2015浙江省衢州市中考数学真题及答案.docx

2015浙江省衢州市中考数学真题及答案一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)1.-3的相反数是()A.3B.-3C.D.-解析：-3的相反数是3.答案：A2.一个几何体零件如图所示，则它的俯视图是()A.B.C.D.解析：这个几何体零件的俯视图是一个正中间有一个小正方形的矩形，所以它的俯视图是选项C中的图形.答案：C3. 下列运算正确的是()A.a3+a3=2a6B.(x2)3=x5C.2a6÷a3=2a2D.x3·x2=x5解析：A、应为a3+a3=2a3，故本选项错误；B、应为(x2)3=x6，故本选项错误；C、应为2a6÷a3=2a3，故本选项错误；D、x3·x2=x5正确.答案：D4.如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分BAD交BC边于点E，则CE的长等于()A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm解析：四边形ABCD是平行四边形，BC=AD=12cm，ADBC，DAE=BEA，AE平分BAD，BAE=DAE，BEA=BAE，BE=AB=8cm，CE=BC-BE=4cm.答案：C5.某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7.已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是()A.7B.6C.5D.4解析：某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7.已知这组数据的平均数是5，x=5×7-4-4-5-6-6-7=3，这一组数从小到大排列为：3，4，4，5，6，6，7，这组数据的中位数是：5.答案：C.6.下列四个函数图象中，当x0时，y随x的增大而减小的是()A.B.C.D.解析：当x0时，y随x的增大而减小的是.答案：B7.数学课上，老师让学生尺规作图画RtABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断ACB是直角的依据是()A.勾股定理B.直径所对的圆周角是直角C.勾股定理的逆定理D.90°的圆周角所对的弦是直径解析：由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断ACB是直角的依据是：直径所对的圆心角是直角.答案：B8.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于()A.6米B.6米C.3米D.3米解析：四边形ABCD为菱形，ACBD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6(米)，BAD=60°，ABD为等边三角形，BD=AB=6(米)，OD=OB=3(米)，在RtAOB中，根据勾股定理得：OA=3(米)，则AC=2OA=6米.答案：A9.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tan=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是()A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm解析：如图：根据题意可知：AFOABD，OF=12EF=30cm，CD=72cm，tan=，=，AD=×72=180cm.答案：B10.如图，已知ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的O的切线交BC于点E.若CD=5，CE=4，则O的半径是()A.3B.4C.D.解析：如图1，连接OD、BD，DEBC，CD=5，CE=4，DE=3，AB是O的直径，ADB=90°，SBCD=BD·CD÷2=BC·DE÷2，5BD=3BC，BD=BC，BD2+CD2=BC2，(BC)2+52=BC2，解得BC=，AB=BC，AB=，O的半径是；÷2=.答案：D.二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)11.从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动，则小明被选中的概率是 .解析：从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动，小明被选中的概率是：.答案：12.如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于 米.解析：EFAC，BCAC，EFBC，E是AB的中点，F为AC的中点，BC=2EF，EF=0.6米，BC=1.2米，答案：1.213.写出一个解集为x1的一元一次不等式 .解析：移项，得x-10(答案不唯一).答案：x-10.14.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于 m.解析：如图：AB=1.2m，OEAB，OA=1m，AE=0.8m，水管水面上升了0.2m，AF=0.8-0.2=0.6m，CF=0.8m，CD=1.6m.答案：1.615.已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，A(-2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点B的坐标是 .