垂径定理及其推论中学教育中学学案_中学教育-中学课件.pdf

精心整理 圆部分知识点总结垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心 垂直于弦 直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。点和圆的位置关系 设O的半径是 r，点 P到圆心 O的距离为 d，则有：dr点 P在O外。过三点的圆 1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O的半径为 r，圆心 O到直线L的距离为 d,那么：直线L与O相交dr；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是两条切线 PAPB；PO平分BPA PBAOOEDCBA精心整理 圆幂定理 1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PA PBPC PD 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，2CEAE BE 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线 2PAPC PB 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。即：在O中，PB、PE是割线 PC PBPD PE 两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12O O垂直平分AB。即：1O、2O相交于A、B两点 12O O垂直平分AB 圆的公切线（1）公切线的长：12Rt O O C中，22221122ABCOO OCO；（2）外公切线的长：2CO是半径之差；2CO是半径之和 三角形的内切圆和外接圆 1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为 R和 r，圆心距为 d，那么 两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdr）两圆内含dr）4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。圆内正多边形的计算 1.正三角形在O中ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：:1:3:2OD BD OB；DECBPAOBAO1O2CO2O1BA弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所夹的弧相等垂径定理及其推论可概括为圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦的弦心距相等在同圆或等圆中如果两个圆的圆心角两条弧两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等圆周角定理一条弧所对的圆周半圆或直径所对的圆周角是直角的圆周角所对的弦是直径推论如果三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形点和圆的位置关系设的半径是点到圆心的距离为则有点在内点在上点在外过三点的圆不在同一直线精心整理 2.正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1:2OE AE OA：3.正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，:1:3:2AB OB OA.弧长和扇形面积 1、弧长公式 n的圆心角所对的弧长l的计算公式为180rnl 2、扇形面积公式lRRnS213602扇 其中 n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，L是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积rlrlS221 其中L是圆锥的母线长，r 是圆锥的底面半径。内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）ABC 中，C=90，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径 r=2cba。（3）SABC=)(21cbar，其中 a，b，c 是边长，r 是内切圆的半径。拱高问题 1.如图，圆弧形桥拱的跨度 AB 12米，拱高 CD 4米，则拱桥的半径为（）A6.5 米 B9米 C 13米 D 15米 2.如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为 O，半径为 R 经过圆心 O作弦 AB的垂线 OC，D为垂足，OC 与 AB相交于点 D，根据前面的结论，D是 AB的中点，C是的中点，CD就是拱高 SlBAOAB弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所夹的弧相等垂径定理及其推论可概括为圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦的弦心距相等在同圆或等圆中如果两个圆的圆心角两条弧两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等圆周角定理一条弧所对的圆周半圆或直径所对的圆周角是直角的圆周角所对的弦是直径推论如果三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形点和圆的位置关系设的半径是点到圆心的距离为则有点在内点在上点在外过三点的圆不在同一直线