高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义中学教育高考_中学教育-高考.pdf

名师精编 欢迎下载 高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0e1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即 edPF|(0eb0)，参数方程为sincosbyax（为参数）。若焦点在 y 轴上，列标准方程为：12222byay (ab0)。3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆：12222byax，a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(a,0),(0,b),(c,0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为cax2，与右焦点对应的准线为cax2；定义中的比e 称为离心率，且ace，由 c2+b2=a2知 0eb0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的两焦点。若 P(x,y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.5.补充知识点：几个常用结论：1）过椭圆上一点 P(x0,y0)的切线方程为：12020byyaxx；2）斜率为 k 的切线方程为222bkakxy；3）过焦点 F2(c,0)倾斜角为的弦的长为 2222cos2caabl。6双曲线的定义，第一定义：满足|PF1|-|PF2|=2a(2a0)的点 P 的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(1)的点的轨迹。7双曲线的方程：中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线方程为 12222byax，名师精编 欢迎下载 参数方程为tansecbyax（为参数）。焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为：12222bxay。8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线：12222byax(a,b0),a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).左、右焦点为 F1(-c,0),F2(c,0)，对应的左、右准线方程分别为.,22caxcax离心率ace，由 a2+b2=c2知 e1。两条渐近线方程为xaky，双曲线12222byax与12222byax有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b，则称为等轴双曲线。9补充知识点：双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线12222byax，F1（-c,0）,F2(c,0)是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点，若P 在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若 P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2)过焦点的倾斜角为的弦长是2222cos2caab。10抛物线：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 相交于 K，以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点 F 坐标为)0,2(p，准线方程为2px，标准方程为 y2=2px(p0)，离心率 e=1.11补充知识点 抛物线常用结论：若 P(x0,y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|=2px；2）过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为的弦长为2cos12p。二、直线与圆锥曲线的位置关系 一、知识整理：1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。2解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：设线、设点，联立、消元，韦达、代入、化简。第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为 y=kx+b（或斜率不为零时，设 x=my+a）；第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为 A(x1,y1)B(x2,y2);第三步：联立方程组0)y,x(fbkxy，消去 y 得关于 x 的一元二次方程；第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件 0二次系数不为零，2121xxxx 第五步：把所要解决的问题转化为 x1+x2、x1x2 ，然后代入、化简。点的距离之和等于定长大于两个定点之间的距离的点的轨迹即第二定义平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数的点的轨迹其中定点不在定直线上即椭圆的方程如果以椭圆的中心为原点焦点所在的直线为坐程为椭圆中的相关概念对于中心在原点焦点在轴上的椭圆称半长轴长称半短轴长称为半焦距长轴端点短轴端点两个焦点的坐标分别为与左焦点对应的准线即第二定义中的定直线为称为离心率且由知椭圆有两条对称轴分别是长轴短轴上的任意一过椭圆上一点的切线方程为斜率为的切线方程为过焦点倾斜角为的弦的长为双曲线的定义第一定义满足的点的轨迹第二定义到定点的距离与到定直线距离之比为常数的点的轨迹双曲线的方程中心在原点焦点在轴上的双曲名师精编 欢迎下载 3弦中点问题的特殊解法-点差法：即若已知弦 AB 的中点为 M(xo,yo)，先设两个交点为 A(x1,y1)，B(x2,y2);分别代入圆锥曲线的方程，得0)y,x(f,0)y,x(f2211，两式相减、分解因式，再将o21o212yyy,2xxx代入其中，即可求出直线的斜率。