小升初数字问题汇总小学教育小学考试_小学教育-小学考试.pdf

模块一、数论中的极端思想 18这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？8531 7642 【巩固】两个自然数的和是 15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？7 8 两个自然数的积是 48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？6 8 【例 1】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如 257，1459等等，这类数中最大的自然数是多少？要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故 10112358 满足条件如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，取 1 与 0 【例 2】有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为 2003，那么这类自然数中最小的是几？【解析】一个自然数的值要最小，首先要求它的数位最小，其次要求高位的数值尽可能地小.由于各数位上的和固定为 2003，要想数位最少，各位数上的和就要尽可能多地取 9，而 20039=2225，所以满足条件的最小自然数为：2229599.9个 【例 3】要得到最大的数，左边应尽量多地保留 9。因为 159 中有 109 个数码，其中有 6 个 9，要想左边保留 6 个 9，必将前 100个自然数依次无间隔地写成一个 192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 129899100从中划去 100个数字，那么剩下的 92位数最大是多少？最小是多少？【解析】须划掉 159 中的 109-6103（个）数码，剩下的数码只有 192103=89（个），不合题意，所以左边只能保留 5 个 9，即保留 149 中的 5 个 9，划掉 149 中其余的 84 个数码。然后，在后面再划掉 16 个数码，尽量保留大数（见下图）：所求最大数是 999997859606199100。同理，要得到最小的数，左边第一个数是 1，之后应尽量保留 0。250 中有 90 个数码，其中有 5个 0，划掉其余 90-5=85（个）数码，然后在后面再划掉 15 个数码，尽量保留小数（见下图）：所求最小数是 10000012340616299100【例 4】把 17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？486。结论：整数分拆的原则：不拆 1，少拆 2，多拆 3【例 5】把 14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大 某国家的货币中有 1元、3元、5元、7元、9元五种，为了能支付 1元、2元100元的钱数（整数元），那么至少需要准备货币多少张？14 【例 6】在五位数 22576的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的六位数中最大的是几？【解析】225776 【巩固】在六位数 865473的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的是几？【解析】8654473.【例 7】设自然数 n有下列性质：从 1、2n中任取 50个不同的数，其中必有两数之差等于 7，这样的n最大不能超过多少？当 n=98 时，将 1、298 按每组中两数的差为 7 的规则分组：1，8、2、9、7，14、15，2290，97、91、98。一共有 49 组，所以当任取 50 个数时，必有两个数在同一组，他们的差等于 7。当 n=99时，取上面每组中的前一个数，即 1、27、1521、2935、4349、5763、7177、8591 和 99 一共是 50 个数，而它们中任 2 个的差不为 7。因此 n 最大不能超过 98。【例 8】在 10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这 10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于 37；（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？37 【例 9】某学校，星期一有 15名学生迟到，星期二有 12名学生迟到，星期三有 9名学生迟到，如果有 22名学生在这三天中至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少人？7 【例 10】某班学生 50人，年龄均为整数，年龄的平均值为 12.2，已知班上任意两人的年龄差都不超过 3 那么这班学生中年龄最大的能是多少岁?如果有一个学生的年龄达到这个值，那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人?【解析】因为全班 50 人的年龄总和比平均 12 岁的年龄总和多(12.2-12)50=10(岁)，所以年龄最大的能是12+3=15(岁)如果有人年龄达到 15 岁，那么剩下的 49 人的年龄和比平均 12 岁的年龄和多103=7(岁)，所以最多有 7 人的年龄大于 12 岁，小于 15 岁 练习1.如果一个自然数 N的各个位上的数字和是 1996，那么这个自然数最小是几？【解析】19969=2217，N=2219799.9个.练习2.有四个数，其中每三个数的和分别是 45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？【解析】把 4 个数全加起来就是每个数都加了 3 遍，所以，这四个数的和等于（45+46+49+52）3=64。用总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即 64-52=12。