笔记数学总结研究生考试考研数学_研究生考试-考研数学.pdf

数学笔记 基础知识 基本公式：(1)222)2abaabb（(2)33223)33abaa babb（(3)22()()ab abab(4)3322()()abab aabb减加(5)2222)222abcabcabacbc （6）2222222222()1()()()2abcabacbcabcabacbcabacbc 指数相关知识：naa aa(n 个 a 相乘)1nnaa nmnmaa 若 a 0,则a为 a 的平方根，指数基本公式：对数相关知识：对数表示为logba(a0 且 a1,b0)，当 a=10 时，表示为 lgb 为常用对数；当 a=e 时，表示为 lnb 为自然对数。有关公式：Log(MN)=logM+logN logloglogmmnn loglognmbbaanm 换底公式：log1logloglogbbcaaacb 单调性：a1 0aP,而2SP 则题目选 B 若1SP,而2SP 则题目选 D 若1S P,而2S P 但1212SSPCSSPE则题目选则题目选 形象表示：(A)(B)联(合)立 (C)(D)联(合)立 (E)特点：(1)肯定有答案，无“自检机会”、“准确性高”(2)准确度 解决方案：(1)自下而上带入题干验证(至少运算两次)(2)自上而下，(关于范围的考题)法宝：特值法，注意只能证“伪”不能证“真”图像法，尤其试用于几何问题 时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶第一章 实数(1)自然数：自然数用 N 表示(0，1，2-)(2)0Z正整数 Z整数负整数 Z(3)质数和合数：质数：只有 1 和它本身两个约数的数叫质数，注意：1 既不是质数也不是合数 最小的合数为 4，最小的质数为 2；10 以内质数：2、3、5、7；10 以内合数4、6、8、9。除了最小质数 2 为偶数外，其余质数都为奇数，反之则不对 除了 2 以外的正偶数均为合数，反之则不对 只要题目中涉及 2 个以上质数，就可以设最小的是 2，试试看可不可以 Eg：三个质数的乘积为其和的 5 倍，求这 3 个数的和。解：假设 3 个质数分别为 m1、m2、m3。由题意知：m1m2m3=5(m1+m2+m3)欠定方程 不妨令 m3=5，则 m1m2=m1+m2+5 m1m2-m1-m2+1=6 (m1-1)(m2-1)=6=1 6=2 3 则 m1-1=2,m2-1=3 或者 m1-1=1,m2-1=6 即 m1=3,m2=4（不符合质数的条件，舍）或者 m1=2,m2=7 则 m1+m2+m3=14。小技巧：考试时，用 20 以内的质数稍微试一下。时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶（4）奇数和偶数 整数 Z 奇数 2n+1 偶数 2n 相邻的两个整数必有一奇一偶 合数一定就是偶数。（）偶数一定就是合数。（）质数一定就是奇数。（）奇数一定就是质数。（）奇数偶数运算:偶数偶数=偶数;奇数偶数=奇数;奇数奇数=偶数 奇数*奇=奇数;奇*偶=偶;偶*偶=偶 合数=质数*质数*质数*质数 例：12=2*2*3=*3(5)分数：pq,当 pq 时为真分数，pq 时为假分数，带分数(有整数部分的分数)(6)小数：纯小数：；混小数：；有限小数；无限小数；(7)Zmn整数（）有理数Q实数R分数（）无理数 有理数 Q：包括整数和分数，可以知道所有有理数均可以化为pq的形式，这是与无理数的区别，有限小数或无限循环小数均是有理数。无限循环小数化成pq的方法：如果循环节有 k 位，则此小数可表示为：9k循环节数字个 Ex：。cba.0=999abc 例 1、。312.0.=化为分数 时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶 分析：。312.0.=+。310.0=+*。31.0=51+101*9913=例 2、。cba.0化为最简分数后分子与分母之和为 137，求此分数 分析：。cba.0=999abc=11126 从而 abc=26*9 无理数：无限不循环小数 常见无理数：、e 带根号的数（根号下的数开不尽方），如2，3 对数，如23 有理数(Q)有限小数 实数(R)无限循环小数 无理数：无限不循环小数 有理数 整数 Z 分数 真分数（分子分母，如 7/5）考点：有理数与无理数的组合性质。A、有理数()有理数，仍为有理数。（注意，此处要保证除法的分母有意义）B、无理数()无理数，有可能为无理数，也有可能为有理数;无理数非零有理数=无理数 eg.如果两个无理数相加为零，则它们一定互为相反数（）。如，222和。C、有理数()无理数=无理数，非零有理数()无理数=无理数(8)连续k 个整数之积可被 k！