二次函数根与系数关系中学教育中考_中学教育-中考.pdf

学习必备 欢迎下载 一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由 16 世纪的法国数学家韦达发现的 它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用 【知识要点】1如果方程(aO)的两根为，那么，这就是一元二次方程的根与系数的关系 2如果两个数的和为 m，积为 n，则以这两个数为根的一元二次方程为 3若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根 4求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式 5当一元二次方程(aO)有两根，时：(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，则方程有两个正根；(3)若，则方程有两个负根 【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解 因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：求方程中字母系数的值或取值范围；求代数式的值；结合根的判别式，判断根的符号特征；构造一元二次方程解题；证明代数等式，不等式；与一元二次方程的整数根有关的问题 【范例解读】题 1 (1997陕西)已知二次方程(ac0)有两异号实根 m 和 n，且 mn，那么，二次方程的根的情况是 ()(A)有两个负根 (B)有两个正根(C)两根异号 (D)无实数根 分析 首先考虑方程的判别式的符号如果由判别式符号确定方程有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号 学习必备 欢迎下载 解 m，n 异号且 mn，m0，从而，方程的判别式：，故方程必有两实根 设这两个实根为，则由根与系数关系得，可知，均为负数，故选(A)题 2 (1997上海)若 a 和 b 是方程的两个实根，c 和 d 是方程的两个实根，e 和 f 是方程的两个实根，则的值为_ 分析 由已知可得 ab3，cd3，ef3，a+b-2p，c+d-2q，将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入 解 由方程根与系数关系得 ab=3，cd3，ef3，a+b-2p，c+d-2q，则 题 3 (1996祖冲之杯)已知，是方程的两根，不解方程，求祥瑞万代长盛芳江汉支派世德宏有文明必达其兆方升保邦贻家承先济美惟秉忠贞敦信崇义永绍万年喻礼尚仁敬学启智纯良恭俭慎举善思湖北竹山金氏字辈天邦臣师必与显名孔孟道学希世光荣汝惟尚志湖北汉川金日磾后代字辈文章华字辈国正天心纯学本身之宝儒为席上珍帝廷贤辅佐必用读书人湖北花水港金氏字辈文章华国诗礼传家克绍先业正学大光宽信敏惠厚德显扬湖北金氏一支字辈殿绍生永建家国世配中重起湖北金氏一支字辈文宗志万正大光明国家新兴胜胤弘颐曼奕载常溥毓恒启松柏清国焘闾增祺敬志开端锡英源盛正兆懋祥辽宁千山金氏字辈国有忠贤有官良财守德榜秉文起天万殿玉长广宝国荣文增先世安康育国贤青年家道胜孝有进江山辽宁辽阳金氏字辈玉朝殿新万绍忠文主德继续学习必备 欢迎下载 的值 分析 待求式中，是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题 解 由根与系数的关系得+=7，8，因，故，记，令，从而，题 4 (2000 江苏)已知，其中 m，n 为实数，则_.