4.弦长公式:x4x)xx)(k1(|xx|k1|AB|212212212(k为弦 AB所在直线的斜率)高考真题:1.【2012 高考新课标文 4】设12F F是椭圆2222:1(0)xyEabab 的左、右焦点，P为直线32ax 上一点，12PFF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）()A12 ()B 23 ()C ()D【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】21F PF是底角为030的等腰三角形，322ca，e=34，0260PF A，212|2PFF Fc，2|AF=c，故选 C.2.【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线xy162的准线交于,A B两点，4 3AB；则C的实轴长为（）()A2 ()B 2 2 ()C ()D【答案】C【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为：4x，设等轴双曲线方程为：222xya，将4x 代入等轴双曲线方程解得y=216a，|AB=4 3，22 16a=4 3，解得a=2，C的实轴长为 4，故选 C.3.【2012 高考山东文 11】已知双曲线1C：22221(0,0)xyabab的离心率为 2.若抛物线22:2(0)Cxpy p的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为 2，则抛物线2C的方程为 (A)28 33xy (B)216 33xy (C)28xy (D)216xy【答案】D 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为 2 且双曲线中 a，b，c 的关系可知ab3，此题应注意 C2 的焦点在 y 轴上，即（0，p/2）到直线xy3的距离为 2，可知 p=8 或数形结合，利用直角三角形求解。4【2012 高考全国文 10】已知1F、2F为双曲线22:2C xy的左、右焦点，点P在C上，12|2|PFPF，则12cosF PF（A）14 （B）35 （C）34 （D）45【答案】C 点的距离之和等于定长大于两个定点之间的距离的点的轨迹即第二定义平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数的点的轨迹其中定点不在定直线上即椭圆的方程如果以椭圆的中心为原点焦点所在的直线为坐程为椭圆中的相关概念对于中心在原点焦点在轴上的椭圆称半长轴长称半短轴长称为半焦距长轴端点短轴端点两个焦点的坐标分别为与左焦点对应的准线即第二定义中的定直线为称为离心率且由知椭圆有两条对称轴分别是长轴短轴上的任意一过椭圆上一点的切线方程为斜率为的切线方程为过焦点倾斜角为的弦的长为双曲线的定义第一定义满足的点的轨迹第二定义到定点的距离与到定直线距离之比为常数的点的轨迹双曲线的方程中心在原点焦点在轴上的双曲名师精编 欢迎下载【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。【解析】解：由题意可知，2,2abc ，设12|2,|PFx PFx，则12|22 2PFPFxa，故12|4 2,|2 2PFPF，124F F，利用余弦定理可得22222212121212(4 2)(2 2)43cos242 2 24 2PFPFF FF PFPFPF。5(20XX 年高考广东卷文科 8)设圆 C 与圆 错误！未找到引用源。外切，与直线0y 错误！未找到引用源。相切则 C 的圆心轨迹为（）A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 圆 6.【2012 高考四川文 9】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点0(2,)My。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM（）A、2 2 B、2 3 C、4 D、2 5【答案】B 解析设抛物线方程为 y2=2px(p0),则焦点坐标为（0,2p），准线方程为 x=2p,32)22(2|22,222,132p22p-22202202OMMypyMM有：），根据两点距离公式（点解得：）（）（线的距离，即到焦点的距离等于到准在抛物线上，点评本题旨在考查抛物线的定义:|MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d 为点 M 到准线的距离).7.（20XX年高考湖南卷文科 6)设双曲线2221(0)9xyaa的渐近线方程为320,xy则a的值为（）A4 B3 C2 D1 答案：C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3yxa，故可知2a。点的距离之和等于定长大于两个定点之间的距离的点的轨迹即第二定义平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数的点的轨迹其中定点不在定直线上即椭圆的方程如果以椭圆的中心为原点焦点所在的直线为坐程为椭圆中的相关概念对于中心在原点焦点在轴上的椭圆称半长轴长称半短轴长称为半焦距长轴端点短轴端点两个焦点的坐标分别为与左焦点对应的准线即第二定义中的定直线为称为离心率且由知椭圆有两条对称轴分别是长轴短轴上的任意一过椭圆上一点的切线方程为斜率为的切线方程为过焦点倾斜角为的弦的长为双曲线的定义第一定义满足的点的轨迹第二定义到定点的距离与到定直线距离之比为常数的点的轨迹双曲线的方程中心在原点焦点在轴上的双曲名师精编 欢迎下载 8.【2012 高考四川文 15】椭圆2221(5xyaa为定值，且5)a 的的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，FAB的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是_。【答案】32，解析根据椭圆定义知：4a=12,得 a=3,又522 ca 32,2acec 点评本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.9.