八年级数学上册前三章知识点总结小学教育小学考试_小学教育-小学教育.pdf

第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 第 1 课时 三角形的边 1.三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。2.三角形按边分类 3.三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和大于第三边。三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是 a，b，c，则 abc 或 cba。已知三角形两边的长度分别为 a，b，求第三边长度的范围：|ab|cab 要求会的题型：数三角形的个数 方法：分类，不要重复或者多余。给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形 方法：最小边较小边最大边 不用比较三遍，只需比较一遍即可 给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形 方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。三角形 不等腰三角形（至少两边相等）等腰三角形 底边和腰不等的等腰三角形 等边三角形（三边都相等）已知三角形两边的长度分别为 a，b，求第三边长度的范围 方法：第三边长度的范围：|ab|cab 给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。第 2 课时 三角形的高、中线与角平分线 1.三角形的高 从ABC的顶点向它的对边 BC所在的直线画垂线，垂足为 D，那么线段 AD叫做ABC的边 BC上的高。三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。2.三角形的中线 连接ABC的顶点 A和它所对的对边 BC的中点 D，所得的线段 AD叫做ABC的边BC上的中线。三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。3.三角形的角平分线 A的平分线与对边 BC交于点 D，那么线段 AD叫做三角形的角平分线。要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。要求会的题型：已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度 方法：利用“等积法”，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。第 2 课时 三角形的稳定性 1.三角形具有稳定性 2.四边形及多边形不具有稳定性 接所组成的图形叫做三角形三角形按边分类不等腰三角形三角形底边和腰不等的等腰三角形等腰三角形少两边相等等边三角形三边都相等三角形三边的关系重点三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边这三边长度的范围要求会的题型数三角形的个数方法分类不要重复或者多余给出三条线段的长度或者三条线段的比值要求判断这三条线段能否组成三角形方法最小边较小边最大边不用比较三遍只需比较一遍即可给出多条线段的长度要要找重也不要漏掉已知三角形两边的长度分别为求第三边长度的范围方法第三边长度的范围给出等腰三角形的两边长度要求等腰三角形的底边和腰的长方法因为不知道这两边哪条边是底边哪条边是腰所以要分类讨论讨论完后要写综要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。11.2 与三角形有关的角 第 1 课时 三角形的内角 1.三角形的内角和定理 三角形的内角和为 180，与三角形的形状无关。2.直角三角形两个锐角的关系 直角三角形的两个锐角互余（相加为 90）。有两个角互余的三角形是直角三角形。第 2 课时 三角形的外角 1.三角形外角的意义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。2.三角形外角的性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。3.五个基本图形（1）1234（2）4 3 2 1 O C B A 接所组成的图形叫做三角形三角形按边分类不等腰三角形三角形底边和腰不等的等腰三角形等腰三角形少两边相等等边三角形三边都相等三角形三边的关系重点三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边这三边长度的范围要求会的题型数三角形的个数方法分类不要重复或者多余给出三条线段的长度或者三条线段的比值要求判断这三条线段能否组成三角形方法最小边较小边最大边不用比较三遍只需比较一遍即可给出多条线段的长度要要找重也不要漏掉已知三角形两边的长度分别为求第三边长度的范围方法第三边长度的范围给出等腰三角形的两边长度要求等腰三角形的底边和腰的长方法因为不知道这两边哪条边是底边哪条边是腰所以要分类讨论讨论完后要写综 BOCABC 11.3 多边形及其内角和 第 1 课时 多边形 1.多边形的概念 在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。