复习课数字信号处理复习总结中学教育中考_中学教育-中考.pdf

数字信号处理复习要点 数字信号处理主要包括如下部分：1、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析（序列傅立叶变换）2、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换 3、数字滤波器的设计 一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析 1、离散时间信号：1）离散时间信号。时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。2）数字信号。时间和幅值都离散化的信号。（本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理）3）离散时间信号可用序列来描述 4）序列的卷积和（线性卷积）mnhnxmnhmxny)(*)()()()(5）几种常用序列 a)单位抽样序列（也称单位冲激序列）,1,0()0,0nnn b)单位阶跃序列,1,0()0,0nu nn c)矩形序列，1,01()0,NnNRnn 其它 d)实指数序列,()()nx na u n 6）序列的周期性：所有 n 存在一个最小的正整数 N,满足：x(n)=x(n+N),则称序列 x(n)是周期序列，周期为 N。(注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的)7）时域抽样定理：一个限带模拟信号 xa(t)，若其频谱的最高频率为 fh，对它进行等间隔抽样而得 x(n)，抽样周期为 T，或抽样频率为 Fs=1/T；只有在抽样频率 Fs 2fh时，才可由 x(n)准确恢复 xa(t)。理想抽样()()()aanx tx nTtnT 频谱周期延拓1()()aasrXjXjjrT 信号重建（通过理想低通滤波器）sin()()()()()()antnTTx tx nTtnTT 8）序列的运算规则 2、离散时间信号的频域表示（序列傅立叶变换）1）定义 正变换()()jj nnX ex n e ；2()()jjkjX eX e 连续、周期（周期为 2）逆变换1()()2jj nx nX eed ；2）DTFT 性质 3、序列的 Z 变换 1）正变换：()ZT()()nnX zx nx n z（1）Z 变换的收敛域 收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有 Z 变换的收敛区域确定之后，才能由 Z 变换唯一地确定序列。一般来来说，序列的 Z 变换的收敛域在 Z 平面上的一环状区域：|xxRzR *有限长序列：12()()0 x nNnNx n 其它，|z0*右序列：1()()0 x nNnx n 其它，|Z|Rx-*左序列：2()()0 x nnNx n 其它，（|z|0 时：0|Z|Rx+；N20时：0|Z|Rx-频域条件 11、稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|()|nh n，()0,0h nn-时域条件 或：H(z)的极点在单位园内，即 H(z)的收敛域满足：|,1xxzRR-频域条件 12、差分方程 线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示（差分方程的初始条件应满足松弛条件）inxbknyaMiiNkk00 13、差分方程的解法 1）直接法：递推法 2）经典法 3）由 Z 变换求解 二、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换 1、周期序列 xp(n)的离散傅立叶级数（DFS）；周期为 N 叶变换离散傅立叶变换快速傅立叶变换数字滤波器的设计一离散时间信号与系统的基本理论信号的频谱分析离散时间信号离散时间信号时间是离散变量的信号即独立变量时间被量化了信号的幅值可以是连续数值也可以是离散数值数序列的卷积和线性卷积几种常用序列单位抽样序列也称单位冲激序列单位阶跃序列矩形序列其它实指数序列序列的周期性所有存在一个最小的正整数满足则称序列是周期序列周期为注意按定义模拟信号是周期信号采用后的离散信号频率为只有在抽样频率时才可由准确恢复理想抽样频谱周期延拓信号重建通过理想低通滤波器序列的运算规则离散时间信号的频域表示序列傅立叶变换定义正变换连续周期周期为逆变换性质序列的变换正变换变换的收敛域收敛区域()()ppXkDFS