八年级数学《全等三角形》能力培优中学教育中考_中学教育-中考.pdf

初中精品资料 欢迎下载 八年级数学全等三角形能力培优 一解答题（共 8小题）1如图所示，一个四边形纸片 ABCD，B=D=90，把纸片按如图所示折叠，使点 B落在 AD边上的 B点，AE是折痕（1）试判断 BE 与 DC的位置关系；（2）如果C=130，求AEB的度数 2已知：点 A（4，0），点 B 是 y 轴正半轴上一点，如图 1，以 AB为直角边作等腰直角三角形 ABC （1）当点 B坐标为（0，1）时，求点 C的坐标；（2）如图 2，以 OB为直角边作等腰直角OBD，点 D 在第一象限，连接 CD交y 轴于点 E在点 B 运动的过程中，BE的长是否发生变化？若不变，求出 BE的长；若变化，请说明理由 初中精品资料 欢迎下载 3如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，E为 AC边的一点，F 为 AB边上一点，连接 CF，交 BE于点 D 且ACF=CBE，CG平分ACB交 BD于点 G，（1）求证：CF=BG；（2）延长 CG交 AB于 H，连接 AG，过点 C 作 CPAG交 BE的延长线于点 P，求证：PB=CP+CF；4如图（1），AB=CD，AD=BC，O 为 AC中点，过 O 点的直线分别与 AD、BC相交于点 M、N，那么1 与2 有什么关系？请说明理由；若过 O 点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的1 与2 的关系成立吗？请说明理由 示折叠使点落在边上的点是折痕试判断与的位置关系如果求的度数已知点点是轴正半轴上一点如图以为直角边作等腰直角三角形当点坐标为时求点的坐标如图以为直角边作等腰直角点在第一象限连接交轴于点在点运动的过程中的长点且平分交于点求证延长交于连接过点作交的延长线于点求证如图为中点过点的直线分别与相交于点那么与有什么关系请说明理由若过点的直线旋转至图的情况其余条件不变那么图中的与的关系成立吗请说明理由初中精品资料欢迎度数为那么的度数分别是多少用含有或的代数式表示与之间有一种数量关系始终保持不变请找出这个规律在中是的角平分线如图过作交延长线于点若为的中点连接求证如图为的中点过作交于点若求的长初中精品资料欢迎下载如图在初中精品资料 欢迎下载 5如图，把ABC纸片沿 DE折叠，当点 A落在四边形 BCDE内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设AED的度数为 x，ADE的度数为 y，那么1，2 的度数分别是多少？（用含有 x 或 y 的代数式表示）（3）A与1+2 之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律 6在ABC中，AD是ABC的角平分线（1）如图 1，过 C作 CEAD交 BA延长线于点 E，若 F为 CE的中点，连接 AF，求证：AFAD；（2）如图 2，M 为 BC的中点，过 M 作 MNAD交 AC于点 N，若 AB=4，AC=7，求 NC的长 示折叠使点落在边上的点是折痕试判断与的位置关系如果求的度数已知点点是轴正半轴上一点如图以为直角边作等腰直角三角形当点坐标为时求点的坐标如图以为直角边作等腰直角点在第一象限连接交轴于点在点运动的过程中的长点且平分交于点求证延长交于连接过点作交的延长线于点求证如图为中点过点的直线分别与相交于点那么与有什么关系请说明理由若过点的直线旋转至图的情况其余条件不变那么图中的与的关系成立吗请说明理由初中精品资料欢迎度数为那么的度数分别是多少用含有或的代数式表示与之间有一种数量关系始终保持不变请找出这个规律在中是的角平分线如图过作交延长线于点若为的中点连接求证如图为的中点过作交于点若求的长初中精品资料欢迎下载如图在初中精品资料 欢迎下载 7如图，在 RtABC中，ABC=90，CD平分ACB交 AB于点 D，DEAC于点 E，BFDE交 CD于点 F 求证：DE=BF 8已知：ABC内部一点 O 到两边 AB、AC所在直线的距离相等，且 OB=OC 求证：AB=AC 示折叠使点落在边上的点是折痕试判断与的位置关系如果求的度数已知点点是轴正半轴上一点如图以为直角边作等腰直角三角形当点坐标为时求点的坐标如图以为直角边作等腰直角点在第一象限连接交轴于点在点运动的过程中的长点且平分交于点求证延长交于连接过点作交的延长线于点求证如图为中点过点的直线分别与相交于点那么与有什么关系请说明理由若过点的直线旋转至图的情况其余条件不变那么图中的与的关系成立吗请说明理由初中精品资料欢迎度数为那么的度数分别是多少用含有或的代数式表示与之间有一种数量关系始终保持不变请找出这个规律在中是的角平分线如图过作交延长线于点若为的中点连接求证如图为的中点过作交于点若求的长初中精品资料欢迎下载如图在初中精品资料 