复变函数与积分变换重要知识点归纳中学教育高考_中学教育-高考.pdf

复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：zxiy，,x y是实数,Re,Imxzyz.21i .注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示 1）模：22zxy；2）幅角：在0z 时，矢量与x轴正向的夹角，记为 Arg z（多值函数）；主值 arg z是位于(,中的幅角。3）arg z与arctanyx之间的关系如下：当0,x argarctanyzx；当0,argarctan0,0,argarctanyyzxxyyzx；4）三角表示：cossinzzi，其中arg z；注：中间一定是“+”号。5）指数表示：izz e，其中arg z。(二)复数的运算 1.加减法：若111222,zxiy zxiy，则121212zzxxi yy 2.乘除法：1）若111222,zxiy zxiy，则 1 212122112z zx xy yi x yx y；112211112121221222222222222222xiyxiyzxiyx xy yy xy xizxiyxiyxiyxyxy。2）若121122,iizz ezz e,则 121 212iz zz z e；121122izzezz 3.乘幂与方根 1）若(cossin)izziz e，则(cossin)nnninzzninz e。2）若(cossin)izziz e，则 122cossin(0,1,21)nnkkzziknnn（有n个相异的值）（三）复变函数 1复变函数：wf z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2复初等函数 1）指数函数：cossinzxeeyiy，在z平面处处可导，处处解析；且zzee。注：ze是以2 i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数：ln(arg2)Lnzzizk(0,1,2)k （多值函数）；主值：lnlnargzziz。（单值函数）Lnz的每一个主值分支ln z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且 1lnzz；注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：(0)bbLnaaea；(0)bbLnzzez 注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且1bbzbz。4）三角函数：sincossin,cos,t,22cossinizizizizeeeezzzzgzctgzizz sin,coszz在z平面内解析，且 sincos,cossinzzzz 时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零注：有界性sin1,cos1zz不再成立；（与实函数不同）4）双曲函数 ,22zzzzeeeeshzchz；shz奇 函 数，c h z是 偶 函 数。,s h z c h z在z平 面 内 解 析，且 ,s h zc h zc h zs h z。（四）解析函数的概念 1复变函数的导数 1）点可导：0fz=000limzfzzfzz ；2）区域可导：f z在区域内点点可导。2解析函数的概念 1）点解析：f z在0z及其0z的邻域内可导，称 f z在0z点解析；2）区域解析：f z在区域内每一点解析，称 f z在区域内解析；3）若()f z在0z点不解析，称0z为 f z的奇点；3解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件 1函数可导的充要条件：,f zu x yiv x y在zxiy 可导 ,u x y和,v x y在,x y可微，且在,x y 处满足CD条件：,uvuvxyyx 此时，有 uvfzixx。2函数解析的充要条件：,f zu x yiv x y在区域内解析 ,u x y和,v x y在,x y在D内 可 微，且 满 足CD条 件：时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零,uvuvxyyx；此时 uvfzixx。注意：若 ,u x yv x y在区域D具有一阶连续偏导数，则 ,u x yv x y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数()f zuiv 一定是可导或解析的。3函数可导与解析的判别方法 1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1）2）利用充要条件 （函数以 ,f zu x yiv x y形式给出，如第二章习题 2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数 f z是以z的形式给出，如第二章习题 3）（六）复变函数积分的概念与性质 1 复变函数积分的概念：1limnkkcnkfz dzfz，c是光滑曲线。注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2 复变函数积分的性质 1）1ccf z dzf z dz （1c与c的方向相反）；2）,cccf zg z dzf z dzg z dz是常数；3）若曲线c由1c与2c连接而成，则 12cccfz dzfz dzfz dz。