空间向量在立体几何中的应用导学案中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf
学习必备 欢迎下载 龙文教育个性化辅导教案提纲 学生:日期:年 月 日 第 次 时段:教学课题 空间向量在立体几何中的应用导学案 教学目标 考点分析 1.理解平面法向量的概念、平面的向量表示的概念，会求平面的法向量 2.掌握点、线在平面内的射影概念、平面斜线的概念，能运用向量证明三垂线定理及其逆定理，并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直、线面垂直 4.掌握直线与平面所成的角的概念和公式，会利用向量求解线面角的大小 5.掌握二面角的概念并会用空间向量求两个平面所成的二面角 6.了解距离的概念，会利用向量求点到点的距离、点到线的距离、点到面的距离 重点难点 直线与平面、平面与平面所成角的概念，掌握点与点，点与线，点与面的距离的求法 教学方法 讲练结合法、启发式教学 教学过程 322 平面的法向量与平面的向量表示(1)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1 已知平面的一个法向量)41,12,(yxa，又)2,21,3(),1,2,1(cb且cb,在内，则a()A)41,2653,529(B)41,5227,529(C)41,261,529(D)41,2653,5227(2下列命题中正确的是()A若n是平面 ABC 的一个法向量，则n和平面 ABC 内任意一条直线的方向向量垂直 B若n和平面 ABC 内两条直线的方向向量垂直，则n是平面 ABC 的法向量 C若n既是平面的法向量，又是平面的法向量，则D若，则它们所有共同的法向量在一条直线上 3如图所示，ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，PAAD，M、N 分别是 PC、AB中点，则 MN 与平面 PCD 所成角的大小为()A30 B45 C60 D90 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下面结论错误的是()ABD平面 CB1D1 BAC1BD CAC1平面 CB1D1 D异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60 学习必备 欢迎下载(二)填空题 5已知)1,1,2(),2,0,1(ACAB，则平面 ABC 的一个法向量为_ 6已知空间一点 A(1，2，1)，n)3,21,1(，空间一点 M(x，y，z)满足0nAM，则 x，y，z之间的关系是_ 7已知向量OA(1，7，8)，OB(0，14，16)，)cos81,sin71,2(c，(0，)，若c平面 OAB，则_ 8直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA16，M 是 AA1的中点，则CM_(是，不是)平面 AB1C1的一个法向量 9下列命题中：(1)平面可以用平面内两条平行直线的方向向量表示；(2)平面的法向量不一定在一条直线上；(3)平面的所有法向量都是共线向量；(4)若两个平面垂直，则它们的法向量也垂直其中正确命题的序号是_(三)解答题 10已知AB(2，2，1)，AC(4，5，3)求平面 ABC 的单位法向量 11如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，求证：平面 A1BD平面 CD1B1 立体几何中的应用导学案理解平面法向量的概念平面的向量表示的概念会求平面的法向量掌握点线在平面内的射影概念平面斜线的概念能运用向量证明三垂线定理及其逆定理并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直线面垂直掌所成的二面角了解距离的概念会利用向量求点到点的距离点到线的距离点到面的距离重点难点直线与平面平面与平面所成角的概念掌握点与点点与线点与面的距离的求法教学方法讲练结合法启发式教学平面的法向量与平面的向量表确的是若是平面的一个法向量则和平面内任意一条直线的方向向量垂直若和平面内两条直线的方向向量垂直则是平面的法向量若既是平面的法向量又是平面的法向量则若则它们所有共同的法向量在一条直线上如图所示为矩形平面分学习必备 欢迎下载 12如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 BC 的中点，N 为 AB 的中点，P 为 BB1的中点()求证：BD1B1C；()求证：BD1平面 MNP 322 平面的法向量与平面的向量表示(2)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1下列命题中，正确的命题有()(1)平面的每条斜线都垂直于这个平面内无数条直线；(2)若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直斜线在此平面内的射影；(3)若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；(4)若一条线段在平面外且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2P 