立体几何中的向量方法及详解中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf
立体几何中的向量方法(4)及详 解-向量法求线线角与线面 角(总1 0页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 1 CAL 本页仅作为文档封面，使用请直接删除 i二理科数学 导BC的中点.求异面直线 M/V 与 CD 所成的角 A.30 C.60 班别：_ 学号：_ 姓名：_ 立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角 一、学习目标 1.理解直线与平面所成角的概念.2.掌握利用向量方法解决线线、线而、面而的夹角的求法.二.问题导学 问题1：什么叫异而直线所成的角它的范国是什么怎样用左义法求它的大小 问题2：怎样通过向量的运算来求异而直线所成的角 设k与/2是两异而直线，6 b分别为/丄、/2的方向向量，d/2所成的角为&则6 b）与 d _,COSl?=_ O 问题3：用向量的数疑积可以求异而直线所成的角，能否求线面角 如图，设/为平而Q的斜线，/g=&，a为/的方向向量，n为平而a的法向量，e 为/与a所成的角，抄=a,n）,贝lj sin（p=_ 三.例题探究 例 1如图，M、/V 分别是棱长为 1 的正方体ABCD AECQ的棱刊 T、,则 sin 疗=|cos|a,n ll olVn|n 0,R 二而角 设二而角a-l-6的平而角为 0,平面 a、6 的 法向量为 m，n2 贝 lj|cos|cosm，nJ 1 一|和.|门2 O R 1.求异面直线所成的角 设与/2是两异而直线，、b分别为12的方向向量，/】、12所成的角为 6 则 (a,b)与 0 相等或互补，:、cos0=j!；：线与所成的角二理科数学导班别学号姓名立体几何中的向量方法向量法求线线角与线面角一学习目标理解直线与平面所成角的概念掌握利用向量方法解决线线线而面而的夹角的求法二问题导学问题什么叫异而直线所成的角它的范国向向量所成的角为则与问题用向量的数疑积可以求异而直线所成的角能否求线面角如图设为平而的斜线为的方向向量为平而的法向量为与所成的角抄贝三例题探究例如图分别是棱长为的正方体的棱刊变式在直三棱柱中丄是的中点是值变式如图在四棱锥中底而为直角梯形丄底面且分别为的中点求与平而四练一练时间分钟若平而的法向量为闪直线的方向向量为直线与平而的夹角为则下列关系式成立的是如则与所成角的余弦值是图莎介正三棱柱的所有棱长相等则2.求直线与平而所成的角 如图，设/为平面a的斜线，/Ca=A,a为/的方向向量，n为平而a的法向量，,则 sinp=|cosd|=|cosg n)I=面而 二.问题导学 问题1：什么叫异而直线所成的角它的范羽是什么怎样用左义法求它的大小 问题2：怎样通过向虽的运算来求异而直线所成的角 设/】与/2是两异而直线，a、b分别为人、/2的方向向量，d丿2所成的角为&贝|J6 b与 d _,COSl?=_ O 问題3：用向量的数量积可以求异面宜线所成的角，能否求线面角 如图，设/为平面a的斜线，/W=A，a为/的方向向钛 力为平面a的法向量，为/与a所成的角，0=a,n),贝lj sin=(x,y,z)是平面CBB1C1的法向量,n-AC JlO =-z=-nAC 直线AC与平而BBCC所成角的正弦值为零.即 x+*z=0,线与所成的角二理科数学导班别学号姓名立体几何中的向量方法向量法求线线角与线面角一学习目标理解直线与平面所成角的概念掌握利用向量方法解决线线线而面而的夹角的求法二问题导学问题什么叫异而直线所成的角它的范国向向量所成的角为则与问题用向量的数疑积可以求异而直线所成的角能否求线面角如图设为平而的斜线为的方向向量为平而的法向量为与所成的角抄贝三例题探究例如图分别是棱长为的正方体的棱刊变式在直三棱柱中丄是的中点是值变式如图在四棱锥中底而为直角梯形丄底面且分别为的中点求与平而四练一练时间分钟若平而的法向量为闪直线的方向向量为直线与平而的夹角为则下列关系式成立的是如则与所成角的余弦值是图莎介正三棱柱的所有棱长相等则变式：如图，在四棱锥P-ABCD中，底而为直角梯形，AD/BG Z BAD=90刖丄 底面ABCD.且PA=AD=AB=2BC.M、N分别为PC、PB的中点.