南京师范大学数学分析2007-2018年考研真题及答案解析.pdf

南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析1/102目目录录 历年考研真题试卷历年考研真题试卷.2南京师范大学 2007 年攻读硕士学位研究生入学考试试题.2南京师范大学 2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试题.4南京师范大学 2009 年攻读硕士学位研究生入学考试试题.6南京师范大学 2010 年攻读硕士学位研究生入学考试试题.8南京师范大学 2011 年攻读硕士学位研究生入学考试试题.10南京师范大学 2012 年攻读硕士学位研究生入学考试试题.12南京师范大学 2013 年攻读硕士学位研究生入学考试试题.15南京师范大学 2014 年攻读硕士学位研究生入学考试试题.17南京师范大学 2015 年攻读硕士学位研究生入学考试试题.19南京师范大学 2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题.22南京师范大学 2017 年攻读硕士学位研究生入学考试试题.25南京师范大学 2018 年攻读硕士学位研究生入学考试试题.27 历年考研真题试卷答案解析历年考研真题试卷答案解析.29南京师范大学 2007 年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析.29南京师范大学 2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析.37南京师范大学 2009 年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析.45南京师范大学 2010 年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析.52南京师范大学 2011 年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析.59南京师范大学 2012 年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析.68南京师范大学 2013 年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析.76南京师范大学 2014 年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析.85南京师范大学 2015 年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析.93南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析2/102 历年考研真题试卷历年考研真题试卷南京师范大学南京师范大学 2007 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602 数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一一、（每小题（每小题 10 分，共分，共 30 分）分）计算下列极限1、xtdtxxx2lnlnlim；2、yxyxyx2200lim；3、设),2,1(),1(),1,0(11nxxxxnnn证明nnx收敛并求极限。二二、（20 分）分）（1）设函数f在点0 x的某领域)(0 xU内有1n阶的连续导函数。证明对任意的)(0 xUx，有)()(!)()()()(00)(000 xRxxnxfxxxfxfxfnnn，其中1000)1()()1)(!1)(nnnnxxxxxfnxR，且10；（2）求)1ln(2x)1(x的麦克劳林级数展开，并加以证明。三三、（20 分）分）设f为),0(内的连续函数，)(lim0 xfx，0)(limxfx.试证：（1）xxf1sin)(在,a)0(a内一致连续；（2）xxf1sin)(在),0(内不一致连续。四四、（15 分）分）利 用Stokes公 式 计 算dzzydyzxdxzyL)()()2(，其 中L为 平 面1zyx与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析3/102五五、（10 分）分）试研究方程)0(1anxax实根的个数。六六、（10 分）分）设函数),(vuF有连续的二阶偏导数，求证有方程0,0000zzyyzzxxF所确定的隐函数),(yxzz 满足下列两个方程：000)()(zzyzyyxzxx；222222yxzyzxz。七七、（15 分）分）证明数项级数nnnncos12111收敛。八八、（15 分）分）证明1)1()(nnxxf在)1,1(内连续。九九、（15 分）分）设f是 区 间,0上 的 连 续 函 数，含 参 量 非 正 常 积 分0)(dxxfx当ba,)(ba 时收敛，证明0)(dxxfx在ba,上关于一致收敛。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析4/102南京师范大学南京师范大学 2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602 数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一、简答题一、简答题：（每小题（每小题5 分，共分，共10分）分）判断下列命题是否正确，并简要说明理由。1、若级数1nna收敛，)(1nbn，则nnnba1也收敛。2、若非正常积分adxxf)(收敛，且adxxf)(也收敛，则0)(limxfx。二二、（每小题（每小题 10 分，共分，共 30 分分）计算下列极限：1、；2、knkknn111lim；3、。三三、（15 分）分）设0 x，证明存在)1,0(，使得xoxtxedte，且1limx。四四、（15 分）分）计算第二型曲线积分：LxxdyaxyedxyxbyeIcos)(sin，其中ba,为正的常数，L是从点)0,2(aA沿曲线22xaxy到点)0,0(O的弧。五五、（15 分）分）设函数)(xf在ba,上连续，且0)()(bfaf，又设)(xf在ba,内存在二阶导数，且0)(xf，求证在ba,上0)(xf。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析5/102六六、（20 分）分）（1）试列举证明函数)(xf在区间ba,上为凸函数的方法（至少两种）；（2）设函数)(xf在区间ba,为递增，证明：对任给bac,，函数xcdttf)(为ba,上的凸函数。七七、（15 分）分）任给1,0 x，试证数列nnxnxnxan222ln13ln212ln21ln收敛。