是边长为 a 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点，PAAB，PAAF，为求 P 与 CD 间距离，作 PQCD 于 Q，则()AQ 为 CD 的中点 BQ 与 D 重合 CQ 与 C 重合 D以上都不对 3直角三角形 ABC 的斜边 BC 在平面内，顶点 A在平面外，则三角形 ABC 的两条直角边在平面内的射影与斜边组成的图形只能是()A一条线段 B一个锐角三角形 C一个钝角三角形 D一条线段或一个钝角三角形 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，过 8 个顶点中的任意 3 个可以作平面，其中与某一对角线垂直的平面我们称其为“有效垂面”，则这样的“有效垂面”一共有()A4 个 B6 个 C8 个 D10 个(二)填空题 5从平面外一点 A向平面引斜线 AB、AC，斜足为 B、C，ABAC，且 AB2，直线 AB 与平面成 30角，则线段 AC 长的取值范围是_ 6PO平面 ABC，O 为垂足，ACB90，BAC30，BC5，PAPBPC10，则 PO的长等于_ 7P 为ABC 所在平面外一点，则在ABC，PAB，PBC，PCA 中，直角三角形最多可能有_个 立体几何中的应用导学案理解平面法向量的概念平面的向量表示的概念会求平面的法向量掌握点线在平面内的射影概念平面斜线的概念能运用向量证明三垂线定理及其逆定理并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直线面垂直掌所成的二面角了解距离的概念会利用向量求点到点的距离点到线的距离点到面的距离重点难点直线与平面平面与平面所成角的概念掌握点与点点与线点与面的距离的求法教学方法讲练结合法启发式教学平面的法向量与平面的向量表确的是若是平面的一个法向量则和平面内任意一条直线的方向向量垂直若和平面内两条直线的方向向量垂直则是平面的法向量若既是平面的法向量又是平面的法向量则若则它们所有共同的法向量在一条直线上如图所示为矩形平面分学习必备 欢迎下载 8如图，E、F 分别是正方体的 ADD1A1面、面 BCC1B1的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体面上的射影可能是下图中的_(要求：把可能的图的序号都填上)9已知平面的一条斜线 l1和另一条直线 l2在平面内的射影分别为图形 F1F2，给出下列关于 F1，F2的形状描述：(1)为两条相交直线；(2)为两条平行直线；(3)依次为一个点和一条直线；(4)依次为一条直线和一个点；(5)为两个点；(6)为一个点；(7)为一条直线则其中可能正确的描述有_(填上所有可能正确的描述序号)(三)解答题 10如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别是 A1A，AB 上的点，若NMC190，求证：MB1MN 11如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E 为 BB1的中点，求证：平面 AEC1平面 AA1C1C 12 如图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都相等，E 是 AB1的中点，点 F 在 BC 上，满足 BFFC13，求证：EFBC 立体几何中的应用导学案理解平面法向量的概念平面的向量表示的概念会求平面的法向量掌握点线在平面内的射影概念平面斜线的概念能运用向量证明三垂线定理及其逆定理并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直线面垂直掌所成的二面角了解距离的概念会利用向量求点到点的距离点到线的距离点到面的距离重点难点直线与平面平面与平面所成角的概念掌握点与点点与线点与面的距离的求法教学方法讲练结合法启发式教学平面的法向量与平面的向量表确的是若是平面的一个法向量则和平面内任意一条直线的方向向量垂直若和平面内两条直线的方向向量垂直则是平面的法向量若既是平面的法向量又是平面的法向量则若则它们所有共同的法向量在一条直线上如图所示为矩形平面分学习必备 欢迎下载 323 直线与平面的夹角(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1若斜线段 AB是它在平面内的射影长的 2 倍，则 AB 与所成的角为()A60 B45 C30 D120 2矩形 ABCD 中，AB1，2BC，PA平面 ABCD，PA1，则 PC 与平面 ABCD 所成的角是()A30 B45 C60 D90 3已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线 BC1和平面 DBB1D1所成角的正弦值等于()A23 B25 C510 D1010 4PA、PB、PC 是从 P 