空间向量方法解立体几何教案中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

学习必备 欢迎下载 空间向量方法解立体几何【空间向量基本定理】例1.已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA平面 ABCD，M、N 分别为 PC、PD 上的点，且 M 分成定比2，N 分 PD 成定比1，求满足的实数 x、y、z 的值。分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、表示出来，即可求出 x、y、z 的值。如图所示，取 PC 的中点 E，连接 NE，则。点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且 a,b,c 的系数是惟一的。【利用空间向量证明平行、垂直问题】例2.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的中点，作 EFPB 于点 F。（1）证明：PA/平面 EDB；（2）证明：PB平面 EFD；（3）求二面角 CPBD 的大小。点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量 （2）证明线面平行的方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量 （3）证明面面平行的方法：转化为线线平行、线面平行处理；证明这两个平面的法向量是共线向量 （4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直 （5）证明线面垂直的方法：证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；学习必备 欢迎下载 证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直 （6）证明面面垂直的方法：转化为线线垂直、线面垂直处理；证明两个平面的法向量互相垂直【用空间向量求空间角】例3.正方形 ABCD 中，E、F 分别是，的中点，求：（1）异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值；（2）二面角 CAEF 的余弦值的大小。点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即。（2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即或（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。【用空间向量求距离】例4.长方体 ABCD 中，AB=4，AD=6，M 是 A1C1的中点，P 在线段 BC 上，且|CP|=2，Q 是 DD1的中点，求：（1）异面直线 AM 与 PQ 所成角的余弦值；（2）M 到直线 PQ 的距离；（3）M 到平面 AB1P 的距离。本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。（1）平面的法向量的求法：设，利用 n 与平面内的两个向量 a，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。成定比分成定比求满足数的值的实分析结合图形从向量出发利用向量运算法则不断进行分解直到全部向量都用表示出来即可求出的值如图所示取的中点连接则点评选定空间不共面的三个向量作基向量并用它们表示出指定的向量是用再对照目标将不符合目标要求的向量当作新的所需向量如此继续下去直到所有向量都符合目标要求为止就是向量的分解有分解才有组合组合是分解的表现形式空间向量基本定理恰好说明用空间三个不共面的向量组表示出空间任意一于点证明平面证明平面求二面角的大小可以点评证明两条直线平行只需证明两条直线的方向向量是共线向量证明线面平行的方法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线利学习必备 欢迎下载（2）线面角的求法：设n是平面的一个法向量，AB是平面的斜线 l 的一个方向向量，则直线 与平面所成角为nABnABsin则 （3）二面角的求法：AB，CD 分别是二面角的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角的大小为。设分别是二面角的两个平面的法向量，则就是二面角的平面角或其补角。（4）异面直线间距离的求法：是两条异面直线，n 是的公垂线段 AB 的方向向量，又 C、D 分别是上的任意两点，则。（5）点面距离的求法：设 n 是平面的法向量，AB 是平面的一条斜线，则点 B 到平面的距离为。（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。成定比分成定比求满足数的值的实分析结合图形从向量出发利用向量运算法则不断进行分解直到全部向量都用表示出来即可求出的值如图所示取的中点连接则点评选定空间不共面的三个向量作基向量并用它们表示出指定的向量是用再对照目标将不符合目标要求的向量当作新的所需向量如此继续下去直到所有向量都符合目标要求为止就是向量的分解有分解才有组合组合是分解的表现形式空间向量基本定理恰好说明用空间三个不共面的向量组表示出空间任意一于点证明平面证明平面求二面角的大小可以点评证明两条直线平行只需证明两条直线的方向向量是共线向量证明线面平行的方法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线利学习必备 欢迎下载 练习：1.若 等 边ABC的 边 长 为2 3，平 面 内 一 点M满 足1263CMCBCA，则M AM B_ 2在空间直角坐标系中，已知点 A（1，0，2），B(1，-3，1)，点 M在 y 轴上，且 M到 A与到 B的距离相等，则 M的坐标是_。3.（本小题满分 12 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD,AD/BC/FE，ABAD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD (I)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II)证明平面 AMD平面 CDE；（III）求二面角 A-CD-E的余弦值。4（本题满分 15 分）如图，平面PAC 平面ABC，ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，,E F O分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC （I）设G是OC的中点，证明：/FG平面BOE；（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM 平面BOE，并求点M到OA，OB的距离 5.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PDABCD底面，点 E 在棱 PB 上.（）求证：平面AECPDB平面；（）当2PDAB且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与 平面 PDB 所成的角的大小.成定比分成定比求满足数的值的实分析结合图形从向量出发利用向量运算法则不断进行分解直到全部向量都用表示出来即可求出的值如图所示取的中点连接则点评选定空间不共面的三个向量作基向量并用它们表示出指定的向量是用再对照目标将不符合目标要求的向量当作新的所需向量如此继续下去直到所有向量都符合目标要求为止就是向量的分解有分解才有组合组合是分解的表现形式空间向量基本定理恰好说明用空间三个不共面的向量组表示出空间任意一于点证明平面证明平面求二面角的大小可以点评证明两条直线平行只需证明两条直线的方向向量是共线向量证明线面平行的方法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线利