【解题指导】已知AN与AN＋的递推关系.docx

已知诙与诙+1的递推关系例1在数列。中，。1 = 1, q+i=2q+1,求数列斯的通项公式.【思路点拨】通过引入参数实现转化：引入参数也使为+|+左=2 (即+左)，则数列斯 +储为等比数列.或通过观察递推关系式的特征，直接消去常数，转化为等比数列求通项公 式.【解析】方法一 令斯+1+攵=2 (斯+攵)，即斯+1=2。+攵.由题意知斯+1 = 2斯+1,又m + l=2, J数歹U+1是以2为首项，2为公比的等比数列.，a+l=2X2-i,即。=21.» 6Z+ I 1 , Clf 2。一 I 1 ( 2)“+1。=2 (qq-i)("22).，斯+l斯为等比数列，其中首项为42 0=241 + 141=41+1=2,公比行2.斯+1斯=2X21=2,即 2。+1一斯=2.，斯=2一 1.求数列q的通项公式.51(1 丫"已知数列中,Q1= , Q+l=+ 63【思路点拨】用待定系数法构造等比数列求解.【解析】令 Q+lZX (_L ) +i =Q 一4 X (1 ) . 2321 4 ( Yz+,则。+1 = -x 33 0由已知条件知4 = 1,得/ = 3. 3/1 y+1门 -所以 a 1- 3 x 6? - 3 x _.3乂4 -3x所以斯一3X (3)是首项为-|,公比为g的等比数列.于是4例3设数列q满足q+i=2斯+层一4+1.(1)若41 = 3,求证：存在/()=。/+加+c (a, b, c为常数)，使得数列+/() 是等比数列，并求出数列斯的通项公式；(2)若斯是一个等差数列d的前项和，求首项的值与数列儿的通项公式.【思路点拨】(1)利用待定系数法确定a, b, c的值即得证；(2)由斯求儿，结合条 件即得功.【解析】(1)设(及+1) 2-b(77 + 1) +c=2 (。+。/+加+。)，即。+i=2q +。层+ (b-2a) n+cab.Q = 1 ,4 = 1,因为 a+i=2a+24及+ 1,所以,匕一 2。= 一4,解得 =一2,c a b = l,c 0 乂 ai + 12 = 2W0,所以存在/ ()=层-2，使得数歹！J斯+/-2是首项为2,公 比为2的等比数列，所以斯+/2=2，故斯=2一层+2.(2)由(1)知斯+1+ (+1) 2 2 (+1) =2 (。+序一2).所以。+层一2=X2" 1.即。=X271 1n2-2n.当时'，6 =。一= (© I)义2 i一序+2及(0-1)义2 2 (/? 1) 2+2 (-1) = (471 1) X2" 22" + 3.所以b =q , 1,(Q1 - 1) X 2n2-2 + 3,22.因为儿为等差数列，所以Qi = l, b=2 + 3.【名师点评】第(1)问告诉我们形如ancan+A+Bn+C的递推关系式,利用待 定系数法同样可以化归为等比数列.【解题通法】构造等比数列的常见类型当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列.利用 等比数列的通项公式，求出包含斯的关系式，进而求出斯.常见的有如下类型.I/J 1(1) an+=can+d cdWO), 可化归为即+1 -= c a ， 当 幻-1 - C11 - cj1 - CW0时，数列斯一4为等比数列，从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题，也 1 -c可消去常数项：由斯+i=c斯+d, an=can-d(22),两式相减，得斯+1'斯=。C.an-an1),当时，数列斯+1斯为公比为c的等比数列.如例19中c = 2, d=l,贝1-c=1,s，-=2,则斯+1是以2为首项，2为公比的等比数列. -c( dn )an I dC)d+i(2) a+i = c斯(cdWO, cWd),可化归为斯+1-=cd - c关系式两边同除以"内化为(1)型，或两边同除以。+1,累加求通项.an -I1 一 c J(3) Q+i=CQ+d + f(cd/WO, cWl),可化归为 q(2)型.