重点重点初中中考数学题辅助线作法中学教育中考_中学教育-中考.pdf

欢迎阅读 D A B C E F M N A B D C E A B C D E F M 中考数学题辅助线的作法 方法一：从已知出发作出辅助线：例 1已知：在ABC中，AD是 BC边的中线，E是 AD的中点，F是 BE延长线与AC的交点，求证：AF=FC21 分析：题设中含有D 是 BC 中点，E 是 AD 中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密 切联系的中位线，所以，可有如下 2 种辅助线作法：（1）过 D 点作 DNCA，交 BF 于 N，可得 N 为 BF 中点，由中位线定理得DN=FC21，再证AEFDEN，则有 AF=DN，进而有 AF=FC21（2）过 D 点作DMBF，交 AC 于 M，可得 FM=CM，FM=AF，则有 AF=FC21 方法二：分析结论，作出辅助线 例 2：如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径，求证：AB AC=AE AD 分析：要证 AB AC=AE AD，需证ACAEADAB（或ACADAEAB），需证ABEADC（或ABDAEC），这就需要连结 BE（或 CE），形成所需要的三角形，同时得 ABE=ADC=900(或ADB=ACE=900)又E=C（或B=E）因而得证。方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线 例 3：过ABC的顶点 C任作一直线，与边 AB及中线 AD分别交于点 F和 E；求证：AE ED=2AF FB 分析：已知 D 是 BC 中点，那么在 三角形中可过中点作平行线得中位线；欢迎阅读 A B C D E O A B C D O 1 2 3 A B C O A B C D E 1 2 O 若要出现结论中的 AEED，则应有一条与 EF 平行的直线。所以，过 D 点作DMEF 交 AB 于 M，可得FMAFFMAFEDAE22，再证BF=2FM 即可。方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。例如：在“圆”部分就有许多规律性辅助线：（1）有弦，作“垂直于弦的直径”例 4：已知，如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于 C、D两点，求证：AC=BD 分析：过 O点作 OE AB于 E，则 AE=BE，CE=DE，即可证得 AC=BD（2）有直径，构成直径上的圆周角（直角）例 5：已知：如图，以ABC的 AC边为直径，作O交 BC、BA于 D、E两点，且DECD，求证：B=C 分析：连结 AD，由于 AC为直径，则有 AD BC，又DECD，有1=2，由内角和定理得 B=C（3）见切线，连半径，证垂直 例 6：如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过 C点的切线互相垂直，垂足为 D，求证：AC平分DAB 分析：连结 OC，由于 CD为切线，可知 OC CD，易证：1=2，又因为2=3，所以1=3，则可得 AC平分DAB（4）证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”例 7：已知，直线 AB经过O上的一点，并且 OA=OB，CA=CB；求证：直线 AB是O的切线 分析：连结 OC，要证 AB是O的切线，需证 OC AB，由已知可证OAC OBC，析题设中含有是中点是中点由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线所以可有如下种辅助线作法过点作交于可得为中点由中位线定理得再证则有进而有过点作交于可得则有方法二分析结论作出辅助线例如图是的高是的即同时分析已知和结论作出辅助线例过的顶点任作一直线与边及中线分别交于点和求证分析已知是中点那么在三角形中可过中点作平行线得中位线欢迎阅读若要出现结论中的则应有一条与平行的直线所以过点作交于可得再证即可方有弦作垂直于弦的直径例已知如图在以为圆心的两个同心圆中大圆的弦交小圆于两点求证分析过点作于则即可证得有直径构成直径上的圆周角直角例已知如图以的边为直径作交于两点且求证分析连结由于为直径则有又内角和定理得 欢迎阅读 A B C D O E 可得OCA=OCB=900，结论得证。例 8：已知，梯形 ABCD 中，AB CD，A=900，BC是O的直径，BC=CD+AB，求证：AD是O的切线 分析：过 O点作 OE AD，垂足为 E，要证 AD是O的切线，只要证 OE是O的半径即可，也就是说需要证 OE=BC21，由于A=900，AB CD，可得 ABCDOE，再由平行线等分线段定理得 DE=EA，进而由梯形中位线定理得OE=BCCDAB21)(21，所以E点在O上，AD是O的切线。