求BD与平而ADMN 线与所成的角二理科数学导班别学号姓名立体几何中的向量方法向量法求线线角与线面角一学习目标理解直线与平面所成角的概念掌握利用向量方法解决线线线而面而的夹角的求法二问题导学问题什么叫异而直线所成的角它的范国向向量所成的角为则与问题用向量的数疑积可以求异而直线所成的角能否求线面角如图设为平而的斜线为的方向向量为平而的法向量为与所成的角抄贝三例题探究例如图分别是棱长为的正方体的棱刊变式在直三棱柱中丄是的中点是值变式如图在四棱锥中底而为直角梯形丄底面且分别为的中点求与平而四练一练时间分钟若平而的法向量为闪直线的方向向量为直线与平而的夹角为则下列关系式成立的是如则与所成角的余弦值是图莎介正三棱柱的所有棱长相等则n-/b=O 则曲 n-ArJ=O y=0 得宀=0 取则 cos 訪门 _|eb|n|血5/.sind=|cos晶,n)1 1=所成的角 解析如图所示，建立空间直角坐标系，设BC=1,则74(0,0,0),3(2,0,0),D(OZO),P(0O2),贝lj/V(1A1).晶=(-220),胚=(0,2,0),為=(匕0,1),设平而ADMN的一个法向量为n=(x,y,z),An=(lz0,-1).又 0此90,：.0=30 方法规律总结 用向d方法求异而直线所成的角、线面角、二而角，都是转化为直线的方向向量或 平面的法向量的夹角讣算问题，需注意的是异而直线所成的角02(0,今，故两直线的 方向向量夹角a的余弦值为负时，应取其绝对值；若直线与平而所成的角&直线的 方向向呈:和平面的法向量夹角为则其关系为sim?=|cosp|：若二而角为也两平而 的法向量夹角为a,则|cos训=|cosa|,需分辨角0是锐角还是钝角，可由图形观察得 出，也可由法向量特征得出.线与所成的角二理科数学导班别学号姓名立体几何中的向量方法向量法求线线角与线面角一学习目标理解直线与平面所成角的概念掌握利用向量方法解决线线线而面而的夹角的求法二问题导学问题什么叫异而直线所成的角它的范国向向量所成的角为则与问题用向量的数疑积可以求异而直线所成的角能否求线面角如图设为平而的斜线为的方向向量为平而的法向量为与所成的角抄贝三例题探究例如图分别是棱长为的正方体的棱刊变式在直三棱柱中丄是的中点是值变式如图在四棱锥中底而为直角梯形丄底面且分别为的中点求与平而四练一练时间分钟若平而的法向量为闪直线的方向向量为直线与平而的夹角为则下列关系式成立的是如则与所成角的余弦值是图莎介正三棱柱的所有棱长相等则 四.练一练（时间：5分钟）1.若平而a的法向量为“，直线/的方向向量为v，直线/与平而a的夹角为&则下列关系式成立的是（）uv luvl UV/A8心丽 B.cosy C.s心丽 D.s心丽 答案D 2.如图，ABCD-ArBiCiDi 是正方体,BiEi=DiFi=则 BEi 与 DFi 所成角的余弦值是（15 A.17 8 C 17 C 答案A 解析 5(434),F】(0丄4),则(0,-M),Di=(0,1,4).如图所示,建立空间直角坐标系，设&3=4,则 D(0,0,0),8(4,4),BrDi=0 x0+(-l)xl+4x4=15,BI=179 C B 9耳!/E、矗彷 15 15 矗挤 15 设 BE；与 D 斥所成的角为 6 则 cosJ=|=,混 II赤 I 17 15 即硒与砂所成的角的余弦值为万.故选 A.3正三棱柱ABC-AiBiCi的所有棱长相等，则 ACi 与平面BBiCiC所成角的余 D/-cos 弦值为（）线与所成的角二理科数学导班别学号姓名立体几何中的向量方法向量法求线线角与线面角一学习目标理解直线与平面所成角的概念掌握利用向量方法解决线线线而面而的夹角的求法二问题导学问题什么叫异而直线所成的角它的范国向向量所成的角为则与问题用向量的数疑积可以求异而直线所成的角能否求线面角如图设为平而的斜线为的方向向量为平而的法向量为与所成的角抄贝三例题探究例如图分别是棱长为的正方体的棱刊变式在直三棱柱中丄是的中点是值变式如图在四棱锥中底而为直角梯形丄底面且分别为的中点求与平而四练一练时间分钟若平而的法向量为闪直线的方向向量为直线与平而的夹角为则下列关系式成立的是如则与所成角的余弦值是图莎介正三棱柱的所有棱长相等则 答案B 解析取BC的中点D,连结DCi，可以证明AD平而BB.C.C,则ACiD是ACi与平而BBCC所成的角，皿”#=磊=乎，即 3 平面醐GC所成角的余弦值为乎，故选B.4.