点引出的三条射线，每两条的夹角为 60，则直线 PC 与平面 APB 所成角的余弦值为()A21 B36 C33 D23(二)填空题 5直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面内，AC 和 BC 与所成的角分别为 30，45，CD 是AB边上的高，CD 与所成的角为_*6自平面外一点 P，向平面引垂线段 PO 及两条斜线段 PA、PB它们在平面内的射影长分别为 2cm 和 12cm，且这两条斜线与平面所成的角相差 45，则垂线段 PO 的长为_ 7如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为,2，底面三角形的边长为 1，则 BC1与侧面ACC1A1所成的角是_ 8如图所示，BOC 在平面内，OA 是平面的一条斜线，若AOBAOC60，OAOBOCa，BC2a，则 OA 与平面所成的角是_ 9如图所示，三棱锥 PABC 中侧面 PAC 与底面 ABC 垂直PAACPC3ABBC3，则AC 与平面 PBC 所成角的余弦值为_.立体几何中的应用导学案理解平面法向量的概念平面的向量表示的概念会求平面的法向量掌握点线在平面内的射影概念平面斜线的概念能运用向量证明三垂线定理及其逆定理并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直线面垂直掌所成的二面角了解距离的概念会利用向量求点到点的距离点到线的距离点到面的距离重点难点直线与平面平面与平面所成角的概念掌握点与点点与线点与面的距离的求法教学方法讲练结合法启发式教学平面的法向量与平面的向量表确的是若是平面的一个法向量则和平面内任意一条直线的方向向量垂直若和平面内两条直线的方向向量垂直则是平面的法向量若既是平面的法向量又是平面的法向量则若则它们所有共同的法向量在一条直线上如图所示为矩形平面分学习必备 欢迎下载 (三)解答题 10四面体 SABC 中，SA、SB、SC 两两垂直，SBA45，SBC60，(1)求 BC 与平面 SAB所成的角；(2)SC 与平面 ABC 所成角的正弦值 11在如图所示的几何体中，EA平面 ABC，DB平面 ABC，ACBC，ACBCBD2AE，M是 AB 的中点，求 CM 与平面 CDE 所成的角 *12四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，SO底面 ABCD，O 在 CB 上已知ABC45，AB2，BC22，SASB3，求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值 立体几何中的应用导学案理解平面法向量的概念平面的向量表示的概念会求平面的法向量掌握点线在平面内的射影概念平面斜线的概念能运用向量证明三垂线定理及其逆定理并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直线面垂直掌所成的二面角了解距离的概念会利用向量求点到点的距离点到线的距离点到面的距离重点难点直线与平面平面与平面所成角的概念掌握点与点点与线点与面的距离的求法教学方法讲练结合法启发式教学平面的法向量与平面的向量表确的是若是平面的一个法向量则和平面内任意一条直线的方向向量垂直若和平面内两条直线的方向向量垂直则是平面的法向量若既是平面的法向量又是平面的法向量则若则它们所有共同的法向量在一条直线上如图所示为矩形平面分学习必备 欢迎下载 324 二面角及其度量(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知二面角l的大小为，直线 a，a 与所成的角为，则()A B C当90时，；当90时，D与的大小关系不确 2自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是()A相等 B互补 C相等或互补 D既不相等也不互补 3如图所示，PAPBPC，且它们所成的角均为 60，则二面角 BPAC 的余弦值是()A21 B31 C33 D23 4在正三角形 ABC 中，ADBC 于 D，沿 AD 折成二面角 BADC 后，ABBC21，这时二面角 BADC 的大小为()A60 B45 C90 D120(二)填空题 5ABC 的边 BC 在平面内，A在内的射影是 A1，设 ABC 的面积为 S，它和平面交成的一个二面角的大小为(锐角)，则A1BC 的面积是_ 6若 P 是ABC 所在平面外一点，而PBC 和ABC 都是边长为 2 的正三角形，PA6，则二面角 PBCA的大小是_ 7已知二面角AB是直二面角，P 是棱 AB 上一点，PE、PF 分别在面，内，EPBFPB45，那么EPF 的大小是_ 8给出下列四个命题：(1)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直；(2)过平面外一定直线有且只有一个平面与已知平面垂直；(3)垂直于同一平面的两个平面可能相互平行，也可能相互垂直；(4)如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面那么这两个二面角的平面角相等或互补其中正确的命题的序号是_ 