（二）练习 1、已知：如图，在ABC中，ADDB，AEEC 求证：DEBC，DE21BC 2、已知：如图 27.3.12 所示，在梯形ABCD中，ADBC，AEBE，DFCF 求证：EFBC，EF21（ADBC）3、已知：如图 27.3.13 所示,在ABC 中.AD=DB,BE=EC,AF=FC.求证：AE、DF 互相平分。4、如图：已知：AB 为O 的直径，弦 CDAB，M 为AC上一点，AM的延长线交DC的延长线于F，求证：AMD=FMC 与圆有关的辅助线常规作法解析 与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质，题型的复杂程度可想而知。为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解。为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考 一、圆中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径）例 1.如图，以 RtABC的直角顶点 A为圆心，直角边 AB为半径的A分别交 BC、AC于点 D、E,若 BD=10cm，DC=6cm，求A的半径。解：过 A作 AH BD于 H，则1BHBD5cm2。BA AC，CAB=AHB=90。又ABH=CBA，ABH 析题设中含有是中点是中点由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线所以可有如下种辅助线作法过点作交于可得为中点由中位线定理得再证则有进而有过点作交于可得则有方法二分析结论作出辅助线例如图是的高是的即同时分析已知和结论作出辅助线例过的顶点任作一直线与边及中线分别交于点和求证分析已知是中点那么在三角形中可过中点作平行线得中位线欢迎阅读若要出现结论中的则应有一条与平行的直线所以过点作交于可得再证即可方有弦作垂直于弦的直径例已知如图在以为圆心的两个同心圆中大圆的弦交小圆于两点求证分析过点作于则即可证得有直径构成直径上的圆周角直角例已知如图以的边为直径作交于两点且求证分析连结由于为直径则有又内角和定理得 欢迎阅读 CBA，ABCBBHAB，2ABBC BH(BDDC)BH16580cm ，rAB8045cm。例 2.如图，AB是O 的直径,POAB交O 于点 P，弦 PN与 AB相交于点 M，求证：2PM PN2PO。证明：过 O 作 OC NP于点 C，则1PCPN2。OC NP，PO AB，POM=PCO=90。又OPM=CPO，OPM CPO，POPMPCPO，21POPMPCPM(PN)2，即2PMPN2PO。评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系。二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角（在半圆中，同样可作直径所对的圆周角）例 3.如图，AB为半圆的直径，OH AC于 H，BH与 OC交于 E，若 BH=12，求 BE的长。解：连结 BC。AB 为直径，ACBC。又OH AC，AO=BO，OH12BC，OHE=CBE，HOE=BCE，OHE CBE，HEOH1BEBC2，22BEBH12833。例 4.如图,AB 是半圆的直径,C 为圆上的一点,CD AB于 D,求证:2CDAD BD。证明：连结 AC、BC。AB 为直径，ACB=90，1+2=90。又CD AB，ADC=CDB=90，1+3=90，3=2，BCD CAD，ADCDCDBD，即2CDAD BD。评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决。三、圆中有切线，常作过切点的半径（若无切点，则过圆心作切线的垂线）例 5.如图，已知 MN为O的直径，AP是O的切线，P为切点，点 A在 MN的延长线上，若 PA=PM，求A的度数。解：连结 OP，设A的度数为 x。PA=PM，M=A，同理可得OPM=M，POA=OPM+M=2M=2 A=2 x。又AP切O于点 P，AP OP，A+POA=90，即x+2x=90，解之得 x=30，A=30。例 6.如图,AB 为O的直径,C 为O上的一点,AD和过 C点的切线垂直,垂足为 D，求证1=2。证明：连结 OC。DC切O于点 C，OC DC。又AD DC，OC AD，1=3。OA=OC,2=3，1=2。