高中：第5节 指数与对数的运算.docx

第5节 指数与对数的运算考试要求1.理解有理数指数累的含义，了解实数指数累的意义，掌握指数累的 运算性质.2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自 然对数或常用对数.知识诊断基础夯实【知识梳理】1 .根式的概念及性质n（1）概念：式子、会叫做根式,这里叫做根指数，。叫做被开方数.（2）性质：负数没有偶次方根.n。的任何次方根都是0,记作赤=。.n（6）=虱£N*,且心1）.亚=（为大于1的奇数）.，=间=1 : 5为大于1的偶数）.，4<02 .分数指数幕规定：正数的正分数指数累的意义是4=相（。>0, m,£N*,且心1）；正数的负分数指数幕的意义是。=上3>0, m, 金N*,且 心1）； 0的正分数指数塞 证等于0； 0的负分数指数幕没有意义.3 .有理指数幕的运算性质优，=心；（优）8=贮；（abY=arbr,其中。>0, Z?>0, r, s£Q.4 .对数的概念如果=N（a>0,且aWl）,那么数%叫做以。为底N的对数，记作x=TogaN,其 中。叫做对数的底数，N叫做真数.5 .对数的性质、运算性质与换底公式解析 由寸21一1 +2x有意义,（2x120,1得c 3 解得产X2.2一1三0,2所以 x2W0, 2x120, 4 所以4x+1 + 2yJ (x2) 4=yj (2x 1) 2 + 2x-2| = 2x 1| + 2|x2 2x1 +2(2X)3.2.已知 lg5=,则 1g 20=(A.4+iB.0.6+。C.2a答案c解析 Vig 5=a,D.2a4Alg 20=lg 等=lg 100-lg5 = lg 102Tg 5= 21g 10lg5 = 2a3.(2022浙江卷)已矢口2。=5, logs3=Z?,A.25C空J 9则4。-3（）B.5D.id J答案C解析 因为 2。=5, /?=log83,即23力=3,匕匕2"4"(2D 25225所以4" ' =F= ")2=3=§4 .瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度Ea变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：k=Ae其中人为反应速率常数，R为摩尔气体常量，7为热力学温度，瓦为反应活化能,4A>0）为阿伦尼乌斯常数.对于某一化学反应，若热力学温度分别为Ti和小时,Fc反应速率常数分别为h和奴此过程中R与瓦的值保持不变），经计算一款=M,ki若乃= 22,则 In 7-=（）K2aMA5B.MC.yM 答案解析Ea由题意知k=Ae=AeM,1EaEa M42=Ae 区丁=Ae )奴Ac,k AeMkzM Ae2D.2MM =e2,则实数机的值为（）B.6,M则 In 7'=ln e2=V-K2Z5.若 log23 X log36/n X log96 =A.4C.9D.12答案解析C.5D.10答案.< 1g 3 1g m 1g 6 1g 3 z1g m 1g 6 1g -1 10g23 x 10g36m x log96 g 2 X 1g 36 X 1g 9 = 1g 2 义 21g 6 X 21g 3 =薪=4log2m log2m=2, 加=4a6.若 2。=5b=10,则 2=()B.4A.2解析log210 In 5Iog510-ln2= log25,2。=5b=10,，Q=log210, b=log510,a，2=210g25 = 5.7 .某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L） 与时间，（单位：h）间的关系式为P=Poe",其中Po,攵为正常数.如果一定量的废 气在前10 h的过滤过程中污染物被消除了 20%,那么污染物减少到最初含量的 50%还需要经过多长时间？（结果四舍五入取整数，参考数据：In 2-0.693, In5 F .609)()B.21 hD.41 hA.ll hC.31 h答案B44解析 由已知得与=屋】叫 方程两边同取自然对数得In = 10鼠所以21n2-ln5 k= rz 20.022 3.-1U设污染物减少到最初含量的5。需要经过，h,a-0.022 3f方程两边同取自然对数得In =0.022 3t,解得，仁3L所以还需要经过31 10=21 h使污染物减少到最初含量的50%.8 .已知 1 1 &=，9=，其中加>0 且 mWl, >0 且W1,若 2加一=0,则 p lOgmJ的值为()A.logs2B.log23C.2D.3答案A解析因为盘=P，所以 log3，n=p,得 m=3z所以 2机一=2X3p9p=2X3p(3)2 = 0.即 3(2 3)=0.因为3W0,所以3=2,解得p=log32.1 X5X-33-15 33l=yy1=0.乙 乙10.计算：log3V27 + 1g 25 + 1g 4 + 7,O72+83 3解析 原式= 10g33Z+lg52+lg 22+2+23x：3=5+21g5+21g 2+2+23=j+2（lg 5 + lg 2） + 2 + 2+2+2 + 2=算.n.若 8=2 024, e-= l 012,贝1J x+y=答案In 2ex 2 024解析 cA = 2 024, e -' = 1012,则/7=75H=2,即 ex+>,=2,则 x+y=ln 2.12.