3复变函数积分的一般计算法 时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零1）化为线积分：cccf z dzudxvdyivdxudy；（常用于理论证明）2）参数方法：设曲线c：()zz tt，其中对应曲线c的起点，对应曲线c的终点，则 ()cfzd zfztzt d t。（七）关于复变函数积分的重要定理与结论 1柯西古萨基本定理：设 f z在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则 0cf z dz 2复合闭路定理：设 f z在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，12,nc cc是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,nc cc为边界的区域全含于D内，则 cf z dz 1,knkcf z dz 其中c与kc均取正向；0f z dz，其中由c及1(1,2,)ckn所组成的复合闭路。3 闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数 f z沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使 f z不解析的奇点。4解析函数沿非闭曲线的积分：设 f z在单连域B内解析，G z为 f z在B内的一个原函数，则 212112(,)zzf z dzG zG zz zB 说明：解析函数 f z沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式：设 f z在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，0z为c内任意一点，则 002cf zdzif zzz 时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零6高阶导数公式：解析函数 f z的导数仍为解析函数，它的n阶导数为 0102(1,2)()!nncf zidzfznzzn 其中c为 f z的解析区域D内围绕0z的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。7重要结论：12,010,0()ncindznza。（c是包含a的任意正向简单闭曲线）8复变函数积分的计算方法 1）若 f z在区域D内处处不解析，用一般积分法 cf z dzf z tz t dt 2）设 f z在区域D内解析，c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，0cf z dz c是D内的一条非闭曲线，12,z z对应曲线c的起点和终点，则有 2121zczf z dzf z dzF zF z 3）设 f z在区域D内不解析 曲线c内仅有一个奇点：0001022()!cnncf zdzi f zzzf zidzfzzzn（()f z在c内解析）曲线c内有多于一个奇点：cf z dz 1knkcf z dz（ic内只有一个奇点kz）或：12Re (),nkkcf z dzis f z z（留数基本定理）时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零 若被积函数不能表示成 1()nof zzz，则须改用第五章留数定理来计算。（八）解析函数与调和函数的关系 1调和函数的概念：若二元实函数(,)x y在D内有二阶连续偏导数且满足22220 xy，(,)x y为D内的调和函数。2解析函数与调和函数的关系 解析函数 f zuiv 的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。两个调和函数u与v构成的函数()f zuiv 不一定是解析函数；但是若,u v如果满足柯西 黎曼方程，则uiv一定是解析函数。3 已知解析函数 f z的实部或虚部，求解析函数 f zuiv 的方法。1）偏微分法：若已知实部,uu x y，利用CR条件，得,vvxy ；对vuyx两边积分，得 uvdyg xx （*）再对（*）式两边对x求偏导，得 vudygxxxx（*）由CR条件，uvyx，得 uudygxyxx，可求出 g x；代入（*）式，可求得 虚部 uvdyg xx 。2）线 积 分 法：若 已 知 实 部,uux y，利 用CR条 件 可 得vvuudvdxdydxdyxyyx，时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零故虚部为 00,x yxyuuvdxdycyx；由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中00,xy与,x y 是解析区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部,uu x y，根据解析函数的导数公式和CR条件得知，uvuufziixyxy 将此式右端表示成z的函数 U z，由于 fz仍为解析函数，故 f zU z dzc （c为实常数）注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部.u（九）复数项级数 1复数列的极限 1）复数列nnnaib（1,2n）收敛于复数abi 的充要条件为 lim,limnnnnaabb （同时成立）2）复数列n收敛实数列,nnab同时收敛。2复数项级数 1）复数项级数0()nnnnnaib 收敛的充要条件是级数0nna与0nnb同时收敛；2）级数收敛的必要条件是lim0nn。