五年级奥数题：因数与倍数小学教育小学考试_小学教育-小学教育.pdf
学习必备 欢迎下载 因数与倍数相关习题（1）一、填空题 128 的所有因数之和是_.2.用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_种不同的拼法.3.一个两位数,十位数字减个位数字的差是 28 的因数,十位数字与个位数字的积是 24.这个两位数是_.4.李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生 _人.5.两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,则这两个数的差是 _.6.现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_个小朋友,每个小朋友得梨 _个,桔_个.7.一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_块.8.长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_块.9.张师傅以1 元钱3 个苹果的价格买苹果若干个,又以2 元钱5 个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得 10 元钱利润,那么他必须卖出苹果_个.10.含有 6 个因数的两位数有_个.11写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公因数是 1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？12和为 1111 的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？13狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳214米，黄鼠狼每次跳432米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔8312米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?14.已知 a 与 b 的最大公因数是 12,a 与c的最小公倍数是 300,b 与 c 的最小公倍数也是 300,那么满足上述条件的自然数 a,b,c 共有多少组?(例如:a=12、b=300、c=300，与 a=300、b=12、c=300 是不同的两个自然数组)答 案 答 案:1 56 28 的因数有 1,2,4,7,14,28,它们的和为 1+2+4+7+14+28=56.2.4 学习必备 欢迎下载 因为 105 的因数有 1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105 和 1,35 和 3,21 与 5,15 与 7.所以能拼成 4 种不同的长方形.3.64 因为 28=227,所以 28 的因数有 6 个:1,2,4,7,14,28.在数字 0,1,2,，9中，只有 6 与 4 之积，或者 8 与 3 之积是 24，又 6-4=2，8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有 64.4.28 因 为 667=2329,所 以 这 班 师 生 每 人 种 的 棵 数 只 能 是 667 的 因数:1,23,29,667.显然,每人种 667 棵是不可能的.当每人种 29 棵树时,全班人数应是 23-1=22,但 22 不能被 4 整除,不可能.当每人种 23 棵树时,全班人数应是 29-1=28,且 28 恰好是 4 的倍数,符合题目要求.当每人种 1 棵树时,全班人数应是 667-1=666,但 666 不能被 4 整除,不可能.所以,一班共有 28 名学生.5.40或 20 两个自然数的和是 50,最大公因数是 5,这两个自然数可能是 5 和 45,15 和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填 40 或 20.注 这里的关键是依最大公因数是 5 的条件,将 50 分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6.36,1,3.要把梨 36 个、桔子 108 个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是 36 的因数，又要是 108 的因数，即一定是 36 和 108的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是 36 和 108 的最大公因数.36 和 108 的最大公因数是 36,也就是可分给 36 个小朋友.每个小朋友可分得梨:3636=1(只)每个小朋友可分得桔子:10836=3(只)所以,最多可分得 36 个小朋友,每个小朋友可分得梨 1 只,桔子 3 只.7.56 剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长 48 厘米及宽 42 厘米,所以它是 48 与 42 的公因数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是 48 与42 的最大公因数.