已知长方体ABCD-AiBiCiDi中，AB=BC=49 CC】=2,则直线BCi和平而DBBIDL所成 角的正弦值为（）答案C 解析解法一：连结AjCi交于0点，由已知条件得GO丄弘6，且平面 BDDiBi丄平面AiBiCiDi，所以GO丄平面BDDiBi,连结BO,则B0为BG在平而BDDiBi 上的射影，ZC】80即为所求，通过计算得sinZC】BO=,故选C.设平而BDDiBi的法向量为n=(x.y,z),贝ljA、B、yio 4 c、D、yio 2 轴建立空间直角坐标系则 T T T 3(400)、81(4,0,2)0(040).6(042)、G(442),A BCi=(0A2),3D=(440),BB.=线与所成的角二理科数学导班别学号姓名立体几何中的向量方法向量法求线线角与线面角一学习目标理解直线与平面所成角的概念掌握利用向量方法解决线线线而面而的夹角的求法二问题导学问题什么叫异而直线所成的角它的范国向向量所成的角为则与问题用向量的数疑积可以求异而直线所成的角能否求线面角如图设为平而的斜线为的方向向量为平而的法向量为与所成的角抄贝三例题探究例如图分别是棱长为的正方体的棱刊变式在直三棱柱中丄是的中点是值变式如图在四棱锥中底而为直角梯形丄底面且分别为的中点求与平而四练一练时间分钟若平而的法向量为闪直线的方向向量为直线与平而的夹角为则下列关系式成立的是如则与所成角的余弦值是图莎介正三棱柱的所有棱长相等则设所求线面角解析 可利用平面的法向量。5正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点 S 在底面 ABCD 上的射影，P为侧棱 SD 的 中点，且SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 答案30 课堂小结:1.异面直线儿加的方向向量为 6 b,贝叽与加所成的角即为 a、b 所成 的夹角或其补角;2.要求直线/与平面 Q 所成的角，先求出直线的方向向量与平面的法向量 的夹角 0,然后用&=|彳-01 计算出结果即可;2 3.求角过程中注意定义中角的取值范禺，对所得的数量积作相应的调 rrBD=0 4x+4y=0 y=x a,2z=0 c,取 x=l,则 n=(l/l,o).z=0 ”8Bi=0 4 yib=V5=5 I川|BC】|线与所成的角二理科数学导班别学号姓名立体几何中的向量方法向量法求线线角与线面角一学习目标理解直线与平面所成角的概念掌握利用向量方法解决线线线而面而的夹角的求法二问题导学问题什么叫异而直线所成的角它的范国向向量所成的角为则与问题用向量的数疑积可以求异而直线所成的角能否求线面角如图设为平而的斜线为的方向向量为平而的法向量为与所成的角抄贝三例题探究例如图分别是棱长为的正方体的棱刊变式在直三棱柱中丄是的中点是值变式如图在四棱锥中底而为直角梯形丄底面且分别为的中点求与平而四练一练时间分钟若平而的法向量为闪直线的方向向量为直线与平而的夹角为则下列关系式成立的是如则与所成角的余弦值是图莎介正三棱柱的所有棱长相等则整，注意运用图象.问题：用空间向量解决立体儿何问题的步骤是什么（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的 点、直线、平面，把立体儿何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的 距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的儿何意义.线与所成的角二理科数学导班别学号姓名立体几何中的向量方法向量法求线线角与线面角一学习目标理解直线与平面所成角的概念掌握利用向量方法解决线线线而面而的夹角的求法二问题导学问题什么叫异而直线所成的角它的范国向向量所成的角为则与问题用向量的数疑积可以求异而直线所成的角能否求线面角如图设为平而的斜线为的方向向量为平而的法向量为与所成的角抄贝三例题探究例如图分别是棱长为的正方体的棱刊变式在直三棱柱中丄是的中点是值变式如图在四棱锥中底而为直角梯形丄底面且分别为的中点求与平而四练一练时间分钟若平而的法向量为闪直线的方向向量为直线与平而的夹角为则下列关系式成立的是如则与所成角的余弦值是图莎介正三棱柱的所有棱长相等则
