4.2.3直线与圆的方程的应用题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2第四章（含答案）.docx

4.2.3直线与圆的方程的应用基础过关练题组一直线与圆的方程在平面几何中的应用1.在圆x2+y2-2x-6y=0内过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.52B.102C.152D.2022.一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短距离是()A.4B.5C.32-1D.263.若圆O:x2+y2=4和圆C:(x+2)2+(y-2)2=4关于直线l对称,则直线l的方程为()A.x-y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-2=0D.x+y+2=04.过圆x2+y2-4x=0外一点(m,n)作圆的两条切线,当这两条切线互相垂直时,m,n满足的关系式是()A.(m-2)2+n2=4B.(m+2)2+n2=4C.(m-2)2+n2=8D.(m+2)2+n2=85.圆x2+y2+y+m=0与其关于直线x+2y-1=0对称的圆总有四条公切线,则m的取值范围是. 6.方程1-x2=kx+2有唯一解,则实数k的范围是. 7.如图,A、B是直线l上的两点,且AB=2.两个半径长相等的动圆分别与l相切于A、B点,C是这两个圆的公共点,求圆弧AC,CB与线段AB围成封闭图形的面积S的最大值.8.已知圆O:x2+y2=1,点P(3,4),以OP为直径的圆C与圆O交于A、B两点.(1)PA与OA、PB与OB具有怎样的位置关系?(2)由(1)还可以得到什么结论?你能否将这一结论推广.题组二直线与圆的方程的实际应用9.一辆宽1.6 m的卡车,要经过一个半径长为3.6 m的半圆形隧道,则这辆卡车的高度不得超过()A.1.4 mB.3.5 mC.3.6 mD.2.0 m10.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,求城市B处于危险区内的时间.11.如图所示是一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱桥顶部离水面2 m,水面宽12 m,若水面下降1 m,求水面的宽.12.某化肥公司在A,B两地设立了两个零售点,他们统一了价格.某地农民从两地之一购得化肥后运回的费用是:A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍.已知A,B两地距离为10千米,顾客选择A地或B地购买化肥的标准是:运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时,“点P”所在曲线的形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点?能力提升练一、选择题1.(2018豫南九校高一期末,)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-1=0,则y-2x的最小值和最大值分别为()A.-9,1B.-10,1C.-9,2D.-10,22.(山西运城中学、芮城中学期中联考,)若圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在点A,使|OA|2,则实数a的取值范围是()A.(-3,-1)(1,3)B.(-3,3)C.-1,1D.-3,-11,33.(甘肃天水一中高一上学期期末,)已知半径长为1的动圆与定圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x-5)2+(y+7)2=25B.(x-5)2+(y+7)2=3或(x-5)2+(y+7)2=5C.(x-5)2+(y+7)2=9D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9二、填空题4.()若圆x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2-2by+b2=1外离,则a2+b2的范围是. 5.(四川绵阳期末教学质量检测,)若A(-33,y0)是直线l:3x+y+a=0(a>0)上的点,直线l与圆C:(x-3)2+(y+2)2=12相交于M、N两点,若MCN为等边三角形,则过点A作圆C的切线,切点为P,则|AP|=. 三、解答题6.(江苏高一期末,)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+(y-2)2=1.(1)若圆E的半径长为2,圆E与x 轴相切且与圆C外切,求圆E的标准方程;(2)若过原点O的直线l与圆C相交于A,B 两点,且|OA|=|AB|,求直线l的方程.7.(2018安徽六安一中高一期末,)已知圆O:x2+y2=1和定点T(2,1),由圆O外一动点P(m,n)向圆O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PT|.(1)求证:动点P在定直线上;(2)求线段PQ长的最小值,并写出此时点P的坐标.8.()如图所示,船行前方的河道上有一座圆拱桥,正常水位时,拱圈的最高点距水面9 m,拱圈内水面宽22 m,船体在水面以上部分高6.5 m,船顶部宽4 m,此时船可以通行无阻.近日水位暴涨了2.7 m,船已经不能通过桥洞,船员必须加重船载,降低船身在水面以上的高度,则船身至少降低多少才能通过桥洞?