评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半析题设中含有是中点是中点由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线所以可有如下种辅助线作法过点作交于可得为中点由中位线定理得再证则有进而有过点作交于可得则有方法二分析结论作出辅助线例如图是的高是的即同时分析已知和结论作出辅助线例过的顶点任作一直线与边及中线分别交于点和求证分析已知是中点那么在三角形中可过中点作平行线得中位线欢迎阅读若要出现结论中的则应有一条与平行的直线所以过点作交于可得再证即可方有弦作垂直于弦的直径例已知如图在以为圆心的两个同心圆中大圆的弦交小圆于两点求证分析过点作于则即可证得有直径构成直径上的圆周角直角例已知如图以的边为直径作交于两点且求证分析连结由于为直径则有又内角和定理得 欢迎阅读 径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。四、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形（若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形）例 7.如图,点 A、B、C在O上（AC不过 O点），若ACB=60,AB=6，求O半径的长。解：作直径 AD，连结 BD。ACB与D 都是AB所对的圆周角，D=ACB=60。又AD是直径，ABD=90，AB6AD4 3sin Dsin60，1rAD2 32。例 8.如图，在锐角ABC中，若 BC=a，CA=b，AB=c，ABC的外接圆半径为 R，求证：abc2Rsin Asin BsinC。证明：作直径 CD，连结 BD。CD 为直径，CBD=90，BCasin DDC2R。又A=D，asinAsinD2R，即a2RsinA，同理可得b2RsinB，c2RsinC，abc2Rsin Asin BsinC。评析：当题设中未告诉有直角三角形但却含有 30、45、60、90 等特殊角或某个角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。五、两圆相切，常作公切线（或者作两圆的连心线）例 9.如图，O1和O2外切于点 A，BC是O1和O2外公切线，B、C为切点，求证：ABAC。证明：过点 A 作O1与O2的公切线 AM交 BC于点 M。MA和 MB分别切O1于点 A、B，MA=MB，同理可得 MA=MC，MA=MB=MC，即点 A、B、C同在以 M为圆心，BC为直径的圆周上，ABAC。例 10.如图，A和B外切于点 P，CD为A、B的外公切线，C、D为切点，若A与B的半径分别为 r 和 3r,求：CD的长；B的度数。解：连结 AB，连结 AC、BD，过点 A作 AE BD于 E。、CD是A和B的外公切线，C、D为切点，AC CD，BD CD。又AE BD，四边形 ACDE为矩形，CD=AE，DE=AC=r，BE=BD-DE=3r-r=2r。AB=r+3r=4r，22CDAEABBE2 3r。、在 RtAEB中，BE2r1cos BAB4r2，B=60。评析：在解决有关两圆相切的问题时，常常需作出两圆的公切线或连心线，利用公切线垂直于经过切点的半径、切线长相等、连心线长等于两圆半径之和（或差）等性质来沟通两圆间的联系。六、两圆相交，常作公共弦（或者作两圆的连心线）例 11.如图，O1和O2相交于 A、B 两点，AD是O1的直径，且圆心 O1在O2上，连结 DB并延长交O2于点 C，求证：CO1AD。证明：连结 AB。AD 为O1的直径，ABD=90，D+BAD=90。又C析题设中含有是中点是中点由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线所以可有如下种辅助线作法过点作交于可得为中点由中位线定理得再证则有进而有过点作交于可得则有方法二分析结论作出辅助线例如图是的高是的即同时分析已知和结论作出辅助线例过的顶点任作一直线与边及中线分别交于点和求证分析已知是中点那么在三角形中可过中点作平行线得中位线欢迎阅读若要出现结论中的则应有一条与平行的直线所以过点作交于可得再证即可方有弦作垂直于弦的直径例已知如图在以为圆心的两个同心圆中大圆的弦交小圆于两点求证分析过点作于则即可证得有直径构成直径上的圆周角直角例已知如图以的边为直径作交于两点且求证分析连结由于为直径则有又内角和定理得 欢迎阅读 和BAO1都是O2中1BO所对的圆周角，C=BAO1，即C=BAD，D+C=90，CO1AD。例 12.如图，O1和O2相交于 A、B两点，两圆半径分别为6 2和4 3，公共弦 AB的长为 12，求O1AO2的度数。解：连结 AB、O1O2，使之交于 H点。AB 为O1与O2的公共弦，连心线 O1O2垂直平分 AB，1AHAB 62，11AH62cos O AHAO26 2，22AH63cos O AHAO24 3，O1AH=45，O2AH=30，O1AO2=O1AH+O2AH=75。?评析：在解决有关两圆相交的问题时，最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线，公共弦可以联通两圆中的弦、角关系，而连心线则垂直平分公共弦。全等三角形作辅助线的常用方法 一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、已知如图 1-1：D、E为ABC内两点,求证:AB+ACBD+DE+CE.