青岛市中考数学探究题经典例题1中学教育中考_中学教育-中考.pdf

模拟试题 1 模拟试题 2 问题提出：如图，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点 A与点 C重合，这时 DE为折痕，CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿CBE的对称轴 EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.知识运用：（1）如图，正方形网格中的ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图中画出折痕；（2）如图，在正方形网格中，以给定的 BC为一边，画出一个斜三角形 ABC，使其顶点 A在格点上，且ABC折成的“叠加矩形”为正方形；（3）若一个锐角三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？结合图，说明理由。拓展应用：（4）如果一个四边形一定能折成叠加矩形,那么它必须满足的条件是什么？模拟试题 3 23（本小题满分 10分）提出问题：如图，在四边形 ABCD 中，点 E、F是 AD的 n 等分点中最中间 2 个，点 G、H是 BC的 n 等分点中最中间 2 个，（其中 n 为奇数），连接 EG、FH，那么 S四边形 EFHG与 S四边形 ABCD之间有什么关系呢？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：(1).如图：四边形 ABCD 中，点 E、F是 AD的 3 等分点，点 G、H是 BC的 3 等分点，连接 EG、FH，那么 S四边形 EFHG与 S四边形 ABCD之间有什么关系呢？如图，连接 EH、BE、DH，因为EGH 与EBH高相等，底的比是 1:2，所以 SEGH=21SEBH 因为EFH与DEH 高相等，底的比是 1:2，所以 SEFH=21SDEH 所以 SEGH+SEFH=21SEBH+21SDEH 即 S四边形 EFHG=21S四边形 EBHD 连接 BD，因为ABE与ABD高相等，底的比是 1：3，所以 SABE=31SABD 因为CDH 与BCD高相等，底的比是 1：3，所以 SCDH=31SBCD 所以 SABE+SCDH=31SABD+31SBCD=31(SABD+SBCD)=31S四边形 ABCD 所以 S四边形 EBHD=32S四边形 ABCD 所以 S四边形 EFHG=21S四边形 EBHD=2132S四边形 ABCD=31S四边形 ABCD 图 图 图 沿的对称轴折叠这时得到了两个完全重合的矩形其中一个是原直角三角形的内接矩形另一个是拼合成的无缝隙无重叠的矩形我们称这样两个矩形为叠加矩形知识运用如图正方形网格中的能折叠成叠加矩形吗如果能请在图中画出折痕三角形所折成的叠加矩形为正方形那么它必须满足的条件是什么结合图说明理由拓展应用如果一个四边形一定能折成叠加矩形那么它必须满足的条件是什么模拟试题本小题满分分提出问题如图在四边形中点是的等分点中最中间个点们可以先从一些简单的特殊的情形入手如图四边形中点是的等分点点是的等分点连接那么与之间有什么关系呢如图连接因为与高相等底的比是四边形四边形所以因为与高相等底的比是所以所以即四边形四边形连接因为与高相等底的 （1）如图：四边形 ABCD 中，点 E、F是 AD的 5 等分点中最中间 2 个，点 G、H是 BC的 5等分点中最中间 2 个，连接 EG、FH，猜想：S四边形 EFHG与 S四边形 ABCD之间有什么关系呢 验证你的猜想：问题解决：如图，在四边形 ABCD 中，点 E、F是 AD的 n 等分点中最中间 2 个，点 G、H是 BC的 n 等分点中最中间 2 个，连接 EG、FH，（其中 n 为奇数）那么 S四边形 EFHG与 S四边形 ABCD之间的关系为：（不必写出求解过程）问题拓展：仿照上面的探究思路，若 n 为偶数，请再给出一个一般性结论。（画出图形，不必写出求解过程）图 沿的对称轴折叠这时得到了两个完全重合的矩形其中一个是原直角三角形的内接矩形另一个是拼合成的无缝隙无重叠的矩形我们称这样两个矩形为叠加矩形知识运用如图正方形网格中的能折叠成叠加矩形吗如果能请在图中画出折痕三角形所折成的叠加矩形为正方形那么它必须满足的条件是什么结合图说明理由拓展应用如果一个四边形一定能折成叠加矩形那么它必须满足的条件是什么模拟试题本小题满分分提出问题如图在四边形中点是的等分点中最中间个点们可以先从一些简单的特殊的情形入手如图四边形中点是的等分点点是的等分点连接那么与之间有什么关系呢如图连接因为与高相等底的比是四边形四边形所以因为与高相等底的比是所以所以即四边形四边形连接因为与高相等底的模拟试题 4 模拟试题 5 23在图 15 中，正方形 ABCD 的边长为 a，等腰直角三角形 FAE的斜边 AE=2b，且边 AD和 AE在同一直线上 操作示例：当 