xn210()NjknNpnxn e10()NknpNnxn W()()ppxnIDFS Xk 2101NjknNPKXk eN 101NknPNkXk WN 其中：2/jNNWe 2、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)及性质 1）定义()()X kDFT x n()()NNDFS x nRk10()NknNnx n W，0 k N-1 ()()x nIDFT X k()()NNIDFS XkRn101()NknNkX k WN，0nN-1 应当注意，虽然 x(n)和 X(k)都是长度为 N 得有限长序列，但他们分别是由周期序列 xp(n)和 Xp(k)截取其主周期得到的，本质上是做 DFS 或 IDFS，所以不能忘记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。2）DFT 性质 3、离散傅立叶变换与 Z 变换的关系 2()()|jkNX kX e，2()()|jkNz eX kX z 4、频域抽样定理 X(z)在单位圆上的 N 点等间隔采样 X(k)的 N 点 IDFT 是原序列想 x(n)以 N 为周期的周期延拓序列的主值序列，即()()()()()NNix nx n Rnx niN Rn%频域采样定理：如果序列 x(n)的长度为 M，则只有当频域采样点数 NM，才有()()()NxnIDFT X kx n，即可以由频域采样 X（k）恢复原序列 x(n)，否则产生时域混叠现象。对有限长序列 x(n)的 Z 变换 X(z)在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为 N，或抽样间隔为 2/N，当 NM时，才可由 X(k)不失真恢复()jX e。内插公式：1101()()1NNkkNzX kX zNWz 5、循环卷积 循环卷积：1()()x nx n2()xn=1120()()()NNNmx m xnmRn 6、用圆周卷积计算有限长序列的线性卷积 对周期要求：121NNN（N1、N2分别为两个序列的长度）7、基 2 FFT 算法 1）数据要求：N=2M,M=log2N 2）计算效率（乘法运算次数：MN/2，加法计算次数：NM）（复数运算）（DFT 运算：乘法运算次数：N2，加法计算次数：N2）（复数运算）3）基 2FFT 算法分为两大类：时域抽取法和频域抽取法 4）比较 DIT 和 DIF 的区别。DIT 奇偶分组：输入倒，输出顺 蝶形运算：先乘后加（减）叶变换离散傅立叶变换快速傅立叶变换数字滤波器的设计一离散时间信号与系统的基本理论信号的频谱分析离散时间信号离散时间信号时间是离散变量的信号即独立变量时间被量化了信号的幅值可以是连续数值也可以是离散数值数序列的卷积和线性卷积几种常用序列单位抽样序列也称单位冲激序列单位阶跃序列矩形序列其它实指数序列序列的周期性所有存在一个最小的正整数满足则称序列是周期序列周期为注意按定义模拟信号是周期信号采用后的离散信号频率为只有在抽样频率时才可由准确恢复理想抽样频谱周期延拓信号重建通过理想低通滤波器序列的运算规则离散时间信号的频域表示序列傅立叶变换定义正变换连续周期周期为逆变换性质序列的变换正变换变换的收敛域收敛区域 DIF 前后分组：输入顺，输出倒 蝶形运算：先加（减）后乘 5)实序列的 FFT 8、分辨率 11spfFNNTT 一般：Fs 2fh;NFs/F;Tp1/F 用 DFT 进行频谱分析时的误差问题：混叠现象、栅栏效应、截断效应（谱间干扰、泄漏）三、数字滤波器的设计（一）数字滤波器的基本概念 1、数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。