(精确到0.01 m)9.()已知圆C与圆D:x2+y2-4x-2y+3=0关于直线l:4x+2y-5=0对称.(1)求圆C的方程;(2)若点P(2,0),M(0,2),设Q为圆C上一动点.求QPM面积的最大值,并求出取最大值时点Q的坐标;在的结论下,过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点,若直线QA、QB的倾斜角互补,问直线AB与直线PM是否垂直?请说明理由.答案全解全析基础过关练1.B圆的方程化为(x-1)2+(y-3)2=10,由圆的性质可知最长弦AC=210,最短弦BD的中点为E(0,1),设圆的圆心为F,则F(1,3),故EF=(1-0)2+(3-1)2=5,所以BD=2×(10)2-(5)2=25,所以S四边形ABCD=12AC·BD=102.2.A圆C的圆心坐标为(2,3),半径长r=1.点A(-1,1)关于x轴对称的点A'的坐标为(-1,-1).因为点A'在反射光线所在直线上,所以最短距离为|A'C|-r,即2-(-1)2+3-(-1)2-1=4.3.B两圆的圆心分别为O(0,0),C(-2,2),由题意知,l为线段OC的垂直平分线,故其方程为x-y+2=0.4.C圆x2+y2-4x=0的圆心坐标为(2,0),半径长r=2.由题意,易知点(m,n)到圆心(2,0)的距离为22,所以(m-2)2+n2=8.5.答案-1120,14解析曲线x2+y2+y+m=0表示圆,12-4m>0,解得m<14.易知圆x2+y2+y+m=0的圆心为0,-12,半径长为14-m,对称圆与已知圆总有四条公切线,对称圆与已知圆相离,已知圆与直线x+2y-1=0相离,2×-12-112+22>14-m,解得m>-1120.综上可知,m的取值范围是-1120,14.6.答案k<-2或k>2或k=±3解析方程1-x2=kx+2有唯一解可转化为直线y=kx+2与半圆x2+y2=1(y0)只有一个交点,结合图形,易得k<-2或k>2或k=±3.7.解析如图,当两圆外切于点C时,S最大.所求面积为阴影部分的面积,此时,圆的半径长r=1,所以S=2×1-2×r24=2-2.8.解析(1)如图,点A在圆C上,OP为圆C的直径,所以OAPA,同理可得OBPB.(2)由(1)还可以得到:PA是圆O的切线,PB也是圆O的切线.这一结论可以推广为:圆O外一点P,以OP为直径的圆与圆O交于A、B两点,则PA、PB是圆O的切线.9.B建立平面直角坐标系如图所示,则|OA|=3.6 m,|AB|=0.8 m,则|OB|=3.62-0.823.5 m,所以卡车的高度不得超过3.5 m.10.解析如图,以A地为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,设以B(40,0)为圆心,30 km为半径长的圆与直线y=x交于M、N两点,则当台风中心在MN之间(含端点)时,城市B处于危险区.过B作BHMN,垂足为H,连接BN,易得BH=AB·sin 45°=202 km,则MN=2NH=2302-(202)2=20 km,又台风中心的移动速度为20 km/h,故城市B处于危险区内的时间为1 h.11.解析如图,建立平面直角坐标系,设初始水面在AB处,则由已知得A(6,-2),设圆C的半径长为r(r>0),则C(0,-r),故圆C的方程为x2+(y+r)2=r2,将A(6,-2)代入,得r=10,所以圆C的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1 m到A'B'时,设A'(x0,-3)(x0>0).将A'(x0,-3)代入式,得x0=51,所以水面下降1 m后,水面的宽为251 m.12.解析如图所示,以A,B所在直线为x轴,线段AB的中点为原点,建立平面直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).设P地的坐标为(x,y),到A地的运费为3a元/千米,到B地的运费为a元/千米.当P地到A,B两地购货总费用相等时,3a(x+5)2+y2=a(x-5)2+y2,因为a>0,所以3(x+5)2+y2=(x-5)2+y2.两边平方,得9(x+5)2+9y2=(x-5)2+y2,即x+2542+y2=1542,所以点P在以点-254,0为圆心,154为半径长的圆上.(1)当点P在以点-254,0为圆心,154为半径长的圆上时,居民到A,B两地购货总费用相等.(2)当点P在上述圆内时,x+2542+y2<1542,即3a·(x+5)2+y2<a·(x-5)2+y2,所以到A地购货合算.(3)同理可知,当点P在上述圆外时,到B地购货合算.能力提升练一、选择题1.Ax2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,y-2x可看作是直线y=2x+b在y轴上的截距,当直线y=2x+b与圆相切时,b取得最大值或最小值,此时|2×2-0+b|22+(-1)2=5,解得b=-9或b=1,所以y-2x的最大值为1,最小值为-9.2.D问题可转化为圆(x-a)2+(y-a)2=8和圆x2+y2=2相交或相切,设圆(x-a)2+(y-a)2=8的圆心为O1(a,a),半径长R=22,圆x2+y2=2的圆心为O(0,0),半径长r=2,两圆圆心距d=(a-0)2+(a-0)2=2|a|,由R-r|OO1|R+r,得22-22|a|22+2,解得1|a|3,即a-3,-11,3,故选D.3.D如图,由圆A:(x-5)2+(y+7)2=16,得圆心A的坐标为(5,-7),半径长R=4,且动圆的半径长r=1,根据图象可知:当圆B与圆A内切时,圆心B的轨迹是以A为圆心,半径长等于R-r=4-1=3的圆,则圆B的方程为(x-5)2+(y+7)2=9.