欢迎下载 八年级数学全等三角形能力培优 参考答案与试题解析 一解答题（共 8小题）1如图所示，一个四边形纸片 ABCD，B=D=90，把纸片按如图所示折叠，使点 B落在 AD边上的 B点，AE是折痕（1）试判断 BE 与 DC的位置关系；（2）如果C=130，求AEB的度数 【分析】（1）由于 AB是 AB的折叠后形成的，所以ABE=B=D=90，BEDC；（2）利用平行线的性质和全等三角形求解【解答】解：（1）由于 AB是 AB的折叠后形成的，ABE=B=D=90，BEDC；（2）折叠，ABE ABE，AEB=AEB，即AEB=BEB，BEDC，BEB=C=130，AEB=BEB=65【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点 B落在 AD 边上的 B点，则ABE ABE，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解 2已知：点 A（4，0），点 B 是 y 轴正半轴上一点，如图 1，以 AB为直角边作示折叠使点落在边上的点是折痕试判断与的位置关系如果求的度数已知点点是轴正半轴上一点如图以为直角边作等腰直角三角形当点坐标为时求点的坐标如图以为直角边作等腰直角点在第一象限连接交轴于点在点运动的过程中的长点且平分交于点求证延长交于连接过点作交的延长线于点求证如图为中点过点的直线分别与相交于点那么与有什么关系请说明理由若过点的直线旋转至图的情况其余条件不变那么图中的与的关系成立吗请说明理由初中精品资料欢迎度数为那么的度数分别是多少用含有或的代数式表示与之间有一种数量关系始终保持不变请找出这个规律在中是的角平分线如图过作交延长线于点若为的中点连接求证如图为的中点过作交于点若求的长初中精品资料欢迎下载如图在初中精品资料 欢迎下载 等腰直角三角形 ABC （1）当点 B坐标为（0，1）时，求点 C的坐标；（2）如图 2，以 OB为直角边作等腰直角OBD，点 D 在第一象限，连接 CD交y 轴于点 E在点 B 运动的过程中，BE的长是否发生变化？若不变，求出 BE的长；若变化，请说明理由 【分析】（1）过C作CMy轴于M，通过判定BCMABO（AAS），得出CM=BO=1，BM=AO=4，进而得到 OM=3，据此可得 C（1，3）；（2）过 C 作 CMy 轴于 M，根据BCMABO，可得 CM=BO，BM=OA=4，再判定DBE CME（AAS），可得 BE=EM，进而得到 BE=BM=2【解答】解：（1）如图 1，过 C作 CMy 轴于 M CMy 轴，BMC=AOB=90，ABO+BAO=90 ABC=90，CBM+ABO=90，CBM=BAO，在BCM与ABO中，BCMABO（AAS），CM=BO=1，BM=AO=4，OM=3，C（1，3）；示折叠使点落在边上的点是折痕试判断与的位置关系如果求的度数已知点点是轴正半轴上一点如图以为直角边作等腰直角三角形当点坐标为时求点的坐标如图以为直角边作等腰直角点在第一象限连接交轴于点在点运动的过程中的长点且平分交于点求证延长交于连接过点作交的延长线于点求证如图为中点过点的直线分别与相交于点那么与有什么关系请说明理由若过点的直线旋转至图的情况其余条件不变那么图中的与的关系成立吗请说明理由初中精品资料欢迎度数为那么的度数分别是多少用含有或的代数式表示与之间有一种数量关系始终保持不变请找出这个规律在中是的角平分线如图过作交延长线于点若为的中点连接求证如图为的中点过作交于点若求的长初中精品资料欢迎下载如图在初中精品资料 欢迎下载（2）在 B点运动过程中，BE长保持不变，BE的长为 2，理由：如图 2，过 C作 CMy 轴于 M，由（1）可知：BCMABO，CM=BO，BM=OA=4 BDO是等腰直角三角形，BO=BD，DBO=90，CM=BD，DBE=CME=90，在DBE与CME中，DBE CME（AAS），BE=EM，BE=BM=2 【点评】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，判定DBE CME 是解第（2）题的关键 3如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，E为 