（2023长沙模拟）若 =log23, 3b=2,则 2。+2一。9 cib=宏案 1口 31解析 2。+2a=2log23+2-10g23 = 3 +/=丹.：3b=2, AZ?=log32,/. aZ?=log23 X log32=2 *3 = L【B级能力提升】13.（2023广州测试）若 0<Vl, b>0,A.22C.2也答案A且 ah-a飞=2,B.±2也D.V6解析根据题意，由泊一。"一2,则ah+a b的值为（得（。"一Q"）2 = q2 + q-2b 2 = 4,即 2，+ q-2 = 6,则（*+鼠"）2 = q2"+-2"+2 = 6+2 = 8,所以*+晨"=2啦（负值舍去），故选A.14.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为To,则经过一定时间/分钟后的温度7满足T4=丘»（7（）£）, /?称为半衰期，其中 A是环境温度.若£=25 ,现有一杯80 的热水降至75 大约用时1分钟， 那么水温从75 降至55 ,大约还需要（参考数据：1g 370.48, 1g 50.70, lg IC 104）（）分钟分钟分钟分钟答案C 解析 由题意，Ta=25 ,由一杯80 °。的热水降至75 c大约用时1分钟,可得 7525 = （士）（80 -25）,所以50=W55-ir又水温从75 降至55 ,所以 5525=（1卜7525）,I 3斫” Lg5 lg 3-lg 5所以1-lg 11 1 1.04 55“ igy?所以水温从75 降至55 ,大约还需要5.5分钟.15.（2023关门州调研）已知若 loga/?+log/?Q=1Q"=。，则 a+2b=答案8解析 由 log,+logQ=,且 ogab-ogba=1, 所以log。/?, log/以是方程12票+1=0的两根， 乙解得 logwz=2 或 logbQ=,又 a>b>,所以 k）gwz=2, 即 a=b29又 ab=ba9从而 b2b=ba,则 a=2b,且 a=b2, 则 Z?=2, =4,所以 4+28=8.16.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波 传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉. 声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强加与参考声强祖o（/w约为10一% 单 位:W/n?）之比的常用对数称作声强的声强级，记作单位：贝尔），即L=lg需, 取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度 y（单位：分贝）与喷出的泉水高度X dm满足关系式y=2%,现知A同学大喝一声激 起的涌泉最高高度为50 dm,若A同学大喝一声的声强大约相当于10个3同学同 时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为 dm.答案45解析 设3同学的声强为机W/n?,喷出泉水高度为尤dm,则A同学的声强为10m W/m2,喷出泉水高度为50 dm,由 101g -=2x,得 lg mlg mo=O.2x,VlOlg10根mo= 2X50,1 +lg 772 lg 7710= 10,一得一l=0.2x10,解得 x=45（dm）,：.B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45 dm.对数的性质d0%N=N；logc/=0(Q>0,且 W1).对数的运算性质如果。>0且qtM, m>o9 N>0,那么 loga(MN) = logM+ logaN；M logcR=12g四二12g；logaM" = logaM( £ R).(3)换底公式：log/=m0,且 /?>0, c>0,且 cWl). lOgc。常用结论换底公式的两个重要结论(l)logaZ?=1m>0,且 aWl；b>0,且 bWl).72(2)log/>=log疝(>0,且 W1；b>0； m, R,且加WO).11【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“ J ”或“ X ”)飞(-4) 4=4.()in/77分数指数幕W可以理解为:个。相乘.()(3)10g2x2 = 210g2X()(4)若 MN>3则 loga(MN) = ogaM+ log.()答案(1)X (2)X (3)x (4)X4 4解析(1)由于U (4) 4 =0=4,故(1)错误.(2)当日vl时，不可以，故(2)错误.log4 = 210g2以|,故(3)错误.(4)当 M<0, NV0 时，虽然MN>0,但 log(MN) = logM+log，不成立，故(4)错误.2.(必修一 Pl27T5 改编)设=lg2, 2=lg3,则 logi210=()A，2a+b1B,2b+aC.2abD.2ha答案A解析 log1210 =lg 12 Ig3 + 21g2 2q+/3.（必修P110T8 改编）已知。2 +。