2、滤波器分类 1）经典滤波器按滤波特性分 低通滤波器 LP、高通滤波器 HP、带通滤波器 BP、带阻滤波器 BS 2）现代滤波器 维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器、线性预测滤波器 3、滤波器技术指标 通带边界频率 阻带截止频率 片段常数特性：通带波纹幅度1 阻带波纹幅度2 通带最大衰减p 阻带最大衰减s 二）IIR 滤波器的设计 1、特点 阶数少、运算次数及存储单元都较少 适合应用于要求相位特性不严格的场合。有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。是递归系统，存在稳定性问题。2、主要设计方法 先设计模拟滤波器，然后转换成数字滤波器。设计过程：*先设计模拟低通滤波器 Ha(s)：butterworth 滤波器设计法等，有封闭公式利用;*将模拟原型滤波器变换成数字滤波器,主要有冲激不变法、双线性变换法;3、模拟-数字转换法（1）冲激不变法 单阶极点情况 1()NkakkAHsss 11()1NkkkAH zp z，kkAA，ks Tkpe 冲激不变法的特点：有混叠失真 只适于带限滤波器 叶变换离散傅立叶变换快速傅立叶变换数字滤波器的设计一离散时间信号与系统的基本理论信号的频谱分析离散时间信号离散时间信号时间是离散变量的信号即独立变量时间被量化了信号的幅值可以是连续数值也可以是离散数值数序列的卷积和线性卷积几种常用序列单位抽样序列也称单位冲激序列单位阶跃序列矩形序列其它实指数序列序列的周期性所有存在一个最小的正整数满足则称序列是周期序列周期为注意按定义模拟信号是周期信号采用后的离散信号频率为只有在抽样频率时才可由准确恢复理想抽样频谱周期延拓信号重建通过理想低通滤波器序列的运算规则离散时间信号的频域表示序列傅立叶变换定义正变换连续周期周期为逆变换性质序列的变换正变换变换的收敛域收敛区域不适合高通或带阻数字滤波器的设计（2）双线性变换法 112 11zsTz 特点：（i）稳定性不变 （ii）无混叠（iii）频率非线性变换，会产生畸变，设计时，频率要做预畸变处理 三）FIR 滤波器的设计 1、特点：可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的、阶数较高 2、线性相位 FIR 数字滤波器 对于长度为 N 的 h(n)，频率响应函数为 10()()Njj nnH eh n e ()()()jjgH eHe 式中()gH称为相频特性；称为相位特性。1）线性相位 FIR 数字滤波器时域约束条件 h(n)实序列 *第一类线性相位对 h(n)的约束条件，要求和()h n满足：()()(1)h nh Nn N1201nN *第二类线性相位对 h(n)的约束条件，要求和()h n满足：()2()(1)h nh Nn N1201nN 2）线性相位 FIR 数字滤波器幅度特性()gH的特点：实质上，幅度特性的特点就是线性相位 FIR 滤波器的频域约束条件。（1）h(n)=h(N-n-1),N 为奇数，幅度特性关于=0、2 偶对称；可以实现各种滤波器；（2）h(n)=h(N-n-1),N 为偶数，幅度特性关于=0、2 偶对称，关于=奇对称；不能实现高通和带阻滤波器;（3）h(n)=-h(N-n-1),N为奇数，幅度特性关于=0、2 奇对称；只能实现带通滤波器；（4）h(n)=-h(N-n-1),N为偶数，幅度特性关于=0、2 奇对称，关于=偶对称；不能实现低通和带阻滤波器；3）零分布特点：10()()NnnH zh n z将()(1)h nh Nn 代入上式，得到(1)1()()NH zzH z 线性相位 FIR 滤波器零点必定是互为倒数的共轭对 3、主要设计方法 1）窗函数法 对 FIR 滤波器的影响：调整窗口长度 N 只能有效的控制过渡带的宽度，并不能减少带内波动以及增大阻带衰减。