AC边的一点，F 为 AB边上一点，连接 CF，交 BE于点 D 且ACF=CBE，CG平分ACB交 BD于点 G，示折叠使点落在边上的点是折痕试判断与的位置关系如果求的度数已知点点是轴正半轴上一点如图以为直角边作等腰直角三角形当点坐标为时求点的坐标如图以为直角边作等腰直角点在第一象限连接交轴于点在点运动的过程中的长点且平分交于点求证延长交于连接过点作交的延长线于点求证如图为中点过点的直线分别与相交于点那么与有什么关系请说明理由若过点的直线旋转至图的情况其余条件不变那么图中的与的关系成立吗请说明理由初中精品资料欢迎度数为那么的度数分别是多少用含有或的代数式表示与之间有一种数量关系始终保持不变请找出这个规律在中是的角平分线如图过作交延长线于点若为的中点连接求证如图为的中点过作交于点若求的长初中精品资料欢迎下载如图在初中精品资料 欢迎下载（1）求证：CF=BG；（2）延长 CG交 AB于 H，连接 AG，过点 C 作 CPAG交 BE的延长线于点 P，求证：PB=CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当GAC=2 FCH时，若 SAEG=3，BG=6，求 AC的长 【分析】（1）根据 ASA证明BCGCAF，则 CF=BG；（2）先证明ACGBCG，得CAG=CBE，再证明PCG=PGC，即可得出结论；（3）作AEG的高线 EM，根据角的大小关系得出CAG=30，根据面积求出 EM的长，利用 30 角的三角函数值依次求 AE、EG、BE的长，所以 CE=3+，根据线段的和得出 AC的长【解答】证明：（1）如图 1，ACB=90，AC=BC，A=45，CG平分ACB，ACG=BCG=45，A=BCG，在BCG和CAF中，BCGCAF（ASA），CF=BG；（2）如图 2，PCAG，PCA=CAG，AC=BC，ACG=BCG，CG=CG，ACGBCG，示折叠使点落在边上的点是折痕试判断与的位置关系如果求的度数已知点点是轴正半轴上一点如图以为直角边作等腰直角三角形当点坐标为时求点的坐标如图以为直角边作等腰直角点在第一象限连接交轴于点在点运动的过程中的长点且平分交于点求证延长交于连接过点作交的延长线于点求证如图为中点过点的直线分别与相交于点那么与有什么关系请说明理由若过点的直线旋转至图的情况其余条件不变那么图中的与的关系成立吗请说明理由初中精品资料欢迎度数为那么的度数分别是多少用含有或的代数式表示与之间有一种数量关系始终保持不变请找出这个规律在中是的角平分线如图过作交延长线于点若为的中点连接求证如图为的中点过作交于点若求的长初中精品资料欢迎下载如图在初中精品资料 欢迎下载 CAG=CBE，PCG=PCA+ACG=CAG+45=CBE+45，PGC=GCB+CBE=CBE+45，PCG=PGC，PC=PG，PB=BG+PG，BG=CF，PB=CF+CP；（3）如图 3，过 E作 EMAG，交 AG于 M，SAEG=AGEM=3，由（2）得：ACGBCG，BG=AG=6，6EM=3，EM=，设FCH=x，则GAC=2x，ACF=EBC=GAC=2x，ACH=45，2x+x=45，x=15，ACF=GAC=30，在 RtAEM中，AE=2EM=2，AM=3，M 是 AG的中点，AE=EG=2，BE=BG+EG=6+2，在 RtECB中，EBC=30，CE=BE=3+，AC=AE+EC=2+3+=3+3 示折叠使点落在边上的点是折痕试判断与的位置关系如果求的度数已知点点是轴正半轴上一点如图以为直角边作等腰直角三角形当点坐标为时求点的坐标如图以为直角边作等腰直角点在第一象限连接交轴于点在点运动的过程中的长点且平分交于点求证延长交于连接过点作交的延长线于点求证如图为中点过点的直线分别与相交于点那么与有什么关系请说明理由若过点的直线旋转至图的情况其余条件不变那么图中的与的关系成立吗请说明理由初中精品资料欢迎度数为那么的度数分别是多少用含有或的代数式表示与之间有一种数量关系始终保持不变请找出这个规律在中是的角平分线如图过作交延长线于点若为的中点连接求证如图为的中点过作交于点若求的长初中精品资料欢迎下载如图在初中精品资料 欢迎下载 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定及等腰直角三角形的性质，证明两线段相等时，一般都是证明两线段所在的三角形全等，因此第一问只需要证明BCGCAF即可；第 3 问，如何得出 30 角和作辅助线，利用到 SAEG=3列式是突破口 4如图（1），AB=CD，AD=BC，O 为 AC中点，过 O 点的直线分别与 AD、BC相交于点 M、N，那么1 与2 有什么关系？