9已知 PA垂直于矩形 ABCD 所在的平面，PA3，AB2，3BC，则二面角 PBDA的正切值为_(三)解答题 10在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA11，ADDC3，在线段 A1C1上有一点 Q，且立体几何中的应用导学案理解平面法向量的概念平面的向量表示的概念会求平面的法向量掌握点线在平面内的射影概念平面斜线的概念能运用向量证明三垂线定理及其逆定理并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直线面垂直掌所成的二面角了解距离的概念会利用向量求点到点的距离点到线的距离点到面的距离重点难点直线与平面平面与平面所成角的概念掌握点与点点与线点与面的距离的求法教学方法讲练结合法启发式教学平面的法向量与平面的向量表确的是若是平面的一个法向量则和平面内任意一条直线的方向向量垂直若和平面内两条直线的方向向量垂直则是平面的法向量若既是平面的法向量又是平面的法向量则若则它们所有共同的法向量在一条直线上如图所示为矩形平面分学习必备 欢迎下载 11131ACQC，求平面 QDC 与平面 A1DC 所成锐二面角的大小 11如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中 ADBC，ABC90，PA平面 ABC，PA4，AD2，AB32，BC6，求二面角 APCD 的余弦值 *12如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点 E 在棱 AB 上移动AE 等于何值时，二面角 D1ECD 的大小为4 325 距离(1)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知平面平面，到的距离与到的距离之比为 21 的点的集合是()A1 个平面 B2 个平面 C3 个平面 D4 个平面 2正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，E 是 CC1的中点，则 E 到 A1B 的距离是()Aa33 Ba26 Ca25 Da423 3二面角l等于 120，A、B 是棱 l 上两点，AC、BD 分别在半平面、内，ACl，BDl，且 ABACBD1，则 CD 的长等于()立体几何中的应用导学案理解平面法向量的概念平面的向量表示的概念会求平面的法向量掌握点线在平面内的射影概念平面斜线的概念能运用向量证明三垂线定理及其逆定理并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直线面垂直掌所成的二面角了解距离的概念会利用向量求点到点的距离点到线的距离点到面的距离重点难点直线与平面平面与平面所成角的概念掌握点与点点与线点与面的距离的求法教学方法讲练结合法启发式教学平面的法向量与平面的向量表确的是若是平面的一个法向量则和平面内任意一条直线的方向向量垂直若和平面内两条直线的方向向量垂直则是平面的法向量若既是平面的法向量又是平面的法向量则若则它们所有共同的法向量在一条直线上如图所示为矩形平面分学习必备 欢迎下载 A2 B3 C2 D5 4 已知 ABCA1B1C1是各条棱长均等于 a 的正三棱柱，D 是侧棱 CC1的中点 则点 C1到平面 AB1D的距离()Aa42 Ba82 Ca423 Da22(二)填空题 5A、B 是直线 l 上的两点，AB4，ACl 于 A，BDl 于 B，ACBD3，又 AC 与 BD 成 60的角，则 C、D 两点间的距离是_ 6与空间四边形 ABCD 四个顶点的距离相等的平面共有_个 7已知平面和平面交于直线 l，P 是空间一点，PA，垂足为 A，PB，垂足 B，且 PA1，PB2，若点 A在内的射影与点 B 在内的射影重合，则点 P 到 l 的距离为_ 8在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 A1B1、CD 的中点，则点 B 到截面 AEC1F的距离为_ 9已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 B1C1和 C1D1的中点，点 A1到平面DBEF 的距离为_(三)解答题 10在平行四边形 ABCD 中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成60角，求 B、D 间的距离 11设 A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(5，4，8)，求 D 到平面 ABC 的距离 *12如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截而得到的，其中 AB4，BC2，CC13，BE1()求 BF 的长；()求点 C 到平面 AEC1F 的距离 