整除(k！为 k 的阶乘)时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶(9)被 k(k=2,3,4-)整除的性质，其中被 7 整除运用截尾法。被7 整除的截尾法：截去这个整数的个位数，再用剩下的部分减去个位数的 2 倍，所得结果若是 7 的倍数，该数就可以被 7 整除 同余问题 被 2 整除的数，个位数是偶数 被 3 整除的数。各位数之和为 3 倍数 被 4 整除的数，末两位数是 4 的倍数 被 5 整除的数，个位数是 0 或 5 被 6 整除的数，既能被 2 整除又能被 3 整除 被 8 整除的数，末三位数之和是 8 的倍数 被 9 整除的数，各位数之和为 9 的倍数 被 10 整除的数，个位数为 0 被 11 整除的数，奇数位上数的和与偶数位上数的和之差（或反过来）能被 11 整除 被 7、11、13 整除的数，这个数的末三位与末三位以前的数之差（或反过来）能被 7、11、13 整除 第二章 绝对值（考试重点）1、绝对值的定义：其特点是互为相反数的两个数的绝对值是相等的 穿线法：用于求解高次可分解因式不等式的解集 要求：（1）x 系数都要为正 （2）奇穿偶不穿 2、实数 a 的绝对值的几何意义：数轴上实数 a 所对应的点到原点的距离 时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶【例】充分性判断 f(x)=1 只有一根 （1）f(x)=|x-1|(2)f(x)=|x-1|+1 解：由（1）f(x)=|x-1|=1得11 x 两根 由（2）f(x)=|x-1|+1=1得|x-1|=0,一根 答案：（B）3、基本公式：|x|a-axaxa 或 x0|1 x0)四、平均值 1、算术平均值：2、几何平均值 时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶要求是 n 个正数，则121.nnngniixx xxx 五、平均值定理 1、1212.nnnxxxx xxn 当且仅当12.nxxx 时，两者相等 2、n=2 时，2abab 3、当1ab，12aa 六、比较大小的方法：1、整式作减法，与 0 比较大小 2、分式作除法，与 1 比较 技巧方法：1、特值法 2、极端法（趋于 0 或无穷大）【例】1 1 11 1 1:2 3 4ab c，且 a+b+c=27，求 a-2b-2c 由题意可知，a:b:c=2:3:4,234922abca ，可得 a=6，b=9,c=12 算出 a-2b-2c=-36 第四章 方程 不等式 一、基本定义：1、元：方程中未知数的个数 次：方程中未知数的最高次方数 2、一元一次方程 Ax=b 得bxa 3、一元二次方程 2ax+bx+c=0(a 0)一元二次方程2ax+bx+c=0，因为一元二次方程就意味着 a 0。当=2b-4ac0 时，方程有两个不等实根，为1,2X=2ba 。当=2b-4ac=0 时，方程有两个相等的实根。时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶当=2b-4ac0 时，开口向上，a0 时，有两个不等实根，=0，有两个相等实根，0,0；恒负：a0,|负根|，则再加上条件 a，b 异号；如果再要求|正根|负根|，则再加上 a，b 同号（4）一根比 k 大，一个根比 k 小 af(k)1 时()()loglog()()0f xg xaaf xg x 0a0；若 n 为负奇数，则 a 0。若 a 0,则a为 a 的平方根，负数没有平方根。指数基本公式：mnm naaa nmmnm naaa 其他公式查看手册 题型三、韦达定理的应用 时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶不等式 不等式的性质：1、同向皆正相乘性 2、皆正倒数性 3、00ababcddc 4、220abab 不等式解集的特色：解集端点的值代入不等式时，不等式左边等于右边。一、一元一次不等式 axb 若，a0 时 bxa a0 时bxa a0 时bxa 21132xx 移向通分得：213103232xxxx 二、含绝对值的不等式 三、一元一次不等式组 230327xx 求交集得233xx 230327540 xxx 解得32345xxx 3425x 临界点为-1，32 时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶 x-1 时，解得813x -1 x32时，解得-1 x32 x32时，32xb0,22ab b0 时，21,xxxx 20axbxc 时，a0 时，12xxx 解高次不等式：方法：穿针引线法(由右上开始往下穿)注：偶次方先穿时，不考虑，穿后考虑特殊点；奇次方不考虑全看为一次。