一个 n 边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n3）条，其所有的对角线条数为.2.凸多边形 画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。3.正多边形 各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）要求会的题型：告诉多边形的边数，求多边形过一个顶点的对角线条数或求多边形全部对角线的条数 方法：一个 n 边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n3）条，其所有的对角线条数为.将边数带入公式即可。第 2 课时 多边形的内角和 1.n 边形的内角和定理 n 边形的内角和为 2.n 边形的外角和定理 多边形的外角和等于 360，与多边形的形状和边数无关。接所组成的图形叫做三角形三角形按边分类不等腰三角形三角形底边和腰不等的等腰三角形等腰三角形少两边相等等边三角形三边都相等三角形三边的关系重点三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边这三边长度的范围要求会的题型数三角形的个数方法分类不要重复或者多余给出三条线段的长度或者三条线段的比值要求判断这三条线段能否组成三角形方法最小边较小边最大边不用比较三遍只需比较一遍即可给出多条线段的长度要要找重也不要漏掉已知三角形两边的长度分别为求第三边长度的范围方法第三边长度的范围给出等腰三角形的两边长度要求等腰三角形的底边和腰的长方法因为不知道这两边哪条边是底边哪条边是腰所以要分类讨论讨论完后要写综第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形 1.全等形 能够完全重合的两个图形叫做全等形。2.全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角，如ABC与ABC全等，且 A和 A，B和 B分别是对应顶点，记作ABC ABC，读作ABC全等于ABC。3.全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。12.2 三角形全等的判定 三角形全等条件的选择，其基本思路如下：已知条件 可选择的判定方法 一边和一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 书写格式：在证明三角形全等的过程中应该指明在哪对三角形中，将证明三角形全等的条件用大括号括起来，并在最后全等后的括号里写上你所用的判定方法。例如：三角形全等的条件 边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）斜边、直角边（HL）1.三边对应相等的两个三角形全等.2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.4.两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.接所组成的图形叫做三角形三角形按边分类不等腰三角形三角形底边和腰不等的等腰三角形等腰三角形少两边相等等边三角形三边都相等三角形三边的关系重点三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边这三边长度的范围要求会的题型数三角形的个数方法分类不要重复或者多余给出三条线段的长度或者三条线段的比值要求判断这三条线段能否组成三角形方法最小边较小边最大边不用比较三遍只需比较一遍即可给出多条线段的长度要要找重也不要漏掉已知三角形两边的长度分别为求第三边长度的范围方法第三边长度的范围给出等腰三角形的两边长度要求等腰三角形的底边和腰的长方法因为不知道这两边哪条边是底边哪条边是腰所以要分类讨论讨论完后要写综在ABC和ABC中 ABC ABC（SSS）12.3 角平分线的性质（1）掌握角平分线的作法（见课本 19 页）（2）角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。技巧：凡是遇到关于角平分线的题，首先就应该想到过角平分线上一点作角的两边的垂线段。作垂线段的格式一般是：过某一点作“什么”垂直于“什么”于点“什么（垂足）”，一定要指明垂足。（3）几个关于角平分线的结论 三角形的内心（三角形三条角平分线的交点）到三角形三条边的距离相等。三角形的面积等于三角形的内心到其中一边的距离乘以三角形的周长除以 2。第十三章 轴对称 一、轴对称 1.定义：轴对称图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做；这条直线叫做对称轴。2.线段的垂直平分线 定义：经过线段中点并垂直于这条线段的直线。