因为 48=22223,42=237,所以 48 与 42 的最大公因数是 6.这样,最大正方形的边长是 6 厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪 8 块,宽边可剪 7块,共可剪(486)(426)=87=56(块)正方形布片.8.200 根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是180,45 和18的公因数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45 和 18 的最大公因数.180,45和 18 的最大公因数是 9,所以正方体的棱长是 9 厘米.这样,长 180 厘米可公成 20 段,宽 45 厘米可分成 5 段,高 18 厘米可分成 2 段.这根木料共分割成(1809)(459)(189)=200 块棱长是 9 厘米的正方体.9.150 根据 3 与 5 的最小公倍数是 15,张老师傅以 5 元钱买进 15 个苹果,又以 6 元钱卖出 15 个苹果,这样,他 15 个苹果进与出获利 1 元.所以他获利 10 元必须卖出150 个苹果.同的拼法一个两位数十位数字减个位数字的差是的因数十位数字与个位数字的积是这个两位数是李老师带领一班学生去种树学生恰好被平均分成四个小组总共种树棵如果师生每人种的棵数一样多那么这个班共有学生人两个自然数的分给个小朋友每个小朋友得梨个桔个一块长厘米宽厘米的布不浪费边角料能剪出最大的正方形布片块长厘米宽厘米高厘米的木料能锯成尽可能大的正方体木块不余料块张师傅以元钱个苹果的价格买苹果若干个又以元钱个苹果的价格们的最大公因数是但两两均不互质请问有多少组这种解和为的四个自然数它们的最大公因数最大能够是多少米黄鼠狼每次跳狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛狐狸每次跳米它们每秒钟都只跳一次比赛途中从起点开始每隔米设有一个陷井当学习必备 欢迎下载 10.16 含有6个因数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用 M 表示含有 6 个因数的数，用 a 和 b 表示 M 的质因数，那么 5aM 或baM2 因为 M 是两位数，所以 M=a5只有一种可能 M=25，而 M=a2b 就有以下15 种情况：72,52,32222MMM，172,132,112222MMM，23,232,192222MMM，113,73,53222MMM，27,35,25222MMM.所以,含有 6 个因数的两位数共有 15+1=16(个)11.三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公因数只能分别是 2,3 和 5,这种自然数有 6,10,15 和 12,10,15 及 18,10,15 三组.12.四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公因数应该是1111 的因数.将 1111 作质因数分解,得 1111=11101 最大公因数不可能是 1111,其次最大可能数是 101.若为 101,则将这四个数分别除以 101,所得商的和应为11.现有 1+2+3+5=11,即存在着下面四个数 101,1012,1013,1015,它们的和恰好是 101(1+2+3+5)=10111=1111,它们的最大公因数为101.所以 101 为所求.13.黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是432与8312的“最小公倍数”499，即跳了499411=9 次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是214和8312的“最小公倍数”299，即跳了29929=11次掉进陷井.经 过 比 较 可 知,黄 鼠 狼 先 掉 进 陷 井,这 时 狐 狸 已 跳 的 行 程 是2149=40.5(米).14.先将 12、300 分别进行质因数分解：同的拼法一个两位数十位数字减个位数字的差是的因数十位数字与个位数字的积是这个两位数是李老师带领一班学生去种树学生恰好被平均分成四个小组总共种树棵如果师生每人种的棵数一样多那么这个班共有学生人两个自然数的分给个小朋友每个小朋友得梨个桔个一块长厘米宽厘米的布不浪费边角料能剪出最大的正方形布片块长厘米宽厘米高厘米的木料能锯成尽可能大的正方体木块不余料块张师傅以元钱个苹果的价格买苹果若干个又以元钱个苹果的价格们的最大公因数是但两两均不互质请问有多少组这种解和为的四个自然数它们的最大公因数最大能够是多少米黄鼠狼每次跳狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛狐狸每次跳米它们每秒钟都只跳一次比赛途中从起点开始每隔米设有一个陷井当学习必备 欢迎下载 12=223 300=22352(1)确定 a 的值.依题意 a 只能取 12 或 125(=60)或 1225(=300).(2)确定 b 的值.