证明：（法一）将 DE两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，（法二：图 1-2）延长 BD交 AC 于 F，廷长 CE交 BF于 G，二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图 2-1：已知 D为ABC内的任一点，求证：BDC BAC。分析：因为BDC与BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC处于在外角的位置，BAC处于 在内角的位置；证法一：延长 BD交 AC于点 E 证法二：连接 AD，并廷长交 BC于 F 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三 角 形的内角位ABCDENM11图ABCDEFG21图ABCDEFG12图ABCDEFN13图1234析题设中含有是中点是中点由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线所以可有如下种辅助线作法过点作交于可得为中点由中位线定理得再证则有进而有过点作交于可得则有方法二分析结论作出辅助线例如图是的高是的即同时分析已知和结论作出辅助线例过的顶点任作一直线与边及中线分别交于点和求证分析已知是中点那么在三角形中可过中点作平行线得中位线欢迎阅读若要出现结论中的则应有一条与平行的直线所以过点作交于可得再证即可方有弦作垂直于弦的直径例已知如图在以为圆心的两个同心圆中大圆的弦交小圆于两点求证分析过点作于则即可证得有直径构成直径上的圆周角直角例已知如图以的边为直径作交于两点且求证分析连结由于为直径则有又内角和定理得 欢迎阅读 置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图 3-1：已知 AD为ABC的中线，且1=2,3=4,求证：BE+CFEF。分析：要证 BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把 EN，FN，EF移到同个三角形中。证明：在 DN上截取 DN=DB，连接 NE，NF，则 DN=DC，注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图 4-1：AD为ABC的中线，且1=2，3=4，求证：BE+CFEF 证明：廷长 ED至 M，使 DM=DE，连接 CM，MF。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。五、在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图 5-1：AD为 ABC的中线，求证：AB+AC2AD。分析：要证 AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CD AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由 2AD想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明：延长 AD至 E，使 DE=AD，连接 BE，CE （常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知ABC，AD是 BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图 5-2，求证 EF=2AD。六、截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P为 AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。分析：要证：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，ABCDE15图14图ABCDEFM1234ABCDEF25图析题设中含有是中点是中点由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线所以可有如下种辅助线作法过点作交于可得为中点由中位线定理得再证则有进而有过点作交于可得则有方法二分析结论作出辅助线例如图是的高是的即同时分析已知和结论作出辅助线例过的顶点任作一直线与边及中线分别交于点和求证分析已知是中点那么在三角形中可过中点作平行线得中位线欢迎阅读若要出现结论中的则应有一条与平行的直线所以过点作交于可得再证即可方有弦作垂直于弦的直径例已知如图在以为圆心的两个同心圆中大圆的弦交小圆于两点求证分析过点作于则即可证得有直径构成直径上的圆周角直角例已知如图以的边为直径作交于两点且求证分析连结由于为直径则有又内角和定理得 欢迎阅读 故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边 AB-AC，故可在 AB上截取 AN等于 AC，得 AB-AC=BN，再连接 PN，则 PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。