高考随机变量及其分布公式教师中学教育高考_中学教育-高考.pdf
第二十一辑 随机变量及其分布 一，离散型随机变量 1，试验：凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验。2，随机试验：一个试验如果满足（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果，那么，这个试验就叫做随机试验。3，随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，随机变量常用字母,YX表示。例如抛筛子、掷硬币 4，离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 二，离散型随机变量的分布列 要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道：1，X所有可能取的值nxxx,21；2，X取每一个值ix的概率nppp,21 列表：我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列。3，离散型随机变量的分布列性质：（1）*,0Nipi；（2）1321npppp 三，两点分布与超几何分布 1，两点分布 若随机变量X的分布列为 则称X的分布列为两点分布列。如果随机变量X的分布列为 两点分布列，就称X服从两点分布，并称)1(xPp为成功概率 2，超几何分布：一般的，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件kX 发生的概率为 nNknMNkMCCCkxP)(（mk,2,1,0），其中*,minNNMnNMNnnMm且，称 为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布 四，独立重复试验与二项分布 1，独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验。2，独立重复试验事件A恰有k次发生的概率：一般的，如果在 1 次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率)(kPnknkknppC)1(，（nk,2,1,0）X 1x 2x ix nx P 1p 2p ip np X 0 1 P p1 p X 0 1.m P nNnMNMCCC00 nNnMNMCCC11 nNmnMNmMCCC 3，二项分布：一般的，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：)(kXPknkknppC)1(，（nk,2,1,0）此时称随机变量X服从二项分布，记作),(pnBX，并称p为成功概率 五，离散型随机变量的均值 1，一般的，若离散型随机变量X的分布列为 则称：nniipxpxpxpxxE2211)(为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。2，均值的性质：若baXY，其中ba,是常数（X是随机变量），则Y也是随机变量，且有bxaEbaXE)()(3，常用分布的均值 （1）两点分布：pppxE)1(01)(（2）二项分布：npxE)(（3）超几何分布：NnMxE)(六，离散型随机变量的方差 1，离散型随机变量的方差与标准差：设离散型随机变量X的分布列为 则2)(XExi描述了),3,2,1(nixi相对于均值)(XE的偏离程度，而niiipXExXD12)()(为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值)(xE的平均偏离程度，我们称)(XD为随机变量X的方差，其算数平方根)(XD为随机变量X的标准差，记作X。随机变量的方差和标准差都反应的随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小。2，方差的性质 ba,是常数时，随机变量函数ba的方差)()()(2DabaDD （1）当0a时，0)(bD，即常数的方差等于 0；（2）当1a时，)()(DbD，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身；（3）当0b时，)()(2DaaD，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的积 七，常用分布的方差：1，两点分布：若X服从两点分布，则)1()(ppXD 2，二项分布：若),(pnBX，则)1()(pnpXD 3，超几何分布：若随机变量X服从超几何分布，即),(nMNHX，则1)1()(NnNNMNnMXD X 1x 2x ix nx P 1p 2p ip np X 1x 2x ix nx P 1p 2p ip np 验一个试验如果满足试验可以在相同的情形下重复进行试验的所有可能结果是明确可知的并且不止一个每次试验总是恰好出现这些结果中的一个但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果那么这个试验就叫做随机试验如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来则称为离散型随机变量二离散型随机变量的分布列要掌握一个离散型随机变量的取值规律必须知道所有可能取的值取每一个值的概率列表我们称这个表为离散型随机变量的概率分布列为则称的分布列为两分布列如果随机变量的分布列为两分布列就称服从两分布并称为成功概率超几何分布一般的在含有件次品的件产品中任取件其中恰有件次品则事件发生的概率为其中且称为超几何分布列如果随机变量的分布列 八，正态分布 1，正态曲线 函数222)(,21)(xex，Rx的图像（其中实数和为参数）称为正态分布密度曲线，简称正态曲线 随机变量X落在区间ba,的概率为badxxbxaP)()(,，即由正态曲线，bxax,及x轴所围成的平面图形的面积，就是X落在区间ba,的概率的近似值，如图：2，正态分布 一般的，如果对于任何实数ba，随机变量X满足badxxbxaP)()(,，则称X的分布为正态分布。正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作),(2N，如果随机变量X服从正态分布，则记作),(2NX 3，正态曲线的性质 正态曲线222)(,21)(xex，Rx有以下性质：（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x对称；（3）曲线在x处达到峰值21；（4）曲线与x轴之间的面积为 1；（5）当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；（6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散 4，标准正态分布：若随机变量),(2NX，则当1,0时，称随机变量X服从标准正态分布，简称标准正态分布 标准正态分布的密度函数为2221)(xexf，Rx，其相应的密度曲线称为标准正态曲线，如图：特别的，)()(00 xxPx 215.00OyxbaOyx210Oyx验一个试验如果满足试验可以在相同的情形下重复进行试验的所有可能结果是明确可知的并且不止一个每次试验总是恰好出现这些结果中的一个但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果那么这个试验就叫做随机试验如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来则称为离散型随机变量二离散型随机变量的分布列要掌握一个离散型随机变量的取值规律必须知道所有可能取的值取每一个值的概率列表我们称这个表为离散型随机变量的概率分布列为则称的分布列为两分布列如果随机变量的分布列为两分布列就称服从两分布并称为成功概率超几何分布一般的在含有件次品的件产品中任取件其中恰有件次品则事件发生的概率为其中且称为超几何分布列如果随机变量的分布列