分析 根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值 解 由已知等式可变形成 与，由于 m，的关系没有给定，故应分两种情况：当时，；祥瑞万代长盛芳江汉支派世德宏有文明必达其兆方升保邦贻家承先济美惟秉忠贞敦信崇义永绍万年喻礼尚仁敬学启智纯良恭俭慎举善思湖北竹山金氏字辈天邦臣师必与显名孔孟道学希世光荣汝惟尚志湖北汉川金日磾后代字辈文章华字辈国正天心纯学本身之宝儒为席上珍帝廷贤辅佐必用读书人湖北花水港金氏字辈文章华国诗礼传家克绍先业正学大光宽信敏惠厚德显扬湖北金氏一支字辈殿绍生永建家国世配中重起湖北金氏一支字辈文宗志万正大光明国家新兴胜胤弘颐曼奕载常溥毓恒启松柏清国焘闾增祺敬志开端锡英源盛正兆懋祥辽宁千山金氏字辈国有忠贤有官良财守德榜秉文起天万殿玉长广宝国荣文增先世安康育国贤青年家道胜孝有进江山辽宁辽阳金氏字辈玉朝殿新万绍忠文主德继续学习必备 欢迎下载 当时，可知 m，是方程的两个根，则由根与系数关系 得，综合，得或.题 5 (1996江苏)设的两个实根为，(1)求以，为根的一元二次方程；(2)若以，为根的一元二次方程仍是，求所有这样的一元二次方程 分析 根据方程根与系数关系求和的值，由此即可作出新方程；根据新方程的一次项系数等于-p，常数项等于 q，可求得 p，q 的值 解 (1)由根与系数关系得+p，q，所求方程是；(2)由题意得 则 根据七种情况的值依次得以下七个方程：，其中仅无实数根，舍去.故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：，祥瑞万代长盛芳江汉支派世德宏有文明必达其兆方升保邦贻家承先济美惟秉忠贞敦信崇义永绍万年喻礼尚仁敬学启智纯良恭俭慎举善思湖北竹山金氏字辈天邦臣师必与显名孔孟道学希世光荣汝惟尚志湖北汉川金日磾后代字辈文章华字辈国正天心纯学本身之宝儒为席上珍帝廷贤辅佐必用读书人湖北花水港金氏字辈文章华国诗礼传家克绍先业正学大光宽信敏惠厚德显扬湖北金氏一支字辈殿绍生永建家国世配中重起湖北金氏一支字辈文宗志万正大光明国家新兴胜胤弘颐曼奕载常溥毓恒启松柏清国焘闾增祺敬志开端锡英源盛正兆懋祥辽宁千山金氏字辈国有忠贤有官良财守德榜秉文起天万殿玉长广宝国荣文增先世安康育国贤青年家道胜孝有进江山辽宁辽阳金氏字辈玉朝殿新万绍忠文主德继续学习必备 欢迎下载 题 6 (2000全国)设关于 x 的二次方程 的两根都是整数 求满足条件的所有实数 k的值 分析 根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值 解 原方程可化为 (k-4)(k-2)0，解得方程两根为，消去 k，得，由于，都是整数，故 对应的 k 的值分别为 6，3，【方法指引】1构造对偶式法对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解这种方法称为构造对偶式法常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等 2解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1)直接求解法若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解(2)利用判别式法在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解(3)运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解(4)巧换主元法若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解 祥瑞万代长盛芳江汉支派世德宏有文明必达其兆方升保邦贻家承先济美惟秉忠贞敦信崇义永绍万年喻礼尚仁敬学启智纯良恭俭慎举善思湖北竹山金氏字辈天邦臣师必与显名孔孟道学希世光荣汝惟尚志湖北汉川金日磾后代字辈文章华字辈国正天心纯学本身之宝儒为席上珍帝廷贤辅佐必用读书人湖北花水港金氏字辈文章华国诗礼传家克绍先业正学大光宽信敏惠厚德显扬湖北金氏一支字辈殿绍生永建家国世配中重起湖北金氏一支字辈文宗志万正大光明国家新兴胜胤弘颐曼奕载常溥毓恒启松柏清国焘闾增祺敬志开端锡英源盛正兆懋祥辽宁千山金氏字辈国有忠贤有官良财守德榜秉文起天万殿玉长广宝国荣文增先世安康育国贤青年家道胜孝有进江山辽宁辽阳金氏字辈玉朝殿新万绍忠文主德继续学习必备 欢迎下载 【综合能力训练】1ABC 的一边长为 5，另两边长恰好是方程的两根，那么 m 的取值范围是_ 2设，是方程的两实根，且，则 k的值是 ()(A)-3 或 1 (B)-3(C)1 (D)不小于的一切实数 3若方程的两根为，它也是方程的两个根，则 p=_ 4若 ab1，且有，及，则的值是()(A)(B)(C)(D)5在 RtABC 中，C90，若 sinA 和 sinB 是方程的两根，求A和B 的度数及 k 的值 6求满足如下条件的所有 k 值，使关于 x 的方程的根都是整数。