设计步骤：（1）根据对阻带衰减以及过渡带的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度 N；（2）构造希望逼近的频率响应函数()jdHe，即(1)/2()()jjNddgHeHe 叶变换离散傅立叶变换快速傅立叶变换数字滤波器的设计一离散时间信号与系统的基本理论信号的频谱分析离散时间信号离散时间信号时间是离散变量的信号即独立变量时间被量化了信号的幅值可以是连续数值也可以是离散数值数序列的卷积和线性卷积几种常用序列单位抽样序列也称单位冲激序列单位阶跃序列矩形序列其它实指数序列序列的周期性所有存在一个最小的正整数满足则称序列是周期序列周期为注意按定义模拟信号是周期信号采用后的离散信号频率为只有在抽样频率时才可由准确恢复理想抽样频谱周期延拓信号重建通过理想低通滤波器序列的运算规则离散时间信号的频域表示序列傅立叶变换定义正变换连续周期周期为逆变换性质序列的变换正变换变换的收敛域收敛区域 （3）计算()dhn：如果给出待求滤波器的频响函数为()jwdHe，那么在单位脉冲响应作用下：1()()2jddh nHed；（4）加窗得到设计结果：()()().dh nh n w n 2）频率抽样设计 频率抽样内插公式设计。特点：频率特性可直接控制。若滤波器是窄带的，则能够简化系统 若无过渡带样本，则起伏较大。改进办法是增加过渡带样本，采用过渡带的自由变量法，通常使用优化方法求解。可得到较好的起伏特性，但是会导致过渡带宽度加大，改进办法是增加抽样点数。四）几种特殊的滤波器（概念）全通滤波器、梳状滤波器、最小相位系统 五）滤波器的网络结构（一）滤波器的网络结构分类*有限长单位脉冲响应网络，简称 FIR，其中一般不存在输出对输入的反馈支路，单位脉冲响应是有限长的，差分方程：0()()Miiy nb x ni其单位脉冲响应是有限长的，h(n)表示为0n0()nbn Mh n其他*无限长单位脉冲响应网络，简称 IIR，存在输入对输出的反馈支路，单位脉冲响应是无限长的，差分方程：10()()NMiiiia y nib x ni （二）IIR 系统的基本网络结构 IIR 系统分类（1）直接型 对应的系统函数为：00()1MiiiMiiib zH za z 特点：便于理解，累积误差大，运算速度相对慢。（2）级联型 对应的系统函数为：1111(1)()(1)MrrNrrc zH zAd z 相当于12()()()()KH zHzHzHz K 特点：级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。相对直接型结构，其优点是调整方便，此外，运算累积误差较直接型小。（3）并联型 叶变换离散傅立叶变换快速傅立叶变换数字滤波器的设计一离散时间信号与系统的基本理论信号的频谱分析离散时间信号离散时间信号时间是离散变量的信号即独立变量时间被量化了信号的幅值可以是连续数值也可以是离散数值数序列的卷积和线性卷积几种常用序列单位抽样序列也称单位冲激序列单位阶跃序列矩形序列其它实指数序列序列的周期性所有存在一个最小的正整数满足则称序列是周期序列周期为注意按定义模拟信号是周期信号采用后的离散信号频率为只有在抽样频率时才可由准确恢复理想抽样频谱周期延拓信号重建通过理想低通滤波器序列的运算规则离散时间信号的频域表示序列傅立叶变换定义正变换连续周期周期为逆变换性质序列的变换正变换变换的收敛域收敛区域对应的系统函数为：12()()().()kH zHzHzHz 特点：每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。运算误差不积累。运算速度最高。（三）FIR 系统基本网络结构 FIR 系统分类：(1)直接型 10()()NnnH zh n z 特点：直观明了，便于理解，但不便于调整参数。(2)级联型 将 H(z)因式分解得到 特点：每一个一阶因子控制一个零点，每一个二阶因子控制一对共轭极点，调整零点位置比直接型方便，但 H(z)中的系数比直接型多（近似 3/2N），因而需要的乘法器多。（3）线性相位结构型（4）频域采样结构型 叶变换离散傅立叶变换快速傅立叶变换数字滤波器的设计一离散时间信号与系统的基本理论信号的频谱分析离散时间信号离散时间信号时间是离散变量的信号即独立变量时间被量化了信号的幅值可以是连续数值也可以是离散数值数序列的卷积和线性卷积几种常用序列单位抽样序列也称单位冲激序列单位阶跃序列矩形序列其它实指数序列序列的周期性所有存在一个最小的正整数满足则称序列是周期序列周期为注意按定义模拟信号是周期信号采用后的离散信号频率为只有在抽样频率时才可由准确恢复理想抽样频谱周期延拓信号重建通过理想低通滤波器序列的运算规则离散时间信号的频域表示序列傅立叶变换定义正变换连续周期周期为逆变换性质序列的变换正变换变换的收敛域收敛区域