当圆C与圆A外切时,圆心C的轨迹是以A为圆心,半径长等于R+r=4+1=5的圆,则圆C的方程为(x-5)2+(y+7)2=25.综上,动圆圆心的轨迹方程为(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9.二、填空题4.答案(3+22,+)解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0),2、(0,b),1,因为两圆外离,所以a2+b2>2+1,即a2+b2>3+22.5.答案62解析因为MCN为等边三角形,圆C的圆心为C(3,-2),半径长r=23,所以根据点C到直线l的距离可得:r2-r22=3=|3-2+a|3+1,即|a+1|=6,因为a>0,所以a=5,所以直线l的方程为3x+y+5=0,又A(-33,y0)在直线l上,所以-9+y0+5=0,所以y0=4,即A(-33,4),所以|AP|=|AC|2-|PC|2=(-33-3)2+(4+2)2-12=62.三、解答题6.解析(1)设圆E的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,故圆心E的坐标为(a,b),半径长r=2.又圆E与x轴相切,所以|b|=2.因为圆E与圆C外切,所以|EC|=3,即a2+(b-2)2=3.由解得a=±3,b=2,故圆E的标准方程为(x+3)2+(y-2)2=4或(x-3)2+(y-2)2=4.(2)解法一:设A(x0,y0),因为|OA|=|AB|,所以A为线段OB的中点,从而B(2x0,2y0),因为A,B都在圆C上,所以x02+(y0-2)2=1,(2x0)2+(2y0-2)2=1,解得x0=-158,y0=98或x0=158,y0=98,故直线l的方程为y=±3155x.解法二:设线段AB的中点为M,连接CM,CA.设|AM|=t,|CM|=d.因为|OA|=|AB|,所以|OM|=3t,在RtACM中,d2+t2=1,在RtOCM中,d2+(3t)2=4.由解得d=104.由题可知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程为y=kx(k0),则d=2k2+1=104,解得k=±3155,故直线l的方程为y=±3155x.7.解析(1)证明:由|PQ|=|PT|得|PQ|2=|OP|2-1=|PT|2,m2+n2-1=(m-2)2+(n-1)2,2m+n-3=0,即动点P在定直线2x+y-3=0上.(2)由(1)可得y=-2x+3,|PQ|=|OP|2-1=x2+y2-1=x2+(-2x+3)2-1=5x-652+45,故当x=65时,|PQ|min=255,即线段PQ长的最小值为255,此时P65,35.8.解析在正常水位时,设水面与桥横截面的交线为x轴,过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A,B,D三点的坐标分别为(-11,0),(11,0),(0,9),又圆心C在y轴上,故可设C(0,b).因为|CD|=|CB|,所以(9-b)2=112+b2,解得b=-209,所以圆拱桥所在圆的方程为x2+y+2092=10192.当x=2时,求得y8.820(m),即在x=2 m的地方拱圈距正常水位时的水面约8.820 m,距涨水后的水面约8.820-2.7=6.120(m),因为船高6.5 m,所以船身至少降低6.5-6.120=0.38 m,船才能顺利通过桥洞.9.解析(1)将圆D:x2+y2-4x-2y+3=0化为标准方程为(x-2)2+(y-1)2=2.圆心D(2,1),半径长为2.设圆C的圆心为(a,b),圆C与圆D关于直线4x+2y-5=0对称,圆心D(2,1)与C(a,b)关于直线l:4x+2y-5=0对称,且两圆圆心的中点在l上,b-1a-2·(-2)=-1,4·a+22+2·b+12-5=0,解得a=0,b=0,圆C的方程为x2+y2=2.(2)因为点P(2,0),M(0,2),所以|PM|=22,直线PM的方程为x+y=2.设点Q到直线PM的距离为h,圆心C到直线PM的距离为d,则d=|-2|12+12=2.SQPM=12|PM|·h=2h.要使QPM的面积取得最大值,则需h取得最大值,易知h取最大值时,点Q与圆心C的连线与直线PM垂直,故有hmax=d+r=2+2=22,所以(SQPM)max=2×22=4.此时点Q的坐标为(-1,-1).直线AB与直线PM垂直.理由如下:因为过点Q(-1,-1)作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点,直线QA、QB的倾斜角互补,所以直线QA、QB的斜率都存在.设直线QA的斜率为k,则直线QB的斜率为-k,所以直线QA的方程为y+1=k(x+1),由y+1=k(x+1),x2+y2=2得(1+k2)x2+2k(k-1)x+k2-2k-1=0,又因为点Q(-1,-1)在圆C上,所以xA·(-1)=k2-2k-11+k2,所以xA=-k2+2k+11+k2,同理,xB=-k2-2k+11+k2,所以kAB=yB-yAxB-xA=-k(xB+1)-1-k(xA+1)+1xB-xA=-k(xB+xA)-2kxB-xA=1,又kPM=2-00-2=-1,所以kPM·kAB=-1,故直线AB与直线PM垂直.