【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x2 y2=1,点 F1,F2为其两个焦点，点 P为双曲线上一点，若 P F1P F2,则P F1+P F2的值为_.【答案】2 3【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适 中。【解析】由双曲线的方程可知121,2,22,acPFPFa 22112224PFPFPFPF 22212121221212,(2)8,24,()8412,2 3PFPFPFPFcPFPFPFPFPFPF 【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差积和的转化。10.【2012 高考江苏 8】（5 分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22214xymm的离心率为5，则m的值为 【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由22214xymm得22=4=4ambmcmm，。24=5cmmeam，即244=0mm，解得=2m。11.【2012 高考安徽文14】过抛物线24yx的焦点F的直线交该抛物线于,A B两点，若|3AF，则|BF=_。【答案】32【解析】设(0)AFx 及BFm；则点A到准线:1l x 的距离为3 得：1323coscos3 又232cos()1cos2mmm 12.（20XX年高考辽宁卷文科 7)已知 F 是抛物线2yx 的焦点，AB是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段点的距离之和等于定长大于两个定点之间的距离的点的轨迹即第二定义平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数的点的轨迹其中定点不在定直线上即椭圆的方程如果以椭圆的中心为原点焦点所在的直线为坐程为椭圆中的相关概念对于中心在原点焦点在轴上的椭圆称半长轴长称半短轴长称为半焦距长轴端点短轴端点两个焦点的坐标分别为与左焦点对应的准线即第二定义中的定直线为称为离心率且由知椭圆有两条对称轴分别是长轴短轴上的任意一过椭圆上一点的切线方程为斜率为的切线方程为过焦点倾斜角为的弦的长为双曲线的定义第一定义满足的点的轨迹第二定义到定点的距离与到定直线距离之比为常数的点的轨迹双曲线的方程中心在原点焦点在轴上的双曲名师精编 欢迎下载 AB的中点到 y 轴的距离为。解析：设 A、B 的横坐标分别是 m、n，由抛物线定义，得AFBF3=m+14+n+14=m+n+12=3，故 m+n=52，524mn，故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为54。13、【2012 高考广东文 20】（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1C：22221xyab（0ab）的左焦点为1(1,0)F，且点(0,1)P在1C上.（1）求椭圆1C的方程；（2）设直线l同时与椭圆1C和抛物线2C：24yx相切，求直线l的方程.【解析】（1）因为椭圆1C的左焦点为1(1,0)F，所以1c，点(0,1)P代入椭圆22221xyab，得211b，即1b，所以2222abc，所以椭圆1C的方程为2212xy.（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为ykxm，2212xyykxm，消去y并整理得222(12)4220kxkmxm，因为直线l与椭圆1C相切，所以2222164(12)(22)0k mkm，整理得22210km 24yxykxm，消去y并整理得222(24)0k xkmxm。因为直线l与抛物线2C相切，所以222(24)40kmk m，整理得1km 综合，解得222km或222km 。所以直线l的方程为222yx或222yx。点的距离之和等于定长大于两个定点之间的距离的点的轨迹即第二定义平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数的点的轨迹其中定点不在定直线上即椭圆的方程如果以椭圆的中心为原点焦点所在的直线为坐程为椭圆中的相关概念对于中心在原点焦点在轴上的椭圆称半长轴长称半短轴长称为半焦距长轴端点短轴端点两个焦点的坐标分别为与左焦点对应的准线即第二定义中的定直线为称为离心率且由知椭圆有两条对称轴分别是长轴短轴上的任意一过椭圆上一点的切线方程为斜率为的切线方程为过焦点倾斜角为的弦的长为双曲线的定义第一定义满足的点的轨迹第二定义到定点的距离与到定直线距离之比为常数的点的轨迹双曲线的方程中心在原点焦点在轴上的双曲名师精编 欢迎下载 14、【2012 高考安徽文 20】（本小题满分 13 分）如图，21,FF分别是椭圆C：22ax+22by=1（0 ba）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线2AF与椭圆C的另一个交点，1FA2F=60.（）求椭圆C的离心率；（）已知ABF1的面积为 403，求 a,b 的值.【解析】（I）1216022cF AFacea （）设2BFm；则12BFam 在12BF F中，22212122122cos120BFBFF FBFF F 2223(2)5ammaamma 1AF B面积211133sin60()40 3225210,5,5 3SF FABaaaacb 15.【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分)已知椭圆 C：22xa+22yb=1（ab0）的一个顶点为 A（2,0），离心率为22，直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的两点 M,N（）求椭圆 C 的方程（）当AMN 的面积为103时，求 k 的值 【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。解：（1）由题意得222222acaabc解得2b.所以椭圆 C 的方程为22142xy.（2）由22(1)142yk xxy得2222(12)4240kxk xk.设点 M,N 的坐标分别为11(,)x y，22(,)xy，则11(1)yk x，22(1)yk x，2122412kxxk，21222412kx xk.