x1 且 x-1，或 2xe的不等式，可以分段讨论，但计算量大，这时使用折线法，限于一次方程，步骤如下：根据 ax+b=0,cx+d=0求出折点|a|c|0,0,0,向上折水平向下折 一些图像的画法 y=|ax+b|,下翻上，把原下方图像上翻后去掉原下方 时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶 y=|ax|+b,右翻左，把右边翻到左边，去掉原来左边的|y|=ax+b,上翻下，原来下方去掉 五、超级不等式：指数、对数问题（1）对数的图像要掌握 方程：()()loglog()()0f xg xaaf xg x 不等式：a1 时()()loglog()()0f xg xaaf xg x 单调递增 0a0；若 n 为负奇数，则 a 0。若 a 0,则a为 a 的平方根，负数没有平方根。第五章 应用题 一、比、百分比、比例（1）知识点 利润=售价-进价 利润=出厂价-成本 利润率=利润进价（成本）变化率=变化量变前量 技巧（思路）思维 方法：特值法 如果题目中出现必需涉及的量，并且该量不可量化，则此量一定对结果无影响。可引入一个特殊值找出普遍规律下的答案。1、用最简洁最方便的量作为特指 2、引入特指时，不可改变题目原意 3、引入两个特值时需特别注意，防止两者间有必然联系而改变题目原意 时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶讲义 P131/例 20 一般方法：十字相交法：优秀 90 6 81 人数比 32非优优 非优秀 75 9 非优=5053=30 十字交叉法的使用法则 1、标清量 2、放好位（减得的结果与原来的变量放在同一条直线上）3、大的减小的 题型归纳 1 增长率（变化率问题）2.利润率 3.二因素平均值 4.多比例问题 5.单量总量关系 6.比例变化 7.比例性质 二、工程问题 （总量看成 1）（1）知识点 工量=功效*工时 （效率可以直接相加减）工量定时，工效、工时成反比 工效定时，工量、工时成正比 工时定时，工量、工效成正比 纵向比较法的使用范围：如果题目中出现两条以上可比较主线，则可用 纵向比较法的使用法则：时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶1、一定要找到可比较的桥梁 2、通过差异找出关系并且利用已知信息求解 工程问题题型：效率计算;纵向比较法;给排水问题;效率变化问题 三、速度问题 知识点：1.S=vt S 表示路程（不是距离或位移），v 匀速，t 所用时间 s 定，v、t 成反比;v 定，s、t 成正比;t 定，s、v 成正比 2相遇问题 S 为相遇时所走的路程;S 相遇=s1+s2=原来的距离;V 相遇=v1+v2 相遇时所用时间StV相遇相遇 3.追击问题 S 追击=s1-s2（走的快的人比走的慢的人多走的路程）V 追击=v1-v2 4.顺水、逆水问题 V 顺=v 船+v 水 V 逆=v 船-v 水 （V 顺-V逆=2 v 水）例 16.公共汽车速度为 v，则有16016022803vv得 v=40；最好用中间值代入法 中间值代入的适用范围：往往在速度问题中，得到分母出现未知数，并且不可以简单化解的方程，此时最有效的方法时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶是中间值代入法，而回避解一元二次方程。使用法则：用中间值代入而非中间答案 同等条件下用最简洁最方便的代入 如果第一次代入后不符合题意，则一定要判断准答案的发展方向。例 17.（V卡+60）6=（48+V卡）7 得V卡=24 （V卡+60）6=（V丙+24）8 得V丙=39 例 20第一次相遇：小明走了 500，小华走了 S-500；第二次相遇：小明走了 S+100，小华走了 S-100 第一次相遇：小明和小华走了 S；第二次相遇：小明和小华走了 2S 说明第二次 2 个人走的都是第一次的 2 倍;对于小明来说：S+100=2 500 S=900 例 21.设船速 v，水速 x，有 1208016vxvx6012016vxvx解得x2.5 速度问题题型总结：=vt（中间值代入法）2.S 相遇=s1+s2，V 相遇=v1+v2 3.顺水逆水问题 四、浓度问题 知识点：定义：浓度=溶质溶液 溶液=溶质+溶剂 溶质=浓度溶液 溶液=溶质溶度 时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶例 24.