踘排列组合知识点中学教育中学_中学教育-中学课件.pdf

A C B D、.我们打败了敌人。我们把敌人打败了。高考数学概念方法题型易误点技巧总结（十）排列、组合和二项式定理 1.排列数mnA中1,nmnm N、组合数mnC中,1,0,nm nmnm、N.(1)排列数公式 !(1)(2)(1)()()!mnnAn nnnmmnnm L；!(1)(2)2 1nnAnn nn L。如（1）1！+2！+3！+n！（*4,nnN）的个位数字为 （答：3）；（2）满足2886xxAA的x （答：8）(2)组合数公式(1)(1)!()(1)2 1!mmnnmmAnnnmnCmnAmmm nm LL；规定01！，01nC.如已知16mnmnmnCCA，求 n，m的值（答：m n2）(3)排列数、组合数的性质：mn mnnCC；111mmmnnnCCC；11kknnkCnC；1121rnrnrrrrrrCCCCC；!(1)!n nnn ；11(1)!(1)!nnnn.2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合如（1）将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有 种（答：53）；（2）从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合 1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_（答：23）；（4）72 的正约数（包括 1 和 72）共有 个（答：12）；（5）A的一边 AB 上有 4 个点，另一边 AC 上有 5 个点，连同A的顶点共 10 个点，以这些点为顶点，可以构成_个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中 A、B、C、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480）；（7）同室 4 人各写 1 张贺年卡，然后每人从中拿 1 张别人送出的贺年卡，则4 张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9）；（8）f是集合,Ma b c到集合1,0,1N 的映射，且()()f af b()f c，则不同的映射共有 个（答：7）；（9）满足 4,3,2,1CBA的集合 A、B、C 共有 组（答：47）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。如（1）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选择，其中 1 号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_种（答：300）；（2）某银行储蓄卡的密码是一个4 位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如 2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选 0.千位、百位上都能取 0.这样设计出来的密码共有_种（答：100）；（3）用 0，1，2，3，4，5 这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_个（答：156）；（4）某班上午要上语、数、外和体育 4 门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_（答：6）；（5）四个不同的小球全部放入编号为 1、2、3、4 的四个盒中。恰有两个空盒的放法有_种；甲球只能放入第 2 或 3 号盒，而乙球不能放入第 4 号盒的不同放法有_种（答：84；96）；（6）设有编号为 1、2、3、4、5 的五个茶杯和编号为 1、2、3、4、5 的 5 个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_种（答：31）（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(1,2)，(2,1)可以确定三角形的个数为_（答：15）。（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。如（1）把 4名男生和 4 名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_（答：2880）；（2）某人射击枪，命中枪，枪命中中恰好有枪连在一起的情况的不同种数为_（答：20）；（3）把一同排 6 张座位编号为 1，2，3，4，5，6 的电影票全部分给 4 个人，每人至少分 1 张，至多分 2 张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_（答：144）（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。如（1）3 人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_种（答：24）；（2）某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_（答：42）。（5）多排问题单排法。如若 2n 个学生排成一排的排法数为 x，这 2 n 个学生排成前后两排，每排各 n 个学生的排法数为 y，则 x,y 的大小关系为_（答：相等）；（6）多元问题分类法。如（1）某化工厂实验生产中需依次投入 2 种化工原料，现有 5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放.那么不同的实验方案共有_种（答：15）；（2）某公司新招聘进 8 名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_种（答：36）；（3）9 名翻译中，6 个懂英语，4 个懂日语，从中选拨 5 人参加外事活动，要求其中 3 人担任英语翻译，选拨的方法有_种（答：90）；（7）有序问题组合法。如（1）书架上有 3 本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上 2 本不同的书，有 种不同的放法（答：20）；（2）百米决赛有 6 名运动 A、B、C、D、E、F 参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员 A 比运动员 F 先到终点的比赛结果共有_种（答：360）；（3）学号为 1，2，3，4 的四名学生的考试成绩89,90,91,92,93(1,2,3,4)ixi且满足1234xxxx，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_种（答：15）；（4）设集合1,2,3,4,5,6,7,8A，对任意xA，有(1)(2)(3)fff，则映射:fAA的个数是_（答：3588C）；（5）如果一个三位正整数形如“321aaa”满足2321aaaa 且，则称这样的三位数为凸数（如 120、363、374 等），那么所有凸数个数为_（答：240）；（6）离心率等于qplog(其中91,91qp且*,Nqp)的不同形状的的双曲线的个数为_（答：26）。（8）选取问题先选后排法。