_：=3,贝lj a + a-1；a2 + a2 =答案7 47解析由 42+-1=3,得 q+q-1+2=9,即 a+a=7,贝2+2=49,艮口2=47.4.计算：兀°+2 2 X(2；+log23logz6=i (9，i 3解析 原式=1U+log23logz2log23 = 1+X-1 =8,考点突破题型剖析考点一指数幕的运算例1 （1）（2023杭州调研）化简(漉)-(6/>0, Z?>0)的结果是( bab A-ac4c aBbD.答案解析3 1111(4)4.庐)A-a yl?b9-23(2)计算：27-+ 2564-3-1 + (2-1)°=答案161-111解析 原式=(33)一；一(-7)2+04)41 ='49+64、+1 = 16. 、J3J感悟提升1.指数幕的运算首先将根式、分数指数幕统一为分数指数幕，以便利 用法则计算，还应注意：(1)必须同底数哥相乘，指数才能相加.运算的先后顺序.2 .当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3 .运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.”“上，、谷 m 2 q(44d 3训练 1(1)计算：H Mr=m>0，b>0).(0.1) -L (a3-b3) 2答案2.4%一2解析原式=_3lOcb 2(2)已知6夫=5,则答案 解析1 31=油+1+。2=5 + 1+=-.考点二对数的运算例 2(l)log381Iog98log232%3 + ig 2+lg 小=.答案o解析 原式= log334±log32log23 3 + lg，15=4一.-3+J=0.(2)计算:(lTog63) 2 + log62log618log64一答案1解析原式=A121og63+ (log63 ) 2 + log6Q.log6 (6X3)log641210g63+ (log63) 2+1一(log63) 2log642 (1log63)210g62log66 k)g63 log62 log62 - log621.(3)已知 1g 2=4, 1g 3=b,用 a, b 表示 10gl815 =答案/?一+12b+a铲加 1 M 1g 15 Ig3 + lg5 lg3+llg2 /?a+l解析 logi815-lg 18-lg2+21g3- lg2+2ig3 -2b+a '感悟提升1.在对数运算中，先利用哥的运算把底数或真数进行变形，化成分数 指数幕的形式，使累的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则， 转化为同底对数真数的积、商、塞再运算.3/=N=b=logaN(a。，且是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运 算中应注意互化.21训练2(1)(2023豫北名校联考)已知2。=7=%，若+石=1,则上的值为()A.28B.吉C.14D.1答案A解析，：2a = 7b = k,.a=log2k, b=og7k, log2, =logz7,2 1，7+1=21°8起+1°80 = 1°8立8= 1，Z=28.故选 A.(2)计算：log535+210gl陋log5log514=2答案2解析 原式=log535log57logs 14+logl(V2)2J Vz235.a= log5-+ logl2 = log51251 =log553 1 =31 2.50X142_2（3）计算：第 3+eln 3+logl-/2Iog34-log23 =. 4答案3（23X 解析 原式+ 3 21og32-log234+3 423.考点三指数与对数运算的实际应用角度1指数运算的实际应用例3 （1）某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时h）与储藏的温度单位：）满 足的函数关系为7=沙+（匕b为常数，其中e=2.718 28），超过有效保存时间, 疫苗将不能使用.若在0 时的有效保存时间是1 080 h,在10 时的有效保存时 间是120 h,则该疫苗在15 c时的有效保存时间为（ ）A.15hB.30hC.40 hD.60 h答案C解析 由题意知 1 080=e 12O=ei°Wb=eio%b,所以非3尸捣J所以e5z=1所以,所以 ei5=ei5=_Lx 1 080=40（h）. 乙/（2020.新高考全国I卷改编）基本再生数Ro与世代间隔7是新冠感染的流行病 学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传 染所需的平均时间.在新冠感染疫情初始阶段，可以用指数模型：/（。="描述累计感染病例数/随时间，(单位：天)的变化规律，指数增长率一与R), T近似满 足Ro=l + b.有学者基于已有数据估计出Ro=3.28, T=6.据此，在新冠感染疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2-0.69)()A.1.2 天B.1.8 天C.2.5 天D.3.5 天答案B解析 由析=1 +4,Ro=3.28, 7=6,/?o-l 3.28-1T =6=0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则/(=2/(九),即e0-3&2=2©°,3叼,所以e0-38(设f )=2,即 0.38(Z2-h)=ln2,. In 2 0.69 "2f =森-述江&天)角度2对数运算的实际应用例4 (1)(2022.