属于补水（稀释）问题 第一次剩下纯：x20（）60%浓度：x20 x（）60%第二次倒出纯：x20 x（）60%30 剩下纯：x20（）60%-30 x20 x（）60%浓度为：【x20（）60%-30 x20 x（）60%】/x=20%x=60 通用公式：倒两次：2vavbv原浓度（）（）后浓度 倒三次：3vavbv cv原浓度（）（）（-）后浓度 v 为原来溶液的量，a 为第一次倒出的量，b 为第二次倒出的量 题型归纳；浓度计算；补水问题 五、画饼问题 1两饼相交 总=A+B-x+y 例 25.设只有小提琴人数为 5x，则总人数=46=22+5x+3x-3x+14 得 x=2 只会电子琴的=22-6=16 2.三饼相交 总=A+B+C-x-y-z+m 例 28.总=3 30-5-6-8+3=74 六、不定方程 1.最优化方案选择的不定方程；2.带有附加条件的不定方程 时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶 3.不等式形式的不定方程 步骤：1.要勇敢的表达出方程；2.观察方程和附加条件拉关系；3.求解（穷举法）例 27.设一等奖，二等奖，三等奖人数为 a，b，c，则有 一 二 三 a b c（a，b，c 为正整数）6a+3b+2c=22 9a+4b+c=22 得 a2 接着穷举法 当 a=1 时，b=2，c=5 当 a=2 时，不符题意 最优化方案选择题目的解决方案：1、找到制约最优的因素（稳，准，狠）；2、判定什么情况下最优；3、求解 不等式形式的不定方程解决方案：列出不等式 通过不等式组求出解得范围 根据附加条件判定具体解集 例 29.东欧2/3 欧美 欧美2/3 总数 总数3/2 欧美 总数少于 21 亚太18 七、阶梯价格问题 图表型、语言描述型 做题步骤：1.分段找临界；2.确定区间；3.设特殊部分求解 时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶例 30.少于 1 万 1 万万 万-2 万 2 万-3 万 3 万-4 万 0 125 150 350 400 125+150+350+x 4%=770 x=3625 第六章 数列 一、等差数列 1nnaa常数，则na为等差数列，公差d 常数 1、11naand 通项公式 kank d 起始项不是第一项，1dnad关于 n 的函数，说明等差数列通项是关于 n 的一次函数，公差为 n 的系数。注：3na 是等差数列，为常数列，通项就是该常数，常数列是数列题特值法的首选。2、1122nnnn aaaaSnn 已知项数 求 S 几就是脚码乘以一个数，1313 XS 二、等比数列 等比数列通项是关于 n 的指数函数，【补例】132nnna是等比数列，133,24qa 1111111nnnaqaaSqqqq，为一定有常数项的指数函数。*如果一个数列既是等差又是等比数列，则该数列为非零常数列 数学思想 1、定性排除加反向验证；时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶2、首选特值法和图像法；3、充分性判断先猜后做。【补例】211nSnn 有最大值，在对称轴处取得，112n，即56SS=S 最大值 总结：2()nSf nanbn 对称轴：112and 10,0,nadS有最大值；10,0,nadS有最小值 N 的取值四舍六入，例：（1）n=5，5S有最值（2）n=，5S有最值，（3）n=，6S有最值，（4）n=，56SS有最值，且1160,0Sa 总结：（1）na为 n 的一次函数（2）nS为 n 的无常数项的二次函数（3）若na为常数列，na退化为常数，nS退化为 n 的一次函数，如3na，3nSn【补例】,nnab前 n 项和为,nnS T，则1919:3:2ST（1）,nnab为等差数列（2）1010:3:2ab 利用S=脚码*中间项，选 C【补例】等差数列中972S，求249aaa 95972Sa ，58a 【补例】132nnna是等比数列，133,24qa 时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶 1111111nnnaqaaSqqqq，为一定有常数项的指数函数。【补例】21nnS 是等比数列【补例】132nnnS 不是等比数列，需要配一个常数 1 312 22nnS ，常数与系数相反数，131,24qa 的等比数列 注：2nnS 不是等比数列，但是只影响第一项，从第二项开始与21nnS 所代表的等差数列的第二项开始完全相等。