2ba 时，如图 1，在 BA上选取点 G，使 BG=b，连接 FG和 CG，裁掉FAG和CGB并分别拼接到FEH和CHD 的位置构成四边形 FGCH 思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点 F逆时针旋转 90到FEH的位置，易知 EH与 AD在同一直线上连接 CH，由剪拼方法可得 DH=BG，故CHD CGB，从而又可将CGB绕点 C顺时针旋转 90到CHD 的位置 这样，对于剪拼得到的四边形 FGCH（如图 1），沿的对称轴折叠这时得到了两个完全重合的矩形其中一个是原直角三角形的内接矩形另一个是拼合成的无缝隙无重叠的矩形我们称这样两个矩形为叠加矩形知识运用如图正方形网格中的能折叠成叠加矩形吗如果能请在图中画出折痕三角形所折成的叠加矩形为正方形那么它必须满足的条件是什么结合图说明理由拓展应用如果一个四边形一定能折成叠加矩形那么它必须满足的条件是什么模拟试题本小题满分分提出问题如图在四边形中点是的等分点中最中间个点们可以先从一些简单的特殊的情形入手如图四边形中点是的等分点点是的等分点连接那么与之间有什么关系呢如图连接因为与高相等底的比是四边形四边形所以因为与高相等底的比是所以所以即四边形四边形连接因为与高相等底的过点 F作 FM AE于点 M（图略），利用 SAS公理可判断HFM CHD，易得 FH=HC=GC=FG，FHC=90 进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形 FGCH 是正方形 实践探究：（1）正方形 FGCH 的面积是 _；（用含 a，b 的式子表示）（2）类比图 1 的剪拼方法，请你就图 2图 4 的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图 联想拓展：小明通过探究后发现：当 ba 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点 G的位置在BA方向上随着 b 的增大不断上移；当 ba 时，如图 5 的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由 模拟试题 6 23（本小题满分 10 分）如图 1，ABC中，沿BAC的角平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的角平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；以此继续下去；将余下部分沿BnAnC的角平分线AnBn+1折叠，最终点Bn与点C重合，那么我们就把BAC称为ABC的“n阶折角”探究发现:（1）如图 2，ABC中，若BAC 是ABC的 1 阶折角，显然B=C；（2）如图 3，ABC中，若BAC 是ABC的 2 阶折角，则B与C的数量关系是：；（3）如图 4，ABC中，若BAC 是ABC的 3 阶折角，则B与C的数量关系是：；（4）如图 1，ABC中，若BAC 是ABC的 n 阶折角，则B与C的数量关系是：；应用提升:(1)ABC中，C=90，B=30，结合上面结论，请判断ABC中每个角是否是ABC的折角。如果是，请说明是几阶折角？第 23 题图 1 第 23 题图 2 第 23 题图 3 第 23 题图 4 沿的对称轴折叠这时得到了两个完全重合的矩形其中一个是原直角三角形的内接矩形另一个是拼合成的无缝隙无重叠的矩形我们称这样两个矩形为叠加矩形知识运用如图正方形网格中的能折叠成叠加矩形吗如果能请在图中画出折痕三角形所折成的叠加矩形为正方形那么它必须满足的条件是什么结合图说明理由拓展应用如果一个四边形一定能折成叠加矩形那么它必须满足的条件是什么模拟试题本小题满分分提出问题如图在四边形中点是的等分点中最中间个点们可以先从一些简单的特殊的情形入手如图四边形中点是的等分点点是的等分点连接那么与之间有什么关系呢如图连接因为与高相等底的比是四边形四边形所以因为与高相等底的比是所以所以即四边形四边形连接因为与高相等底的 （2）ABC中，A 是ABC的 6 阶折角，B 是ABC的 3 阶折角，请问C是ABC的折角吗？如果是，请求出ABC中各个角的度数；模拟试题 7 模拟试题 8 沿的对称轴折叠这时得到了两个完全重合的矩形其中一个是原直角三角形的内接矩形另一个是拼合成的无缝隙无重叠的矩形我们称这样两个矩形为叠加矩形知识运用如图正方形网格中的能折叠成叠加矩形吗如果能请在图中画出折痕三角形所折成的叠加矩形为正方形那么它必须满足的条件是什么结合图说明理由拓展应用如果一个四边形一定能折成叠加矩形那么它必须满足的条件是什么模拟试题本小题满分分提出问题如图在四边形中点是的等分点中最中间个点们可以先从一些简单的特殊的情形入手如图四边形中点是的等分点点是的等分点连接那么与之间有什么关系呢如图连接因为与高相等底的比是四边形四边形所以因为与高相等底的比是所以所以即四边形四边形连接因为与高相等底的