所以|MN|=222121()()xxyy=221212(1)()4kxxx x=2222(1)(46)1 2kkk.由因为点 A(2,0)到直线(1yk x）的距离2|12kdk，所以AMN 的面积为221|46|212kkSMNdk.由22|4610123kkk，解得 1k .点的距离之和等于定长大于两个定点之间的距离的点的轨迹即第二定义平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数的点的轨迹其中定点不在定直线上即椭圆的方程如果以椭圆的中心为原点焦点所在的直线为坐程为椭圆中的相关概念对于中心在原点焦点在轴上的椭圆称半长轴长称半短轴长称为半焦距长轴端点短轴端点两个焦点的坐标分别为与左焦点对应的准线即第二定义中的定直线为称为离心率且由知椭圆有两条对称轴分别是长轴短轴上的任意一过椭圆上一点的切线方程为斜率为的切线方程为过焦点倾斜角为的弦的长为双曲线的定义第一定义满足的点的轨迹第二定义到定点的距离与到定直线距离之比为常数的点的轨迹双曲线的方程中心在原点焦点在轴上的双曲名师精编 欢迎下载 16.【2102 高考福建文 21】（本小题满分 12 分）如图，等边三角形 OAB 的边长为8 3，且其三个顶点均在抛物线 E：x2=2py（p0）上。（1）求抛物线 E 的方程；（2）设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y=-1相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点。考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。难度：难。分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。解答：（I）设1122(,),(,)A x yB xy；则2211222,2xpy xpy 222222112211221212121222()(2)0(2,0)OAOBxyxypyypyyyypyyyyp y y 得：点,A B关于y轴对称（lfxlby）8 3(4 3,12),(4 3,12)OAOBABAB 代入抛物线E的方程得：222xpy 抛物线E的方程为24xy （II）设200(,)4xP x；则21142yxyx 过点P的切线方程为200011()42yxx xx即2001124yx xx 令20041(,1)2xyQx 设(0,)Mt满足：0MP MQ 及200004(,),(,1)2xMPxyt MQtx 得：2204(2)(1)0ttt x 对00 x 均成立 220,101tttt 以PQ为直径的圆恒过y轴上定点(0,1)M 点的距离之和等于定长大于两个定点之间的距离的点的轨迹即第二定义平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数的点的轨迹其中定点不在定直线上即椭圆的方程如果以椭圆的中心为原点焦点所在的直线为坐程为椭圆中的相关概念对于中心在原点焦点在轴上的椭圆称半长轴长称半短轴长称为半焦距长轴端点短轴端点两个焦点的坐标分别为与左焦点对应的准线即第二定义中的定直线为称为离心率且由知椭圆有两条对称轴分别是长轴短轴上的任意一过椭圆上一点的切线方程为斜率为的切线方程为过焦点倾斜角为的弦的长为双曲线的定义第一定义满足的点的轨迹第二定义到定点的距离与到定直线距离之比为常数的点的轨迹双曲线的方程中心在原点焦点在轴上的双曲名师精编 欢迎下载 17.【2012 高考上海文 22】（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 6 分 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22:21Cxy（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若2 2MF，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k（2k）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆221xy相切，求证：OPOQ 解（1）双曲线1:2212yCx，左焦点)0,(26F.设),(yxM，则22222262)3()(|xyxMF，2 分 由 M 是右支上一点，知22x，所以223|22xMF，得26x.所以)2,(26M.5 分 （2）左顶点)0,(22A，渐近线方程：xy2.过 A与渐近线xy2平行的直线方程为：)(222xy，即12 xy.解方程组122xyxy，得2142yx.8 分 所求平行四边形的面积为42|yOAS.10 分 （3）设直线 PQ 的方程是bkxy.因直线与已知圆相切，故11|2kb，即122 kb(*).由1222yxbkxy，得012)2(222bkbxxk.设 P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则22221212221kbkkbxxxx.)(2121bkxbkxyy，所以 2212122121)()1(bxxkbxxkyyxxOQOP 22222222221222)1)(1(kkbkbkkbk.由(*)知0 OQOP，所以 OPOQ.16 分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为xy，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 点的距离之和等于定长大于两个定点之间的距离的点的轨迹即第二定义平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数的点的轨迹其中定点不在定直线上即椭圆的方程如果以椭圆的中心为原点焦点所在的直线为坐程为椭圆中的相关概念对于中心在原点焦点在轴上的椭圆称半长轴长称半短轴长称为半焦距长轴端点短轴端点两个焦点的坐标分别为与左焦点对应的准线即第二定义中的定直线为称为离心率且由知椭圆有两条对称轴分别是长轴短轴上的任意一过椭圆上一点的切线方程为斜率为的切线方程为过焦点倾斜角为的弦的长为双曲线的定义第一定义满足的点的轨迹第二定义到定点的距离与到定直线距离之比为常数的点的轨迹双曲线的方程中心在原点焦点在轴上的双曲