立体几何中的应用导学案理解平面法向量的概念平面的向量表示的概念会求平面的法向量掌握点线在平面内的射影概念平面斜线的概念能运用向量证明三垂线定理及其逆定理并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直线面垂直掌所成的二面角了解距离的概念会利用向量求点到点的距离点到线的距离点到面的距离重点难点直线与平面平面与平面所成角的概念掌握点与点点与线点与面的距离的求法教学方法讲练结合法启发式教学平面的法向量与平面的向量表确的是若是平面的一个法向量则和平面内任意一条直线的方向向量垂直若和平面内两条直线的方向向量垂直则是平面的法向量若既是平面的法向量又是平面的法向量则若则它们所有共同的法向量在一条直线上如图所示为矩形平面分学习必备 欢迎下载 325 距离(2)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知直线 l 及平面，且 l 不在平面内，如果直线 l 上有两个点到平面的距离相等，则 l 与平面的位置关系是()A平行 B相交 C平行或相交 D垂直 2已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，则棱 A1B1所在直线与对角线 BC1所在直线的距离为 Aa2 B Ca22 D2a 3平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则平面与平面的位置关系是()A相交 B垂直 C平行或相交 D平行 4在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 AB1C 与平面 A1 C1D 间的距离是()A63 B33 C332 D23(二)填空题 5棱长为 a 的正四面体 ABCD 相对两条棱之间的距离是_ 6二面角MN为 60，平面内一点 A到平面的距离 AB4(B 在内)，则点 B 到平面的距离等于_ 7已知平面，自上而下、的距离为 3cm，、的距离为 7cm，直线 l 交、依次为 A、B、C，AC14cm，则 AB_ 8已知梯形 ABCD，ABCD，且 AB3CD，AB平面，梯形对角线 AC、BD 交于点 O，O 到平面的距离是 5，直线 CD 到平面的距离是_ 9已知平面平面，A，B，AB6，AB 在平面内的投影为 3，则两平面间的距离为_(三)解答题 10已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4，设 M、N、E、F 分别是 A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求平面 AMN 与平面 EFBD 的距离 11如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD底面 ABCD，E 是 AB 上一点，PEEC已知 PD2，CD2，AE21，求异面直线 PD 与 EC 的距离 立体几何中的应用导学案理解平面法向量的概念平面的向量表示的概念会求平面的法向量掌握点线在平面内的射影概念平面斜线的概念能运用向量证明三垂线定理及其逆定理并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直线面垂直掌所成的二面角了解距离的概念会利用向量求点到点的距离点到线的距离点到面的距离重点难点直线与平面平面与平面所成角的概念掌握点与点点与线点与面的距离的求法教学方法讲练结合法启发式教学平面的法向量与平面的向量表确的是若是平面的一个法向量则和平面内任意一条直线的方向向量垂直若和平面内两条直线的方向向量垂直则是平面的法向量若既是平面的法向量又是平面的法向量则若则它们所有共同的法向量在一条直线上如图所示为矩形平面分学习必备 欢迎下载*12如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面 ABCD，AB3，BC1，PA2，E 为 PD 的中点()求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值；()在侧面 PAB内找一点 N，使 NE面 PAC，并求出点 N 到 AB和 AP 的距离 教学总结 学生对于本次课评价：特别满意 满意 一般 差 学生签字：教师评定：1、上次作业评价：非常好 好 一般 需要优化 2、上课情况评价：非常好 好 一般 需要优化 教师签字：教务主任签字：_ 龙文教育教务处 立体几何中的应用导学案理解平面法向量的概念平面的向量表示的概念会求平面的法向量掌握点线在平面内的射影概念平面斜线的概念能运用向量证明三垂线定理及其逆定理并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直线面垂直掌所成的二面角了解距离的概念会利用向量求点到点的距离点到线的距离点到面的距离重点难点直线与平面平面与平面所成角的概念掌握点与点点与线点与面的距离的求法教学方法讲练结合法启发式教学平面的法向量与平面的向量表确的是若是平面的一个法向量则和平面内任意一条直线的方向向量垂直若和平面内两条直线的方向向量垂直则是平面的法向量若既是平面的法向量又是平面的法向量则若则它们所有共同的法向量在一条直线上如图所示为矩形平面分