当 a=12 时,b 可取 12,或 125,或 1225；当 a=60,300 时，b 都只能取 12.所以,满足条件的 a、b 共有 5 组：a=12 a=12 a=12 a=60 a=300 b=12,b=60,b=300,b=12,b=12.(3)确定 a,b,c 的组数.对于上面 a、b 的每种取值，依题意，c 均有 6 个不同的值：52，522，5222，523，5223，52223，即 25，50，100，75，150，300.所以满足条件的自然数 a、b、c 共有 56=30（组）同的拼法一个两位数十位数字减个位数字的差是的因数十位数字与个位数字的积是这个两位数是李老师带领一班学生去种树学生恰好被平均分成四个小组总共种树棵如果师生每人种的棵数一样多那么这个班共有学生人两个自然数的分给个小朋友每个小朋友得梨个桔个一块长厘米宽厘米的布不浪费边角料能剪出最大的正方形布片块长厘米宽厘米高厘米的木料能锯成尽可能大的正方体木块不余料块张师傅以元钱个苹果的价格买苹果若干个又以元钱个苹果的价格们的最大公因数是但两两均不互质请问有多少组这种解和为的四个自然数它们的最大公因数最大能够是多少米黄鼠狼每次跳狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛狐狸每次跳米它们每秒钟都只跳一次比赛途中从起点开始每隔米设有一个陷井当学习必备 欢迎下载 因数与倍数相关习题（2）一、填空题 1把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下 2 个，而苹果还缺 2 个，一共有_个小朋友.2.幼儿园有糖 115 颗、饼干 148 块、桔子 74 个，平均分给大班小朋友；结果糖多出 7 颗，饼干多出 4 块，桔子多出 2 个.这个大班的小朋友最多有_人.3.用长 16 厘米、宽 14 厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板_块.4.用长是 9 厘米、宽是 6 厘米、高是 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_块.5.一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔 3、5、9、15、10 分钟发一次，第一次同时发车以后，_分钟又同时发第二次车.6.动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒.那么平均给三群猴子,每只可得_粒.7.这样的自然数是有的:它加 1 是 2 的倍数,加 2 是 3 的倍数,加 3 是 4 的倍数,加 4 是 5 的倍数,加 5 是 6 的倍数,加 6 是 7 的倍数,在这种自然数中除了 1以外最小的是_.8 能被 3、7、8、11 四个数同时整除的最大六位数是_.9.把 26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公因数是 1,那么至少要分成_组.10.210 与 330 的最小公倍数是最大公因数的_倍.二、解答题 11公共汽车总站有三条线路，第一条每 8 分钟发一辆车，第二条每 10 分钟发一辆车，第三条每 16 分钟发一辆车，早上 6：00 三条路线同时发出第一辆车.该总站发出最后一辆车是 20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.12.甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数,商是 12.如果甲乙两数的差是 18,则甲数是多少?乙数是多少?13.用285、5615、2011分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数最小是几?14.有 15 位同学,每位同学都有编号,他们是 1 号到 15 号,1 号同学写了一个自然数,2 号说：“这个数能被2 整除”，3 号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1 号写的数是五位数,请找出这个数.同的拼法一个两位数十位数字减个位数字的差是的因数十位数字与个位数字的积是这个两位数是李老师带领一班学生去种树学生恰好被平均分成四个小组总共种树棵如果师生每人种的棵数一样多那么这个班共有学生人两个自然数的分给个小朋友每个小朋友得梨个桔个一块长厘米宽厘米的布不浪费边角料能剪出最大的正方形布片块长厘米宽厘米高厘米的木料能锯成尽可能大的正方体木块不余料块张师傅以元钱个苹果的价格买苹果若干个又以元钱个苹果的价格们的最大公因数是但两两均不互质请问有多少组这种解和为的四个自然数它们的最大公因数最大能够是多少米黄鼠狼每次跳狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛狐狸每次跳米它们每秒钟都只跳一次比赛途中从起点开始每隔米设有一个陷井当学习必备 欢迎下载 答 案 答 案:1.9 若梨减少 2 个,则有 20-2=18(个);若将苹果增加 2 个,则有 25+2=27(个),这样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多有 9 个小朋友.2.36 根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72 的最大公因数.