证明：（截长法）在 AB上截取 AN=AC 连接 PN 证明：（补短法）延长 AC至 M，使 AM=AB，连接 PM，七、延长已知边构造三角形：例如：如图 7-1：已知 AC=BD，AD AC于 A，BC BD于 B，求证：AD=BC 分析：欲证 AD=BC，先证分别含有 AD，BC的三角形全等，有几种方案：ADC与BCD，AOD 与BOC，ABD与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长 DA，CB，它们的延长交于 E点，（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 8-1：AB CD，AD BC 求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接 AC（或 BD）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-1：在 RtABC中，AB=AC，BAC=90，1=2，CE BD的延长于 E。求证：BD=2CE 分析：要证 BD=2CE，想到要构造线段 2CE，同时 CE与ABC的平分线垂直，想到 要将其延长。证明：分别延长 BA，CE交于 F。十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图 10-1；AC、BD相交于 O点，且 AB=DC，AC=BD，求证：A=D。分析：要证A=D，可证它们所在的三角形ABD和DCO全等，而只有 AB=DC 和对顶角 两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三ABCDNMP16图12ABCD18图19图DCBAEF12DCBA110 图O析题设中含有是中点是中点由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线所以可有如下种辅助线作法过点作交于可得为中点由中位线定理得再证则有进而有过点作交于可得则有方法二分析结论作出辅助线例如图是的高是的即同时分析已知和结论作出辅助线例过的顶点任作一直线与边及中线分别交于点和求证分析已知是中点那么在三角形中可过中点作平行线得中位线欢迎阅读若要出现结论中的则应有一条与平行的直线所以过点作交于可得再证即可方有弦作垂直于弦的直径例已知如图在以为圆心的两个同心圆中大圆的弦交小圆于两点求证分析过点作于则即可证得有直径构成直径上的圆周角直角例已知如图以的边为直径作交于两点且求证分析连结由于为直径则有又内角和定理得 欢迎阅读 角形全等，由 AB=DC，AC=BD，如连接 BC，则ABD和DCO全等，所以，证得A=D。证明：连接 BC 在ABC和DCB中 十一、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1：AB=DC，A=D 求证：ABC=DCB。分析：由 AB=DC，A=D，想到如取 AD的中点 N，连接 NB，NC，再由 SAS公理有ABN DCN，故 BN=CN，ABN=DCN。下面只需证NBC=NCB，再取 BC的中点 M，连接 MN，则由 SSS 公理有NBM NCM，所以NBC=NCB。问题得证。证明：取 AD，BC的中点 N、M，连接 NB，NM，NC。梯形问题中的辅助线 1、连结对角线 例 1 如图 1，梯形 ABCD 中，ABCD，ADBC，延长 AB 到 E，使 BECD，试说明 ACCE.解：如图 1，连结 BD，由BDCE 可证得 BDCE，由等腰梯形 ABCD性质得 ACBD，所以 ACCE.2、平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个平行四边形和一个三角形 例 2 如图 2，梯形 ADCB 中，ABCD，AB2cm，CD8cm，AD4cm，求 BC 的取值范围.解析：过点 B 作 BEAD，交 CD 于点 E，则四边形 ADEB 是平行四边形，可知BEAD4cm，DEAB2cm.于是 ECCDDE826cm.在ABC 中，ECBEBCECBE，所以 2cmBC10cm.3、平移两腰，将两腰转化到同一个三角形中 例 3 如图 3，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC90，E、F 分别为 AD、BC 的中点，BC8，AD4，试求 EF.