临汾三模)我国在防震减灾中取得了伟大成就，并从2009年起，将 每年5月12日定为全国“防灾减灾日”.尽管目前人类还无法准确预报地震，但 科学家经过研究，已经对地震有所了解，地震学家查尔斯里克林提出了关系式： lg E=4.8+l.5M,其中E为地震释放出的能量，M为地震的里氏震级.已知2008 年5月12日我国发生的汶川地震的里氏震级为8.0级,2017年8月8日我国发生 的九寨沟地震的里氏震级为7.0级，可知汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的3 (参考数据：71021.5, yjl 00031.6)()A.9.6 倍B.21.5倍C.31.6 倍D.47.4倍答案c 解析 在lg£=4.8+l.5M中，令M=8, 得 lg£=4.8+1.5X8=16.8,则 £=10168, 因此汶川地震释放的能量为10168, 令 M=7,得 lg£=4.8+l.5X7=15.3,则 E=10153,因此九寨沟地震释放的能量为1063, 所以汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的1 ()15 0133= 1。15= 102=7=41 000 心 31.6(倍).(2)(2022北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化 碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧 化碳所处的状态与7和1g尸的关系，其中7表示温度，单位是K；尸表示压强， 单位是bar.下列结论中正确的是()超临界状态UH I I I200 250 300 350 400A.当7=220, P=1 026时，二氧化碳处于液态B.当丁=270, p=128时，二氧化碳处于气态C.当7=300, P=9 987时-，二氧化碳处于超临界状态D.当T=360, P=729时，二氧化碳处于超临界状态答案D解析 对于 A,当 7=220, P= 026 时，lg P=lg1 026>lg 103 = 3,根据图象可 知，二氧化碳处于固态；对于 B,当 7=270,尸=128 时，1g 尸=lg 128(lg IO?,坨 1()3), gp lgPG(2, 3), 根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于 C,当 T=300,尸=9 987 时，lg P=lg 9 987<lg 1。4=4,且与 4 非常接近，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于 D,当 7=360, P=729 时，lg )=lg 729£(lg 102, lg IO3),即 lgP=lg 729(2,3),根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态，故选D.感悟提升解决指数、对数运算实际应用问题的步骤(1)理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系；运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求.训I练3 （1）（2023江西名校联考）法国数学家马林梅森是研究素数的数学家中成就 很高的一位，人们将“2。 1。为素数）”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅 发现51个“梅森素数”，可以估计，2671这个“梅森素数”的位数为（参考数 据：恒2-0.301）（）A.19B.20C.21D.22答案c解析 依题意，lg（267-1）1g 267 = 671g 267X0.301 = 20.167, A267-1 1020167. .2671这个“梅森素数”的位数为21位.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间天）满足的函数关系式为若采摘后10天，这种水果失去 的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的 这种水果多长时间后失去40%新鲜度（）A.25 天B.30 天C.35 天D.40 天答案B门0%=m30,1解析依题意，得20解得根=去，小=2，20% =祖%2。，20当4=40%时,40%=。办,即40%=焉小4厂10, 417解得。厂1° = 4 = （"°）2 = /°,于是得看-10=20,解得1=30（天），所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.分层精练巩固提升【A级基础巩固】 41.若代数式,2%一 1 +42-x有意义，则#4/4x+1 +（X2） 4=（）A.2B.3C.2x_1D.x_2答案B