注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幂级数的敛散性 时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零1幂级数的概念：表达式00()nnnczz或0nnnc z为幂级数。2幂级数的敛散性 1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数0nnnc z在00z 处收敛，那么对满足0zz的一切z，该级数绝对收敛；如果在0z处发散，那么对满足0zz的一切z，级数必发散。2）幂级数的收敛域圆域 幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法 如果1lim0nnncc，则收敛半径1R；根值法 lim0nnc，则收敛半径1R；如果0，则R；说明在整个复平面上处处收敛；如果，则0R；说明仅在0zz或0z 点收敛；注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如20nnnc z）3幂级数的性质 1）代数性质：设00,nnnnnna zb z的收敛半径分别为1R与2R，记12min,RR R，则当zR时，有 000()nnnnnnnnnnab za zb z （线性运算）01 10000()()()nnnnnnnnnnna zb za baba b z （乘积运算）时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零2）复合性质：设当r时，0nnnfa，当zR时，g z解析且 g zr，则当zR时，0nnnf g zag z。3）分析运算性质：设幂级数0nnna z的收敛半径为0R，则 其和函数 0nnnfza z是收敛圆内的解析函数；在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且 10nnnfzna z zR 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；1001znnnafz dzzn zR（十一）幂函数的泰勒展开 1.泰勒展开：设函数 f z在圆域0zzR内解析，则在此圆域内 f z可以展开成幂级数 000!nnnfzf zzzn；并且此展开式是唯一的。注：若 f z在0z解析，则 f z在0z的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径0Rza；其中R为从0z到 f z的距0z最近一个奇点a之间的距离。2常用函数在00z 的泰勒展开式 1）23011!2!3!nznnzzzezznn z 2）20111nnnzzzzz 1z 时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零3）3521210(1)(1)sin(21)!3!5!(21)!nnnnnzzzzzznn z 4）24220(1)(1)cos1(2)!2!4!(2)!nnnnnzzzzznn z 3解析函数展开成泰勒级数的方法 1）直接法：直接求出 01!nncfzn，于是 00nnnfzczz。2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）幂函数的洛朗展开 1.洛朗级数的概念：0nnnczz，含正幂项和负幂项。2洛朗展开定理：设函数 f z在圆环域102RzzR 内处处解析，c为圆环域内绕0z的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有 0nnnfzczz，且展开式唯一。3解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4利用洛朗级数求围线积分：设 f z在0rzzR 内解析，c为0rzzR 内的任何一条正向简单闭曲线，则 12cf z dzic。其中1c为()f z在0rzzR 内洛朗展开式中01zz的系数。说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中10()zz的系数。（十三）孤立奇点的概念与分类 1。孤立奇点的定义：f z在0z点不解析,但在0z的00zz 内解析。时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零2。孤立奇点的类型：1）可 去 奇 点：展 开 式 中 不 含0zz的 负 幂 项；201020f zcczzczz 2）极点：展开式中含有限项0zz的负幂项；(1)21010201000()()()()()mmmmcccf zcc zzc zzzzzzzz 0,()mg zzz 其中 1(1)01000()()()mmmmg zcczzczzc zz 在0z解析，且00,1,0mg zmc；3）本性奇点：展开式中含无穷多项0zz的负幂项；1010000()()()()mmmmccfzcc zzczzzzzz （十四）孤立奇点的判别方法 1可去奇点：00limzzfzc常数；2极点：0limzzfz 3本性奇点：0limzzfz不存在且不为。