 PCAD；(2)求二面角 APCD 的正弦值；(3)设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30，求 AE的长 【解析】如图(1)，以点 A为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得 向量为平面的法向量分别为线面平行线面垂直面面平行面面垂直例年高考福建卷如图在长方体为的中中点求证在棱明理由上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说解析证明以为原点的方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直个法向量要使平面只要有解得又平面存在点满足平面此时跟踪训练学习必备欢迎下载如图在圆锥中已知的直径是的中点为的中点证明平面平面证明如图所示以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则设是平面的一个用空间向量求角向量法求异面直线所成的角若异面直线的方向向量分别为异面直线所成的角为则向量法求线面所成的角求出平面的法向量直线的方向向量设线面所成的角为则向量法求二面角求出二面角的两个半平面与的法向量若二学习必备 欢迎下载 A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B(12，12，0)，P(0，0，2)(1)证明：易得PC(0，1，2)，AD(2，0，0)，于是PCAD0，所以 PCAD.(2)PC(0，1，2)，CD(2，1，0)设平面 PCD 的法向量 n(x，y，z)，则n PC0，n CD0，即y2z0，2xy0.不妨令 z1，可得 n(1，2，1)可取平面 PAC 的法向量 m(1，0，0)于是 cos m，nm n|m|n|1666，(3)设点 E 的坐标为(0，0，h)，其中 h0，2由此得BE(12，12，h)由CD(2，1，0)，故 cos BE，CD|BE CDBE CD3212h2 531020h2，所以31020h2cos 30 32，解得 h1010，向量为平面的法向量分别为线面平行线面垂直面面平行面面垂直例年高考福建卷如图在长方体为的中中点求证在棱明理由上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说解析证明以为原点的方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直个法向量要使平面只要有解得又平面存在点满足平面此时跟踪训练学习必备欢迎下载如图在圆锥中已知的直径是的中点为的中点证明平面平面证明如图所示以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则设是平面的一个用空间向量求角向量法求异面直线所成的角若异面直线的方向向量分别为异面直线所成的角为则向量法求线面所成的角求出平面的法向量直线的方向向量设线面所成的角为则向量法求二面角求出二面角的两个半平面与的法向量若二学习必备 欢迎下载 即 AE1010.【名师点睛】本题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成的角、直线与平面所成的角等基础知识、考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力难度中等本例第(3)问借助于方程思想及向量法求 AE长最简便 名师押题【押题】如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，DAB 为直角，ABCD，ADCD2AB，E、F 分别为 PC、CD 的中点 (1)求证：AB平面 BEF；(2)设 PAk AB，若平面 EBD 与平面 BDC 的夹角大于 45，求 k的取值范围 解析】(1)证明：由已知得 DF AB，且DAB 为直角，从而 ABBF.又 PA底面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 PAAB.又 ABAD，故 AB平面 PAD，所以 ABPD.在PDC 内，E、F 分别是 PC、DC 的中点，所以 EFPD.所以 ABEF.AB平面 BEF.(2)如图，以 A 为坐标原点，以 AB、AD、AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 设 AB的长为 1，则 BD(1，2，0)，BE(0，1，k2)易知平面 CDB 的一个法向量为 n1(0，0，1)向量为平面的法向量分别为线面平行线面垂直面面平行面面垂直例年高考福建卷如图在长方体为的中中点求证在棱明理由上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说解析证明以为原点的方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直个法向量要使平面只要有解得又平面存在点满足平面此时跟踪训练学习必备欢迎下载如图在圆锥中已知的直径是的中点为的中点证明平面平面证明如图所示以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则设是平面的一个用空间向量求角向量法求异面直线所成的角若异面直线的方向向量分别为异面直线所成的角为则向量法求线面所成的角求出平面的法向量直线的方向向量设线面所成的角为则向量法求二面角求出二面角的两个半平面与的法向量若二学习必备 欢迎下载 设平面 EDB 的一个法向量为 n2(x，y，z)则n2 BD0，n2 BE0，即x2y0，ykz20，则 y1，可得 n2(2，1，2k)设二面角 E-BD-C 的大小为 ，则 cos|cosn1，n2|n1 n2|n1|n2|2k2214k245，则 k2 55.向量为平面的法向量分别为线面平行线面垂直面面平行面面垂直例年高考福建卷如图在长方体为的中中点求证在棱明理由上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说解析证明以为原点的方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直个法向量要使平面只要有解得又平面存在点满足平面此时跟踪训练学习必备欢迎下载如图在圆锥中已知的直径是的中点为的中点证明平面平面证明如图所示以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则设是平面的一个用空间向量求角向量法求异面直线所成的角若异面直线的方向向量分别为异面直线所成的角为则向量法求线面所成的角求出平面的法向量直线的方向向量设线面所成的角为则向量法求二面角求出二面角的两个半平面与的法向量若二