如某种产品有 4 只次品和 6 只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4 只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_（答：576）。数中排列数公式的个位数字为答满足如的答组合数公式规定如已知求的值答排列数组合数的性质解排列组合问题的依据是分类相加每类方法都能独立地完成这件事它是相互独立的一次的且每次得出的是最后的结果只需一种方法就能才能完成这件事各步是关联的有序排列无序组合如将封信投入个邮筒不同的投法共有种答从台甲型和台乙型电视机中任意取出台其中至少要甲型与乙型电视机各一台则不同的取法共有种答从集中各取一个元素作为点的坐标则在直角这些点为顶点可以构成个三角形答用六种不同颜色把右图中四块区域分开允许同一颜色涂不同区域但相邻区域不能是同一种颜色则共有种不同涂法答同室人各写张贺年卡然后每人从中拿张别人送出的贺年卡则张贺年卡不同的分配方（9）至多至少问题间接法。如从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人，至少有 2 名女同学当选的选法有_种（答：596）（10）相同元素分组可采用隔板法。如（1）10 个相同的球各分给 3 个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；（2）某运输公司有 7 个车队，每个车队的车都多于 4 辆且型号相同，要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成一运输车队，每个车队至少抽 1 辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成 n组问题别忘除以 n！。如 4 名医生和 6 名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到 4 所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_种（答：37440）；5.二项式定理：011()nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b LL，其中组合数rnC叫做第 r+1 项的二项式系数；展开式共有 n+1 项，其中第 r+l 项1(0,1,2,rn rrrnTC abr,)nL称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为 1 时，系数就是二项式系数。如在()naxb的展开式中，第项的二项式系数为rnC，第项的系数为rn rrnC ab；而1()nxx的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当 n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？如（1）371(2)xx的展开式中常数项是_（答：14）；（2）3410(1)(1)(1)xxx L的展开式中的3x的系数为_ （答：330）；（3）数100111的末尾连续出现零的个数是_（答：3）；(4)403(72)x展开后所得的x的 多 项 式 中，系 数 为 有 理 数 的 项 共 有 _ 项（答：7）；(5)若23456161520156(21)xxxxxxxNx且的值能被 5 整除，则x的可取值的个数有_个（答：5）；(6)若,1,0yxxy且二项式9)(yx 按x降幂展开后，其第二项不大于第三项，则x 的取值范围是 （答：(1,)）；(7)函数1010()(1sin)(1sin)f xxx 的最大值是_（答：1024）.6、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mnnmnCC；（2）增减性与最大值：当12nr时，二项式系数 Crn的值逐渐增大，当12nr时,Crn的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当 n 为偶数时，中间一项（第2n1 项）的二项式系数2nnC取得最大值。当 n 为奇数时，中间两项（第21n和21n1 项）的二项式系数1122nnnnCC相等并同时取最大值。如（1）在二项式11(1)x的展开式中，系数最小的项的系数为_（答：426）；（2）在(1)nx的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则n_（答：17,18 或 19）。（3）二项式系数的和：01rnnnCCC L2nnnC L；0213nnnnCCCC 12n。如（1）如果12212222187nnnnnCCC L，则012nnnnnCCCC L （答：128）；（2）化简01223(1)nnnnnCCCnC L（答：1(2)2nn）7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为(1)f、“奇数(偶次)项”数中排列数公式的个位数字为答满足如的答组合数公式规定如已知求的值答排列数组合数的性质解排列组合问题的依据是分类相加每类方法都能独立地完成这件事它是相互独立的一次的且每次得出的是最后的结果只需一种方法就能才能完成这件事各步是关联的有序排列无序组合如将封信投入个邮筒不同的投法共有种答从台甲型和台乙型电视机中任意取出台其中至少要甲型与乙型电视机各一台则不同的取法共有种答从集中各取一个元素作为点的坐标则在直角这些点为顶点可以构成个三角形答用六种不同颜色把右图中四块区域分开允许同一颜色涂不同区域但相邻区域不能是同一种颜色则共有种不同涂法答同室人各写张贺年卡然后每人从中拿张别人送出的贺年卡则张贺年卡不同的分配方系数和为)1()1(21ff，以及“偶数(奇次)项”系数和为)1()1(21ff。如（1）已知9290129(13)xaa xa xa x L，则0129|aaaa L等于_（答：94）；（2）2004220040122004(12)xaa xa xax L，则0102()()aaaa 02004()aaL_（答：2004）；（3）设nnnxaxaxaaxx2222102)1(,则naaa220_（答：213 n）。8、系数最大项的求法：设第r项的系数rA最大，由不等式组11rrrrAAAA确定r。如求3101()2xx的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。（答：系数绝对值最大的项为9215x，系数最大的项为1331058x）9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。如（1）(0.998)5精确到 0.001 近似值为_（答：0.990）；（2）9923331被 4 除所得的余数为_（答：0）；（3）今天是星期一，10045天后是星期_（答：二）；（4）求证：22*389()nnnN能被 64 整除；（5）求证：)2,(2)2(3*1nNnnnn且 数中排列数公式的个位数字为答满足如的答组合数公式规定如已知求的值答排列数组合数的性质解排列组合问题的依据是分类相加每类方法都能独立地完成这件事它是相互独立的一次的且每次得出的是最后的结果只需一种方法就能才能完成这件事各步是关联的有序排列无序组合如将封信投入个邮筒不同的投法共有种答从台甲型和台乙型电视机中任意取出台其中至少要甲型与乙型电视机各一台则不同的取法共有种答从集中各取一个元素作为点的坐标则在直角这些点为顶点可以构成个三角形答用六种不同颜色把右图中四块区域分开允许同一颜色涂不同区域但相邻区域不能是同一种颜色则共有种不同涂法答同室人各写张贺年卡然后每人从中拿张别人送出的贺年卡则张贺年卡不同的分配方