4零点与极点的关系 1）零点的概念：不恒为零的解析函数 f z，如果能表示成 0()mf zzzz，其中 z在0z解析，00,zm为正整数，称0z为 f z的m级零点；2）零点级数判别的充要条件 0z是 f z的m级零点 000,(1,2,1)0nmfznmfz 3）零点与极点的关系：0z是 f z的m级零点0z是 1f z的m级极点；4）重要结论 时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零若za分别是 z与 z的m级与n级零点，则 za是 z z的mn级零点；当mn时，za是 zz的mn级零点；当mn时，za是 zz的nm级极点；当mn时，za是 zz的可去奇点；当mn时，za是 zz的l级零点，min(,)lm n 当mn时，za是 zz的l级零点，其中()lm n（十五）留数的概念 1留数的定义：设0z为 f z的孤立奇点，f z在0z的去心邻域00zz 内解析，c为该域内包含0z的任一正向简单闭曲线，则称积 分 12cfzd zi为 f z在0z的 留 数（或 残 留），记 作 0Re,s f zz 12cfz dzi 2留数的计算方法 若0z是 f z的孤立奇点，则 0Re,s f zz1c，其中1c为 f z在0z的去心邻域内洛朗展开式中10()zz的系数。1）可去奇点处的留数：若0z是 f z的可去奇点，则 0Re,s f zz0 2）m级极点处的留数 法则 I 若0z是 f z的m级极点，则 0Re,s f zz 01011lim()(1)!mmmzzdzzfzmdz 特别地，若0z是 f z的一级极点，则 0Re,s f zz 00lim()zzzzf z 时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零 注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。法则 II 设 P zf zQ z，,P zQ z在0z解析，00,P z 000,0Q zQz，则 000Re,P zP zszQ zQz（十六）留数基本定理 设 f z在区域D内除有限个孤立奇点12,nz zz外处处解析，c为D内 包 围 诸 奇 点 的 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线，则 12Re,ncnfz dzis fzz 说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数 f z在c内各孤立奇点处留数的局部问题。积分变换复习提纲 一、傅里叶变换的概念 ()()()jwtF f tf t edtF w 11()()()2j tFFFedf t 二、几个常用函数的傅里叶变换 1()F e tj 时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零 1()()F u tj ()1Ft 12()F 三、傅里叶变换的性质 位移性（时域）：00()jwtF f tte()F f t 位移性（频域）：000()()()jw tw w wF ef tF wF ww 位移性推论：0001sin()()()2Fw t f tF wwF wwj 位移性推论：0001cos()()()2Fw t f tF wwF ww 微分性（时域）：()()()F f tjw F w （,()0tf t），()()()()nnF ftjwF w，(1),()0ntft 微分性（频域）：()(),()()()nnFjt f tFwFjtf tFw 相似性：1()()wF f atFaa (0)a 四、拉普拉斯变换的概念 0()()()stL f tf t edtF s 五、几个常用函数的拉普拉斯变换 1ktL esk；11(1)!(mmmmmL tmss是自然数)；（1(1)1,(),(1)()2mmm ）1()1L u tLs；()1Lt 2222sin,cosksLktLktsksk 2222s,ksLhktL chktsksk 设()()f tTf t，则01()()1TTsL f tf t dte。（()f t是以T为周期的周期时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零函数）六、拉普拉斯变换的性质 微分性（时域）：20,()()(0)(0)L ftsF sfL fts F ssff 微分性（频域）：()L tftF s，()()nnLtf tFs 积分性（时域）：0tF sLf t dts 积分性（频域）：sf tLF s dst（收敛）位移性（时域）：atL ef tF sa 位移性（频域）：sL f teF s（0,0,()0tf t）相似性：1()()sL f atFaa (0)a 七、卷积及卷积定理 1212()*()()()f tf tff td 1212()()()()F f tf tF wF w 12121()()()()2F f tf tF wF w 1212()()()()L f tf tF sF s 八、几个积分公式 ()()(0)f tt dtf 00()()()f ttt dtf t 000()()()f tdtL f t dsF s dst15 0()()kts kf t edtL f t 时矢量与轴正向的夹角记为多值函幅角在数主值是位于中的幅角之间的关系如下与当当三角表示其中注中间一定是号指数表示其中二复数的运算加减法若则乘除法若则若则乘幂与方根若则若则有个相异的值三复变函数在几何上可以注是以为周期的周期函数注意与实函数不同多值函数单值函数对数函数主值的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析且注负复数也有对数存在与实函数不同乘幂与幂函数注在除去原点及负实轴的平面内处处解析且三念复变函数的导数点可导区域可导在区域内点点可导解析函数的概念点解析在及其的邻域内可导称在点解析区域解析在区域内每一点解析称在区域内解析在若点不解析称为的奇点解析函数的运算法则解析函数的和差积商除分母为零