性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ABAB ACAC BCBC 接所组成的图形叫做三角形三角形按边分类不等腰三角形三角形底边和腰不等的等腰三角形等腰三角形少两边相等等边三角形三边都相等三角形三边的关系重点三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边这三边长度的范围要求会的题型数三角形的个数方法分类不要重复或者多余给出三条线段的长度或者三条线段的比值要求判断这三条线段能否组成三角形方法最小边较小边最大边不用比较三遍只需比较一遍即可给出多条线段的长度要要找重也不要漏掉已知三角形两边的长度分别为求第三边长度的范围方法第三边长度的范围给出等腰三角形的两边长度要求等腰三角形的底边和腰的长方法因为不知道这两边哪条边是底边哪条边是腰所以要分类讨论讨论完后要写综3.有关性质 轴对称图形上对应线段相等、对应角相等 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。4.成轴对称的两个图形的对称轴画法：二、做轴对称图形 方法：画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。用坐标表示轴对称 点（x,y）关于 x 轴对称的点的坐标为（x,-y）点（x,y）关于 y 轴对称的点的坐标为（-x,y）点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y）点（x、y）关于直线 x=a 对称的点的坐标为（-x+2a，y）点（x、y）关于直线 y=b 对称的点的坐标为（x，-y+2b）三、等腰三角形 1、等腰三角形 定义：两条边相等的三角形 性质：等边对等角、三线合一 判定：定义，等角对等边 2、等边三角形 定义：三条边都相等的三角形 性质：三条边都相等、三个内角都相等且每个内角都是 60 判定：三条边都相等的三角形，三个角都相等的三角形，有一个角为 60的等腰三角形。有两个角是 60的三角形是等边三角形。3.含 30角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。接所组成的图形叫做三角形三角形按边分类不等腰三角形三角形底边和腰不等的等腰三角形等腰三角形少两边相等等边三角形三边都相等三角形三边的关系重点三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边这三边长度的范围要求会的题型数三角形的个数方法分类不要重复或者多余给出三条线段的长度或者三条线段的比值要求判断这三条线段能否组成三角形方法最小边较小边最大边不用比较三遍只需比较一遍即可给出多条线段的长度要要找重也不要漏掉已知三角形两边的长度分别为求第三边长度的范围方法第三边长度的范围给出等腰三角形的两边长度要求等腰三角形的底边和腰的长方法因为不知道这两边哪条边是底边哪条边是腰所以要分类讨论讨论完后要写综4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5.等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 常见轴对称图形及他们的对称轴 名称 对称轴的条数 对称轴 角 1 角平分线坐在的直线 等腰三角形 1 底边上的高（顶角平分线或者底边上的中线）所在的直线 等边三角形 3 各边上的高（角平分线或中线所在的直线）等腰梯形 1 上下底的中点所在的直线 菱形 2 两条对角线所在的直线 圆 无数条 过圆心的每一条直线 正方形 4 两条对角线所在的直线或过对边中点所在的直线 正五边形 5 过顶点与对边中点所在的直线 正六边形 6 过相对的顶点所在的直线或过对边中点所在的直线 轴对称和轴对称图形的区别和联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴数只有一条对称轴 不一定只有一条 接所组成的图形叫做三角形三角形按边分类不等腰三角形三角形底边和腰不等的等腰三角形等腰三角形少两边相等等边三角形三边都相等三角形三边的关系重点三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边这三边长度的范围要求会的题型数三角形的个数方法分类不要重复或者多余给出三条线段的长度或者三条线段的比值要求判断这三条线段能否组成三角形方法最小边较小边最大边不用比较三遍只需比较一遍即可给出多条线段的长度要要找重也不要漏掉已知三角形两边的长度分别为求第三边长度的范围方法第三边长度的范围给出等腰三角形的两边长度要求等腰三角形的底边和腰的长方法因为不知道这两边哪条边是底边哪条边是腰所以要分类讨论讨论完后要写综量不同 联系 沿对称轴折叠，两个图形重合；如果吧成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。沿对称轴折叠、图形的两部分重合；如果把轴对称图形的两部分当做两个图形，那么这两个图形成轴对称。接所组成的图形叫做三角形三角形按边分类不等腰三角形三角形底边和腰不等的等腰三角形等腰三角形少两边相等等边三角形三边都相等三角形三边的关系重点三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边这三边长度的范围要求会的题型数三角形的个数方法分类不要重复或者多余给出三条线段的长度或者三条线段的比值要求判断这三条线段能否组成三角形方法最小边较小边最大边不用比较三遍只需比较一遍即可给出多条线段的长度要要找重也不要漏掉已知三角形两边的长度分别为求第三边长度的范围方法第三边长度的范围给出等腰三角形的两边长度要求等腰三角形的底边和腰的长方法因为不知道这两边哪条边是底边哪条边是腰所以要分类讨论讨论完后要写综