请说明理由；若过 O 点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的1 与2 的关系成立吗？请说明理由 【分析】（1）证明三角形 ACD和 CAB全等根据全等三角形判定中的 SSS 可得出两三角形全等，那么就能证出 ADBC，也就得出1=2 了（2）（3）和（1）的证法完全一样【解答】解：1 与2 相等 证明：在ADC与CBA中，ADC CBA （SSS）DAC=BCA DABC 1=2 示折叠使点落在边上的点是折痕试判断与的位置关系如果求的度数已知点点是轴正半轴上一点如图以为直角边作等腰直角三角形当点坐标为时求点的坐标如图以为直角边作等腰直角点在第一象限连接交轴于点在点运动的过程中的长点且平分交于点求证延长交于连接过点作交的延长线于点求证如图为中点过点的直线分别与相交于点那么与有什么关系请说明理由若过点的直线旋转至图的情况其余条件不变那么图中的与的关系成立吗请说明理由初中精品资料欢迎度数为那么的度数分别是多少用含有或的代数式表示与之间有一种数量关系始终保持不变请找出这个规律在中是的角平分线如图过作交延长线于点若为的中点连接求证如图为的中点过作交于点若求的长初中精品资料欢迎下载如图在初中精品资料 欢迎下载 图形同理可证，ADC CBA得到DAC=BCA，则 DABC，1=2【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定，根据全等三角形得出角相等是解题的关键 5如图，把ABC纸片沿 DE折叠，当点 A落在四边形 BCDE内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设AED的度数为 x，ADE的度数为 y，那么1，2 的度数分别是多少？（用含有 x 或 y 的代数式表示）（3）A与1+2 之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律 【分析】（1）根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的顶点是对应点，重合的角是对应角；（2）根据全等三角形的对应角相等，以及平角的定义进行表示；（3）根据（2）中的表示方法，可以求得1+2，再找到A和 x、y 之间的关系，就可建立它们之间的联系【解答】解：（1）EAD EAD，其中EAD=EAD，AED=AED，ADE=ADE；（2）1=180 2x，2=180 2y；（3）1+2=360 2（x+y）=360 2（180 A）=2A 规律为：1+2=2A【点评】在研究折叠问题时，有全等形出现，要充分利用全等的性质 6在ABC中，AD是ABC的角平分线（1）如图 1，过 C作 CEAD交 BA延长线于点 E，若 F为 CE的中点，连接 AF，求证：AFAD；示折叠使点落在边上的点是折痕试判断与的位置关系如果求的度数已知点点是轴正半轴上一点如图以为直角边作等腰直角三角形当点坐标为时求点的坐标如图以为直角边作等腰直角点在第一象限连接交轴于点在点运动的过程中的长点且平分交于点求证延长交于连接过点作交的延长线于点求证如图为中点过点的直线分别与相交于点那么与有什么关系请说明理由若过点的直线旋转至图的情况其余条件不变那么图中的与的关系成立吗请说明理由初中精品资料欢迎度数为那么的度数分别是多少用含有或的代数式表示与之间有一种数量关系始终保持不变请找出这个规律在中是的角平分线如图过作交延长线于点若为的中点连接求证如图为的中点过作交于点若求的长初中精品资料欢迎下载如图在初中精品资料 欢迎下载（2）如图 2，M 为 BC的中点，过 M 作 MNAD交 AC于点 N，若 AB=4，AC=7，求 NC的长 【分析】（1）推出3=E，推出 AC=AE，根据等腰三角形性质得出 AFCE，根据平行线性质推出即可；（2）延长 BA与 MN 延长线于点 E，过 B 作 BFAC交 NM 延长线于点 F，求出BF=CN，AE=AN，BE=BF 设 CN=x，则 BF=x，AE=AN=AC CN=7x，BE=AB+AE=4+7x得出方程 4+7x=x求出即可【解答】（1 证明：AD为ABC的角平分线，1=2 CEAD，1=E，2=3 E=3 AC=AE F为 EC的中点，AFEC，ADEC，AFE=FAD=90 AFAD （2）解：延长 BA与 MN 延长线于点 E，过 B作 BFAC交 NM 延长线于点 F，3=C，F=4 M 为 BC的中点 