参考答案【综合能力训练】1设另外两边长为 a、b，则，因为 a，b 是实数，所以，即，.由三角形两边之差小于第三边，有 祥瑞万代长盛芳江汉支派世德宏有文明必达其兆方升保邦贻家承先济美惟秉忠贞敦信崇义永绍万年喻礼尚仁敬学启智纯良恭俭慎举善思湖北竹山金氏字辈天邦臣师必与显名孔孟道学希世光荣汝惟尚志湖北汉川金日磾后代字辈文章华字辈国正天心纯学本身之宝儒为席上珍帝廷贤辅佐必用读书人湖北花水港金氏字辈文章华国诗礼传家克绍先业正学大光宽信敏惠厚德显扬湖北金氏一支字辈殿绍生永建家国世配中重起湖北金氏一支字辈文宗志万正大光明国家新兴胜胤弘颐曼奕载常溥毓恒启松柏清国焘闾增祺敬志开端锡英源盛正兆懋祥辽宁千山金氏字辈国有忠贤有官良财守德榜秉文起天万殿玉长广宝国荣文增先世安康育国贤青年家道胜孝有进江山辽宁辽阳金氏字辈玉朝殿新万绍忠文主德继续学习必备 欢迎下载，故 m 的取值范围为。2 由 根 与 系 数 关 系 得 ，而 由题意得，解得，。而当时，无实数根，舍去；当时，方程的两个实数根为 1 和 3。故选（C）。3由是方程的两根得，.由是方程的两根，得，。两式相减，得 。4原式可变形为，又即，a，是方程的两根。，即.故选（A）。5由根与系数关系，得 祥瑞万代长盛芳江汉支派世德宏有文明必达其兆方升保邦贻家承先济美惟秉忠贞敦信崇义永绍万年喻礼尚仁敬学启智纯良恭俭慎举善思湖北竹山金氏字辈天邦臣师必与显名孔孟道学希世光荣汝惟尚志湖北汉川金日磾后代字辈文章华字辈国正天心纯学本身之宝儒为席上珍帝廷贤辅佐必用读书人湖北花水港金氏字辈文章华国诗礼传家克绍先业正学大光宽信敏惠厚德显扬湖北金氏一支字辈殿绍生永建家国世配中重起湖北金氏一支字辈文宗志万正大光明国家新兴胜胤弘颐曼奕载常溥毓恒启松柏清国焘闾增祺敬志开端锡英源盛正兆懋祥辽宁千山金氏字辈国有忠贤有官良财守德榜秉文起天万殿玉长广宝国荣文增先世安康育国贤青年家道胜孝有进江山辽宁辽阳金氏字辈玉朝殿新万绍忠文主德继续学习必备 欢迎下载 A+B=90，。于是有 由式两边平方，得。由、式知.又由、式可得，是方程的两根，则有，即，故A=B=45。6（1）若 k=0，则方程为，解得符合题意；（2）若，设方程的两个整数根为，（），则有 -得，。或，或，k=1。祥瑞万代长盛芳江汉支派世德宏有文明必达其兆方升保邦贻家承先济美惟秉忠贞敦信崇义永绍万年喻礼尚仁敬学启智纯良恭俭慎举善思湖北竹山金氏字辈天邦臣师必与显名孔孟道学希世光荣汝惟尚志湖北汉川金日磾后代字辈文章华字辈国正天心纯学本身之宝儒为席上珍帝廷贤辅佐必用读书人湖北花水港金氏字辈文章华国诗礼传家克绍先业正学大光宽信敏惠厚德显扬湖北金氏一支字辈殿绍生永建家国世配中重起湖北金氏一支字辈文宗志万正大光明国家新兴胜胤弘颐曼奕载常溥毓恒启松柏清国焘闾增祺敬志开端锡英源盛正兆懋祥辽宁千山金氏字辈国有忠贤有官良财守德榜秉文起天万殿玉长广宝国荣文增先世安康育国贤青年家道胜孝有进江山辽宁辽阳金氏字辈玉朝殿新万绍忠文主德继续学习必备 欢迎下载 又当或 k=1 时，判别式均可得到，或 k=1。综上所述，满足条件的所有 k 的值有三个，分别为 k=0，或 1。祥瑞万代长盛芳江汉支派世德宏有文明必达其兆方升保邦贻家承先济美惟秉忠贞敦信崇义永绍万年喻礼尚仁敬学启智纯良恭俭慎举善思湖北竹山金氏字辈天邦臣师必与显名孔孟道学希世光荣汝惟尚志湖北汉川金日磾后代字辈文章华字辈国正天心纯学本身之宝儒为席上珍帝廷贤辅佐必用读书人湖北花水港金氏字辈文章华国诗礼传家克绍先业正学大光宽信敏惠厚德显扬湖北金氏一支字辈殿绍生永建家国世配中重起湖北金氏一支字辈文宗志万正大光明国家新兴胜胤弘颐曼奕载常溥毓恒启松柏清国焘闾增祺敬志开端锡英源盛正兆懋祥辽宁千山金氏字辈国有忠贤有官良财守德榜秉文起天万殿玉长广宝国荣文增先世安康育国贤青年家道胜孝有进江山辽宁辽阳金氏字辈玉朝殿新万绍忠文主德继续