练习3.当 A+B+C 10时(A、B、C是非零自然数)。ABC的最大值是，最小值是。【解析】当为 3+3+4时有 ABC的最大值，即为 33436；当为 1+1+8时有 ABC的最小值，即为 11 比较下面两个乘积的大小：a=57128463 87596512，b=57128460 87596515.测试 6、一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各 10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出 8个球，它们的数字和是 39，其中最多可能有多少个球是红色的？测试 5、某班有 50名学生，参加语文竞赛的有 28人，参加数学竞赛的有 23人，参加英语竞赛的有 20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？【解析】因为参加竞赛的有 28+23+20=71(人)让这 71 人尽可能多地重复，712=351，所以至多有 35 人各是多少巩固两个自然数的和是要使两个整数的乘积最大这两个整数各是多少两个自然数的积是这两个自然数是什么值时它们的和最小例有一类自然数从第三个数字开始每个数字都恰好是它前面两个数字之和直至不能再写为止如等最前面的两个数字越大则按规则构造的数的位数较少所以最前面两个数字尽可能地小取与例有一类自然数它的各个数位上的数字之和为那么这类自然数中最小的是几解析一个自然数的值要最小首先要求它的数位最小其次要求高位的然数为个例要得到最大的数左边应尽量多地保留因为中有个数码其中有个要想左边保留个必将前个自然数依次无间隔地写成一个位数从中划去个数字那么剩下的位数最大是多少最小是多少解析须划掉中的个数码剩下的数码只有个不参加两科 例 1 三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于 20 的合数，要使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是1 例 4 一组互不相同的自然数，其中最小的数是 1，最大的数是 25。除 1 之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的 2 倍，或者等于这组数中某两个数之和。问：这组数之和的最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。（全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题）析：观察自然数 1、2、3、4、5、25 这 25 个数，发现它们除 1 之外，每个数都能用其中某一个数的 2 倍，或者某两个数之和表示。因此，这组数之和的最大值是1+2+3+25=325。下面考虑数组中各数之和的最小值。1 和 25 是必取的，25 不能表示成一个数的 2 倍，而表示成两个数之和的形式，共有12 种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数（20+5）或者（10+15）。当取 1、5、20、25 时，还需取 2、3、10 三个；当取 1、10、15、25 时，还需取 2、3、5。经比较这两组数，可知当取 1、2、3、4、5、10、15、25 时，和最小是 61。7/18 13/14 11/12 例 4 一组互不相同的自然数，其中最小的数是 1，最大的数是 25。除 1 之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的 2 倍，或者等于这组数中某两个数之和。问：这组数之和的最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。（全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题）析：观察自然数 1、2、3、4、5、25 这 25 个数，发现它们除 1 之外，每个数都能用其中某一个数的 2 倍，或者某两个数之和表示。因此，这组数之和的最大值是1+2+3+25=325。下面考虑数组中各数之和的最小值。1 和 25 是必取的，25 不能表示成一个数的 2 倍，而表示成两个数之和的形式，共有12 种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数（20+5）或者（10+15）。当取 1、5、20、25 时，还需取 2、3、10 三个；当取 1、10、15、25 时，还需取 2、3、5。经比较这两组数，可知当取 1、2、3、4、5、10、15、25 时，和最小是 61。各是多少巩固两个自然数的和是要使两个整数的乘积最大这两个整数各是多少两个自然数的积是这两个自然数是什么值时它们的和最小例有一类自然数从第三个数字开始每个数字都恰好是它前面两个数字之和直至不能再写为止如等最前面的两个数字越大则按规则构造的数的位数较少所以最前面两个数字尽可能地小取与例有一类自然数它的各个数位上的数字之和为那么这类自然数中最小的是几解析一个自然数的值要最小首先要求它的数位最小其次要求高位的然数为个例要得到最大的数左边应尽量多地保留因为中有个数码其中有个要想左边保留个必将前个自然数依次无间隔地写成一个位数从中划去个数字那么剩下的位数最大是多少最小是多少解析须划掉中的个数码剩下的数码只有个不 各是多少巩固两个自然数的和是要使两个整数的乘积最大这两个整数各是多少两个自然数的积是这两个自然数是什么值时它们的和最小例有一类自然数从第三个数字开始每个数字都恰好是它前面两个数字之和直至不能再写为止如等最前面的两个数字越大则按规则构造的数的位数较少所以最前面两个数字尽可能地小取与例有一类自然数它的各个数位上的数字之和为那么这类自然数中最小的是几解析一个自然数的值要最小首先要求它的数位最小其次要求高位的然数为个例要得到最大的数左边应尽量多地保留因为中有个数码其中有个要想左边保留个必将前个自然数依次无间隔地写成一个位数从中划去个数字那么剩下的位数最大是多少最小是多少解析须划掉中的个数码剩下的数码只有个不