所以,这个大班的小朋友最多有 36 人.3.56 所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形木板的边长应是14 与 16 的最小公倍数.先求 14 与 16 的最小公倍数.2 16 14 8 7 故 14 与 16 的最小公倍数是 287=112.因为正方形的边长最小为 112 厘米,所以最少需要用这样的木板 1416112112=78=56(块)4 5292 与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7 的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是 126.所以,至少需要这种长方体木块 769126126126=142118=5292(块)注 上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.同的拼法一个两位数十位数字减个位数字的差是的因数十位数字与个位数字的积是这个两位数是李老师带领一班学生去种树学生恰好被平均分成四个小组总共种树棵如果师生每人种的棵数一样多那么这个班共有学生人两个自然数的分给个小朋友每个小朋友得梨个桔个一块长厘米宽厘米的布不浪费边角料能剪出最大的正方形布片块长厘米宽厘米高厘米的木料能锯成尽可能大的正方体木块不余料块张师傅以元钱个苹果的价格买苹果若干个又以元钱个苹果的价格们的最大公因数是但两两均不互质请问有多少组这种解和为的四个自然数它们的最大公因数最大能够是多少米黄鼠狼每次跳狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛狐狸每次跳米它们每秒钟都只跳一次比赛途中从起点开始每隔米设有一个陷井当学习必备 欢迎下载 5.90 依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是 3,5,9,15和 10 的最小公倍数.因为 3,5,9,15和 10 的最小公倍数是 90,所以从第一次同时发车后 90 分钟又同时发第二次车.6.5 依题意得 花生总粒数=12第一群猴子只数 =15第二群猴子只数 =20第三群猴子只数 由此可知,花生总粒数是 12,15,20 的公倍数,其最小公倍数是 60.花生总粒数是 60,120,180,，那么 第一群猴子只数是 5，10，15，第二群猴子只数是 4，8，12，第三群猴子只数是 3，6，9，所以，三群猴子的总只数是 12，24，36，.因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是 5 粒.7.421 依题意知,这个数比 2、3、4、5、6、7 的最小公倍数大 1,2、3、4、5、6、7 的最小公倍数是 420，所以这个数是 421.8.999768 由题意知,最大的六位数是 3,7,8,11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是1848.因为 9999991848=541231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是 1848 的 541 倍，或者是 999999 与 231 的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.9.3 根据题目要求,有相同质因数的数不能分在一组,26=213,91=713,143=1113,所以,所分组数不会小于 3.下面给出一种分组方案:同的拼法一个两位数十位数字减个位数字的差是的因数十位数字与个位数字的积是这个两位数是李老师带领一班学生去种树学生恰好被平均分成四个小组总共种树棵如果师生每人种的棵数一样多那么这个班共有学生人两个自然数的分给个小朋友每个小朋友得梨个桔个一块长厘米宽厘米的布不浪费边角料能剪出最大的正方形布片块长厘米宽厘米高厘米的木料能锯成尽可能大的正方体木块不余料块张师傅以元钱个苹果的价格买苹果若干个又以元钱个苹果的价格们的最大公因数是但两两均不互质请问有多少组这种解和为的四个自然数它们的最大公因数最大能够是多少米黄鼠狼每次跳狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛狐狸每次跳米它们每秒钟都只跳一次比赛途中从起点开始每隔米设有一个陷井当学习必备 欢迎下载(1)26，33，35；(2)34，91；(3)63，85，143.因此,至少要分成 3 组.注 所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如 15=35，21=37，35=57，3，5，7 各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.除了上述分法之外,还有多种分组法,下面再给出三种:(1)26,35；33，85，91；34，63，143.(2)85,143,63；26，33，35；34，91.