示折叠使点落在边上的点是折痕试判断与的位置关系如果求的度数已知点点是轴正半轴上一点如图以为直角边作等腰直角三角形当点坐标为时求点的坐标如图以为直角边作等腰直角点在第一象限连接交轴于点在点运动的过程中的长点且平分交于点求证延长交于连接过点作交的延长线于点求证如图为中点过点的直线分别与相交于点那么与有什么关系请说明理由若过点的直线旋转至图的情况其余条件不变那么图中的与的关系成立吗请说明理由初中精品资料欢迎度数为那么的度数分别是多少用含有或的代数式表示与之间有一种数量关系始终保持不变请找出这个规律在中是的角平分线如图过作交延长线于点若为的中点连接求证如图为的中点过作交于点若求的长初中精品资料欢迎下载如图在初中精品资料 欢迎下载 BM=CM 在BFM和CNM 中，BFMCNM（AAS），BF=CN，MNAD，1=E，2=4=5 E=5=F AE=AN，BE=BF 设 CN=x，则 BF=x，AE=AN=AC CN=7x，BE=AB+AE=4+7x 4+7x=x 解得 x=5.5 CN=5.5 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用 7如图，在 RtABC中，ABC=90，CD平分ACB交 AB于点 D，DEAC于示折叠使点落在边上的点是折痕试判断与的位置关系如果求的度数已知点点是轴正半轴上一点如图以为直角边作等腰直角三角形当点坐标为时求点的坐标如图以为直角边作等腰直角点在第一象限连接交轴于点在点运动的过程中的长点且平分交于点求证延长交于连接过点作交的延长线于点求证如图为中点过点的直线分别与相交于点那么与有什么关系请说明理由若过点的直线旋转至图的情况其余条件不变那么图中的与的关系成立吗请说明理由初中精品资料欢迎度数为那么的度数分别是多少用含有或的代数式表示与之间有一种数量关系始终保持不变请找出这个规律在中是的角平分线如图过作交延长线于点若为的中点连接求证如图为的中点过作交于点若求的长初中精品资料欢迎下载如图在初中精品资料 欢迎下载 点 E，BFDE交 CD于点 F 求证：DE=BF 【分析】根据角平分线的定义得到1=2，根据角平分线的性质得到 DE=BD，3=4，由平行线的性质得到 3=5，于是得到结论【解答】证明：CD平分ACB，1=2，DEAC，ABC=90 DE=BD，3=4，BFDE，4=5，3=5，BD=BF，DE=BF 【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键 8已知：ABC内部一点 O 到两边 AB、AC所在直线的距离相等，且 OB=OC 求证：AB=AC 示折叠使点落在边上的点是折痕试判断与的位置关系如果求的度数已知点点是轴正半轴上一点如图以为直角边作等腰直角三角形当点坐标为时求点的坐标如图以为直角边作等腰直角点在第一象限连接交轴于点在点运动的过程中的长点且平分交于点求证延长交于连接过点作交的延长线于点求证如图为中点过点的直线分别与相交于点那么与有什么关系请说明理由若过点的直线旋转至图的情况其余条件不变那么图中的与的关系成立吗请说明理由初中精品资料欢迎度数为那么的度数分别是多少用含有或的代数式表示与之间有一种数量关系始终保持不变请找出这个规律在中是的角平分线如图过作交延长线于点若为的中点连接求证如图为的中点过作交于点若求的长初中精品资料欢迎下载如图在初中精品资料 欢迎下载 【分析】证明 RtBOFRtCOE，根据全等三角形的性质得到FBO=ECO，根据等腰三角形的性质得到CBO=BCO，得到ABC=ACB，根据等腰三角形的判定定理证明结论【解答】证明：在 RtBOF和 RtCOE中，RtBOFRtCOE，FBO=ECO，OB=OC，CBO=BCO，ABC=ACB，AB=AC 【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定定理是解题的关键 示折叠使点落在边上的点是折痕试判断与的位置关系如果求的度数已知点点是轴正半轴上一点如图以为直角边作等腰直角三角形当点坐标为时求点的坐标如图以为直角边作等腰直角点在第一象限连接交轴于点在点运动的过程中的长点且平分交于点求证延长交于连接过点作交的延长线于点求证如图为中点过点的直线分别与相交于点那么与有什么关系请说明理由若过点的直线旋转至图的情况其余条件不变那么图中的与的关系成立吗请说明理由初中精品资料欢迎度数为那么的度数分别是多少用含有或的代数式表示与之间有一种数量关系始终保持不变请找出这个规律在中是的角平分线如图过作交延长线于点若为的中点连接求证如图为的中点过作交于点若求的长初中精品资料欢迎下载如图在