解析：正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，每6次翻转为一个循环组循环，2015÷6=335余5，经过2015次翻转为第336循环组的第5次翻转，点B在开始时点C的位置，A(-2，0)，AB=2，翻转前进的距离=2×2015=4030，如图，过点B作BGx于G，则BAG=60°，所以，AG=2×=1，BG=2×=，所以，OG=4030+1=4031，所以，点B的坐标为(4031，).答案：(4031，)16.如图，已知直线y=-x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=-x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=-x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是 .解析：设点P的坐标为(a，-a2+2a+5)，则点Q为(a，-a+3)，点B为(0，3)，当点P在点Q上方时，BQ=a，PQ=-a2+2a+5-(-a+3)=-a2+a+2，PQ=BQ，a=-a2+a+2，整理得：a2-3a-4=0，解得：a=-1或a=4，当点P在点Q下方时，BQ=a，PQ=-a+3-(-a2+2a+5)=a2-a-2，PQ=BQ，a=a2-a-2，整理得：a2-8a-4=0，解得：a=4+2或a=4-2.综上所述，a的值为：-1，4，4+2，4-2.答案：-1，4，4+2，4-2.三、解答题(本题有8小题，第17-19小题每小题6分，第20-21小题每小题6分，第22-23小题每小题6分，第24小题12分，共66分。请务必写出解答过程)17. -|-2|+(1-)0-4sin60°.解析：先化简二次根式，绝对值，计算0指数幂以及代入特殊角的三角函数值，再进一步计算加减即可.答案：原式=2-2+1-4×=-1.18.先化简，再求值：(x2-9)÷，其中x=-1.解析：原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值.答案：原式=(x+3)(x-3)· =x(x+3)=x2+3x，当x=-1时，原式=1-3=-2.19. 如图，已知点A(a，3)是一次函数y1=x+b图象与反比例函数y2=图象的一个交点.(1)求一次函数的解析式；(2)在y轴的右侧，当y1y2时，直接写出x的取值范围.解析：(1)将点A的坐标代入反比例函数的解析式，求得a值后代入一次函数求得b的值后即可确定一次函数的解析式；(2)y1y2时y1的图象位于y2的图象的上方，据此求解.答案：(1)将A(a，3)代入y2=得a=2，A(2，3)，将A(2，3)代入y1=x+b得b=1，y1=x+1.(2)A(2，3)，根据图象得在y轴的右侧，当y1y2时，x2.20.某校在开展读书交流活动中全体师生积极捐书.为了解所捐书籍的种类，对部分书籍进行了抽样调查，李老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图.请根据统计图回答下面问题：(1)本次抽样调查的书籍有多少本？请补全条形统计图；(2)求出图1中表示文学类书籍的扇形圆心角度数；(3)本次活动师生共捐书1200本，请估计有多少本科普类书籍？解析：(1)根据已知条件列式计算即可，如图2所示，先计算出其它类的频数，再画条形统计图即可；(2)根据已知条件列式计算即可；(3)根据已知条件列式计算即可.答案：(1)8÷20%=40(本)，其它类；40×15%=6(本)，补全条形统计图，如图所示：(2)文学类书籍的扇形圆心角度数为：360×=126°；(3)普类书籍有：×1200=360(本).21.如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处.再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处.如图2.(1)求证：EG=CH；(2)已知AF=，求AD和AB的长.解析：(1)由折叠的性质及矩形的性质可知AE=AD=EG，BC=CH，再根据四边形ABCD是矩形，可得AD=BC，等量代换即可证明EG=CH；(2)由折叠的性质可知ADE=45°，FGE=A=90°，AF=，那么DG=，利用勾股定理求出DF=2，于是可得AD=AF+DF=+2；再利用AAS证明AEFBCE，得到AF=BE，于是AB=AE+BE=+2+=2+2.答案：(1)由折叠知AE=AD=EG，BC=CH，四边形ABCD是矩形，AD=BC，EG=CH；(2)ADE=45°，FGE=A=90°，AF=，DG=，DF=2，AD=AF+DF=+2；由折叠知AEF=GEF，BEC=HEC，GEF+HEC=90°，AEF+BEC=90°，AEF+AFE=90°，BEC=AFE，在AEF与BCE中，AEFBCE(AAS)，AF=BE，AB=AE+BE=+2+=2+2.22.小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a10，a1，b1，c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a20，a2，b2，c2是常数)满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”.求函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”.小明是这样思考的：由函数y=-x2+3x-2可知，a1=-1，b1=3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”.请参考小明的方法解决下面问题：(1)写出函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”；(2)若函数y=-x2+mx-2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2015的值；(3)已知函数y=-(x+1)(x-4)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分布是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=-(x+1)(x-4)互为“旋转函数.”