(3)26,85,63；91，34，33；143，35.10.77 根据“甲乙的最小公倍数甲乙的最大公因数=甲数乙数”，将 210330 分解质因数，再进行组合有 210330=235723511 =223252711 =（235）（235711）因此，它们的最小公倍数是最大公因数的711=77（倍）.11.根据题意,先求出 8,10,16的最小公倍数是 80,即从第一次三车同时发出后,每隔 80 分钟又同时发车.从早上 6:00 至 20:00 共 14 小时,求出其中包含多少个80 分钟.601480=1040 分钟 由此可知,20:00 前 40 分钟,即 19:20 为最后一次三车同时发车的时刻.12.甲乙两数分别除以它们的最大公因数,所得的两个商是互质数.而这两个互质数的乘积,恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商12.这一结论的根据是:(我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数)甲数乙数=倍约 约约乙数甲数=约约约倍，所以：同的拼法一个两位数十位数字减个位数字的差是的因数十位数字与个位数字的积是这个两位数是李老师带领一班学生去种树学生恰好被平均分成四个小组总共种树棵如果师生每人种的棵数一样多那么这个班共有学生人两个自然数的分给个小朋友每个小朋友得梨个桔个一块长厘米宽厘米的布不浪费边角料能剪出最大的正方形布片块长厘米宽厘米高厘米的木料能锯成尽可能大的正方体木块不余料块张师傅以元钱个苹果的价格买苹果若干个又以元钱个苹果的价格们的最大公因数是但两两均不互质请问有多少组这种解和为的四个自然数它们的最大公因数最大能够是多少米黄鼠狼每次跳狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛狐狸每次跳米它们每秒钟都只跳一次比赛途中从起点开始每隔米设有一个陷井当学习必备 欢迎下载 约乙数约甲数=约倍，约乙数约甲数=12 将 12 变成互质的两个数的乘积：12=43，12=112 先看,说明甲乙两数：一个是它们最大公因数的4 倍，一个是它们最大公因数的 3 倍.甲乙两数的差除以上述互质的两数(即4 和 3)之差,所得的商,即甲乙两数的最大公因数.18(4-3)=18 甲乙两数,一个是:183=54，另一个是：184=72.再看,18(12-1)=1171,不符合题意,舍去.13.依题意,设所求最小分数为NM,则 285NM=a 5615NM=b 2011NM=c 即 528NM=a 1556NM=b 2120NM=c 其中 a,b,c 为整数.因为NM是最小值,且 a,b,c 是整数,所以 M 是 5,15,21 的最小公倍数,N 是28,56,20 的最大公因数,因此,符合条件的最小分数:NM=4105=4126 14.(1)根据 2 号15 号同学所述结论,将合数 4,6,，15 分解质因数后，由1 号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.4=22,6=23,8=23,9=32,10=25,12=223,14=27,15=35 由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8 与 9 两个连续自然数(可逐次排除,只有 8 与 9 满足要求).(2)1 号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15这 12 个数整除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是 同的拼法一个两位数十位数字减个位数字的差是的因数十位数字与个位数字的积是这个两位数是李老师带领一班学生去种树学生恰好被平均分成四个小组总共种树棵如果师生每人种的棵数一样多那么这个班共有学生人两个自然数的分给个小朋友每个小朋友得梨个桔个一块长厘米宽厘米的布不浪费边角料能剪出最大的正方形布片块长厘米宽厘米高厘米的木料能锯成尽可能大的正方体木块不余料块张师傅以元钱个苹果的价格买苹果若干个又以元钱个苹果的价格们的最大公因数是但两两均不互质请问有多少组这种解和为的四个自然数它们的最大公因数最大能够是多少米黄鼠狼每次跳狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛狐狸每次跳米它们每秒钟都只跳一次比赛途中从起点开始每隔米设有一个陷井当学习必备 欢迎下载 223571113=60060 因为 60060 是一位五位数,而这 12 个数的其他公倍数均不是五位数,所以 1号同学写的五位数是 60060.同的拼法一个两位数十位数字减个位数字的差是的因数十位数字与个位数字的积是这个两位数是李老师带领一班学生去种树学生恰好被平均分成四个小组总共种树棵如果师生每人种的棵数一样多那么这个班共有学生人两个自然数的分给个小朋友每个小朋友得梨个桔个一块长厘米宽厘米的布不浪费边角料能剪出最大的正方形布片块长厘米宽厘米高厘米的木料能锯成尽可能大的正方体木块不余料块张师傅以元钱个苹果的价格买苹果若干个又以元钱个苹果的价格们的最大公因数是但两两均不互质请问有多少组这种解和为的四个自然数它们的最大公因数最大能够是多少米黄鼠狼每次跳狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛狐狸每次跳米它们每秒钟都只跳一次比赛途中从起点开始每隔米设有一个陷井当