【补例】09-01-11，1210,221nnnnSaaaS，则1nS 是 A、首项为 2，12q 的等比数列；B、首项为 2，2q 的等比数列 C、既非等差又非等比；D、首项为 2，12d 的等差数列 E、首项为 2，2d 的等差数列 1221nnnnSSSS，万能公式 2211112221120112nnnnnnnnnnSSS SSSSSSS 答案选 E 总结：（1）na为 n 的指数函数（2）nS为 n 的有常数项的指数函数，且系数相反（3）若na为非 0 常数列时，na退化为常数，nS退化为 n 的一次函数，如1naa该常数，1nSna（4）既成等差数列又成等比数列的一定是非 0 常数列【补例】等差数列，51037aa，且10a，则nS最小 A、1S或8S B、12S C、13S D、15S E、以上都不对 时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶51037aa，113479adad 1514ad 1115113.2224and 所以 n 取 13，答案选 C 三个数成等差：,ad a ad 三个数成等比：2,a aq aq，（,aa aqq，分式未必好处理）四个数成等差：,2ad a ad ad，（3,3ad ad ad ad，对称，但公差为2d，易错）四个数成等比：2,aa aq aqq，(33,aaaq aqqq,对称，但公比为2q，易错）总结：等差数列 等比数列 1、定义 2、通项 3、通项公式技巧（na是关于 n 的一次函数）（na是关于 n 的指数函数）4、前 n 项和公式nS 1q,11nnaa qSq1(1)1naqq 1q,1nSna 5、nS技巧 关于 n 的无常数项的二次函数 关于 n 的有常数项的指数函数 6、角码规律 7 abc、成等差，则bac b叫做等差中项 abc、成等比，则2bac（奇数项同号、偶数项同号）b叫做等比差中项 8 2121kkkkaSbT,21(21)kkSka 时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶第七章 排列组合（解决计数问题）一、两个原理 加法原理（分类）做一件事有 n 类办法，每一类中的每一种均可单独完成此事件，如果第一类有1m种方案，第二类有2m种方案.第 n 类有nm种方案，则此事件共有方案数12.nNmmm 乘法原理（分步）做一件事分 n 个步骤，如果第一步有1m种方案，第二个步骤有2m种方案.第 n 步有nm种方案，则做此事件的方案数12.nNm mm 模型：从甲到乙有 2 种方法；从甲到丙有 4 种方法；从乙到丁有 3 种方法；从丙到丁有 2 种方法；问从甲到丁有几种方法 解：2*3+4*2=14 二、两个概念 排列 1、排列定义：从 n 个不同元素中，任意取出 m（mn）个元素，按照一定顺序排成一列，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 2、排列数定义：从 n 个不同元素中取出 m（mn）个元素的所有排列的种数，称为从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数 3、!(1).(1)()!mnnPn nnmnm !nnPn n 个不同元素对应 n 个不同位置的方案总数记为 n！（一一对应）时表示为为常用对数当时表示为为自然对数有关公式换底公式单调性有关充分性判断题型为给出题干条件若若而则题目选若而则题目选而则题目选若而形象表示但则题目选则题目选联合立联合立特点肯定有答案无自检机会准确性高图像法尤其试用于几何问题第一章实数自然数自然数用表示整数正整数负整数质数和合数质数只有和它本身两个约数的数叫质数注意既不是质数也不是合数最小的合数为最小的质数为以内质数以内合数除了最小质数为偶数外其余质看可不可以三个质数的乘积为其和的倍求这个数的和解假设个质数分别为由题意知欠定方程不妨令则则即则或者不符合质数的条件舍或者小技巧考试时用以内的质数稍微试一下奇数和偶数整数奇数偶数相邻的两个整数必有一奇一偶 常用的阶乘数：0！=1，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120 组合 1、组合的定义：从 n 个不同元素中，任意取出 m（mn）个元素并为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合，所有可能的组合的个数称为组合数mnC 常用的组合数：01nC 1nCn 246C 3620C 12333CC 13444CC 235510CC 246615CC 257721CC 268828CC 2、组合的性质：（1）、只要存在选择，使用 C（2）、只要涉及到顺序，就阶乘（不同元素对应不同位置）（3）、mn mnnCC（化简用）（4）、11mmmnnnCCC（5）、01.2nnnnnCCC 3、二项展开式：011().nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b 存在选择 mn