解析：(1)根据“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2，从而得到原函数的“旋转函数”；(2)根据“旋转函数”的定义得到m=-2n，-2+n=0，再解方程组求出m和n的值，然后根据乘方的意义计算；(3)先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1(1，0)，B1(-4，0)，C1(0，-2)，则可利用交点式求出经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=(x-1)(x+4)=x2+x-2，再把y=-(x+1)(x-4)化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断.答案：(1)a1=-1，b1=3，c1=-2，-1+a2=0，b2=3，-2+c2=0，a2=11，b2=3，c2=2，函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”为y=x2+3x+2.(2)根据题意得m=-2n，-2+n=0，解得m=-3，n=2，(m+n)2015=(-3+2)2015=-1.(3)当x=0时，y=-(x+1)(x-4)=2，则C(0，2)，当y=0时，-(x+1)(x-4)=0，解得x1=-1，x2=4，则A(-1，0)，B(4，0)，点A、B、C关于原点的对称点分布是A1，B1，C1，A1(1，0)，B1(-4，0)，C1(0，-2)，设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=a2(x-1)(x+4)，把C1(0，-2)代入得a2·(-1)·4=-2，解得a2=，经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=(x-1)(x+4)=x2+x-2，而y=-(x+1)(x-4)=-x2+x+2，a1+a2=-+=0，b1=b2=，c1+c2=2-2=0，经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=-(x+1)(x-4)互为“旋转函数.23.高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转车出租车取游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y(千米)与乘车时间t(小时)的关系如图所示.请结合图象解决下面问题：(1)高铁的平均速度是每小时多少千米？(2)当颖颖达到杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？(3)若乐乐要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？解析：(1)利用路程除以时间得出速度即可；(2)首先分别求出两函数解析式，进而求出2小时乐乐行驶的距离，进而得出距离游乐园的路程；(3)把y=216代入y=80t，得t=2.7，进而求出私家车的速度.答案：(1)v=240.答：高铁的平均速度是每小时240千米；(2)设y=kt+b，当t=1时，y=0，当t=2时，y=240，得：解得：故把t=1.5代入y=240t-240，得y=120，设y=at，当t=1.5，y=120，得a=80，y=80t，当t=2，y=160，216-160=56(千米)，乐乐距离游乐园还有56千米.(3)把y=216代入y=80t，得t=2.7，2.7-=2.4(小时)，=90(千米/时).乐乐要提前18分钟到达游乐园，私家车的速度必须达到90千米/小时.24.如图，在ABC中，AB=5，AC=9，SABC=，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF(P、Q、E、F按逆时针排序)，以CQ为边在AC上方作正方形QCGH.(1)求tanA的值；(2)设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；(3)当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点(Q点除外)落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值.解析：(1)如图1，过点B作BMAC于点M，利用面积法求得BM的长度，利用勾股定理得到AM的长度，最后由锐角三角函数的定义进行解答；(2)如图2，过点P作PNAC于点N.利用(1)中的结论和勾股定理得到PN2+NQ2=PQ2，所以由正方形的面积公式得到S关于t的二次函数，利用二次函数的顶点坐标公式和二次函数图象的性质来求其最值；(3)需要分类讨论：当点E在边HG上、点F在边HG上、点P边QH(或点E在QC上)、点F边C上时相对应的t的值.答案：(1)如图，过点B作BMAC于点M，AC=9，SABC=，AC·BM=，即×9·BM=，解得BM=3.由勾股定理，得AM=4，则tanA=；(2)存在.如图2，过点P作PNAC于点N.依题意得AP=CQ=5t.tanA=，AN=4t，PN=3t.QN=AC-AN-CQ=9-9t.根据勾股定理得到：PN2+NQ2=PQ2，S正方形PQEF=PQ2=(3t)2+(9-9t)2=90t2-162t+81(0t).在t的取值范围之内，S最小值=；(3)如图3，当点E在边HG上时，t1=；如图4，当点F在边HG上时，t2=；如图5，当点P边QH(或点E在QC上)时，t3=1；如图6，当点F边C上时，t4=.