解：过点 E 分别作 EMAB，ENCD，交 BC 于 M、N，则EMFB，ENFC，所以MEN90，AEBM，DECN，所以 MFNF，111图DCBAMN析题设中含有是中点是中点由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线所以可有如下种辅助线作法过点作交于可得为中点由中位线定理得再证则有进而有过点作交于可得则有方法二分析结论作出辅助线例如图是的高是的即同时分析已知和结论作出辅助线例过的顶点任作一直线与边及中线分别交于点和求证分析已知是中点那么在三角形中可过中点作平行线得中位线欢迎阅读若要出现结论中的则应有一条与平行的直线所以过点作交于可得再证即可方有弦作垂直于弦的直径例已知如图在以为圆心的两个同心圆中大圆的弦交小圆于两点求证分析过点作于则即可证得有直径构成直径上的圆周角直角例已知如图以的边为直径作交于两点且求证分析连结由于为直径则有又内角和定理得 欢迎阅读 所以 EF12MN12(BCAD)12(84)2.4、作梯形的高，即从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形 例 4 已知，如图 4，梯形 ABCD 中，ADBC，BC45，梯形 ABCD是等腰梯形吗？解：过点 A 作 AEBC 于点 E，过点 D 作 DFBC 于点 F，则AEBDFC90，AEDF，又BC45.于是ABE 与DCF 能够完全重合，即 ABCD.5、延长两腰，即延长两腰交于一点，得到两个三角形 例 5 如图 5，梯形 ABCD 中，ADBC，AD5，BC9，B80，C50.求 AB 的长.解：延长 BA、CD 交于点 E，因为 ADBC，所以ADEC50.因为E180BC50，所以EADEC.所以 AEAD5，BEBC9.所以 ABBEAE954.6、平移对角线，即过底的一个端点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中 例 6 如图 6 所示，在梯形 ABCD 中，上底 AD1cm，下底 BC4cm，对角线 BDAC，且 BD3cm，AC4cm.求梯形 ABCD 的面积 解：过点 D 作 DEAC 交 BC 的延长线于点 E，因为在梯形 CD 中，ADBC，所以四边形 ACED 是平行四边形.则 ACDE，ADCE.又因为 ACBD，所以 BDDE，即BDE 是直角三角形.因为BDE 与梯形 ABCD 同高，且梯形 ABCD 中 ADBCBCCEBE，所以 S梯形ABCDSBDE12246(cm2).7、利用中点，割补三角形 如图 7，梯形 ABCD，E 为一腰 AB 的中点，将AED 绕点 E 旋转 180，到BEF 的位置，拼成DFC，把问题置于三角形中解决 析题设中含有是中点是中点由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线所以可有如下种辅助线作法过点作交于可得为中点由中位线定理得再证则有进而有过点作交于可得则有方法二分析结论作出辅助线例如图是的高是的即同时分析已知和结论作出辅助线例过的顶点任作一直线与边及中线分别交于点和求证分析已知是中点那么在三角形中可过中点作平行线得中位线欢迎阅读若要出现结论中的则应有一条与平行的直线所以过点作交于可得再证即可方有弦作垂直于弦的直径例已知如图在以为圆心的两个同心圆中大圆的弦交小圆于两点求证分析过点作于则即可证得有直径构成直径上的圆周角直角例已知如图以的边为直径作交于两点且求证分析连结由于为直径则有又内角和定理得 欢迎阅读 例 7 如图 7 梯形 ABCD 中，ADBC，E 为 AB 的中点，DECE.试说明 CDBCAD.解析：按上述方法拼成DFC，同时AED 与BEF 关于点 E 中心对称，故 EFED，ADBF.又因为 CEDF，故 CDCFBCBFBCAD 初中几何中常见辅助线的作法 在几何学习中，如何添加辅助线是许多同学感到头疼的问题，许多同学常因辅助线的添加方法不当，造成解题困难。在老师的帮助下，我根据自己的学习经验把初中几何中常见的辅助线作法编成了一些“顺口溜”歌诀，现将该歌诀写出来奉献给同学们，但愿能给大家的学习、复习带来一些帮助。人人都说几何难，难就难在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。析题设中含有是中点是中点由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线所以可有如下种辅助线作法过点作交于可得为中点由中位线定理得再证则有进而有过点作交于可得则有方法二分析结论作出辅助线例如图是的高是的即同时分析已知和结论作出辅助线例过的顶点任作一直线与边及中线分别交于点和求证分析已知是中点那么在三角形中可过中点作平行线得中位线欢迎阅读若要出现结论中的则应有一条与平行的直线所以过点作交于可得再证即可方有弦作垂直于弦的直径例已知如图在以为圆心的两个同心圆中大圆的弦交小圆于两点求证分析过点作于则即可证得有直径构成直径上的圆周角直角例已知如图以的边为直径作交于两点且求证分析连结由于为直径则有又内角和定理得