八八、（15 分）分）将周期为2的函数)2(41)(xxxf，2,0 x（1）展开成Fourier级数；（2）通过Fourier级数的逐项积分求141nn的值。九九、（15 分）分）设),(yxf为,cba上的连续非负函数，cdyyxfxI),()(在ba,上连续，证明：cdyyxf),(在ba,上一致收敛。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析6/102南京师范大学南京师范大学 2009 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602 数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一一、（每小题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分）判断下列命题是否正确，并简要说明理由。1牛顿莱布尼兹公式可叙述为：若)(xf在区间ba,上连续，且存在原函数)(xF，则)(xf在区间ba,上可积，且baaFbFdxxf)()()(。现将条件减弱为：)(xf在区间ba,上连续，但)(xF仅在),(ba内为)(xf的原函数，则原结论仍然成立。2.设adxxf)(收敛，且)(xf在,a连续恒正，则0)(limxfx。二二、（每小题（每小题 8 分，共分，共 24 分）分）计算下列各题：1.讨论极限dxxbaxaaa)cos(lim20的存在性；2.nneennn1tan1lim1tan1；3.设badyyxyfxF)()(，其中ba，)(xf连续，求)(xF。三三、（15 分）分）设0a。我们知道，当设,，为有理数时，有设aaa。试证明：当,为无理数时，上述等式也成立。四四、（15 分）分）设0 ab。证明：存在1,1，使得baxadxxxe2cos2。五五、（15 分）分）南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析7/102设)(xfn是定义在实数集E上的函数列，)(xf在E上有定义。1.请写出)(xfn在E上不一致收敛于)(xf的正面定义；2.若)(xfn在E上 一 致 收 敛 于)(xf，0 x是E的 聚 点，且nnxxAxf)(lim0),2,1(n则nA收敛，且)(limlim)(limlim00 xfxfnxxnnnxx。六六、（15 分）分）设)(xf在区间ba,上有连续的导函数，0)(af。证明：dxxfabdxxfxfbaba2)(2)()(。七七、（20 分）分）设0,),(22yxxyyxf时当时当0,0,0,0,yxyx问：1.),(yxf在点0,0是否连续？2.),(yxf在点0,0是否可微？请证明你的结论。八八、（15 分）分）计算：xydxdyydzdxzxyzdydzS)(22，其中S为曲面224zxy上0y的部分并取正侧。九九、（15 分）分）设)(xun是ba,上的正值递减（即对固定的bax,，)()(1xuxunn，,2,1n）且收敛于零的函数列，而对每个固定的)(,xunn均是ba,上的递增函数。证明级数11)()1(nnnxu在ba,上一致收敛。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析8/102南京师范大学南京师范大学 2010 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602 数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一、计算题（一、计算题（15 分）分）（1）xxx120)1(lim；（2）3,1210nnnxxxbxax，.3,2 n证明 nx收敛并求极限。（15 分）二二、（20 分）分）（1）设)(xf，)(xg是有限开区间),(ba上的一致连续函数，求证)()(xgxf在),(ba上一致连续。（2）试举例说明：（1）中开区间若无“有限”条件，则结论不成立。三三、（10 分）分）计算dxxeeexx0。四四、（15 分）分）试用有限覆盖定理证明根的存在性定理。五五、（15 分）分）设函数)(xf在闭区间Aa,上连续，证明：)()()()(1lim0afxfdttfhtfhxah)(Axa。六六、（15 分）分）计算二重积分Dxydxdy，其中D是曲线yxyx22所围成的区域。七七、（15 分）分）证明：函数 02!nnnxy满足方程0 yyxy。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析9/102八八、（20 分）分）（1）设)(xf在,0上可微，且)()(0 xfxf，0)0(f。试证明：在,0上0)(xf。（2）证明：不存在,0上的正值函数)(xf，使得0)()(xfxf。九九、（15 分）分）设)(xf在ba,)0(ab上连续，在),(ba内可导。证明：存在),(,ba，使得2)()()(fabf十十、（10 分）分）设)(xpn是多项式序列，且在R上一致收敛于)(xP。证明：)(xP也是多项式。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析10/102南京师范大学南京师范大学 2011 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602 数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一、计算题（共一、计算题（共 5 题，每题题，每题 8 分，共计分，共计 40 分）分）（1）求第二型曲面积分Sdxdyzdzdxydydzx333，其中S是单位球1222zyx，方向取外侧。（2）设函数)(xf具有二阶连续导数，且,4)0(,0)(lim0fxxfx求xxxxf10)(1lim。（3）设),(xyxyxfw，其中f有二阶连续偏导数，求yxw2。（4）在区间)2,0(内将函数2)(xxf展开成傅里叶级数。（5）求函数231)(2xxxf的n阶导数。二二、（共（共 1 题，共计题，共计 12 分）分）设函数)(xf在区间 1,0上可导，且)0(2)1(ff，求证：存在)1,0(，使得)()()1(ff。三三、（共（共 1 题，共计题，共计 12 分）分）设函数)(xf在),(内二次可导，1)(lim0 xxfx，且0)(xf，则),(,)(xxxf。四四、（共（共 1 题，共计题，共计 12 分）分）设函数)(),(xgxf在1,0上连续且单调减少，证明：101010)()()()(dxxgdxxfdxxgxf。五五、（共（共 1 题，共计题，共计 14 分）分）南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析11/102（1）证明级数1)1ln(cosnn收敛。（2）设函数)(xf在区间)1,1(内具有直到三阶的连续导数，且,0)0(f0)(lim0 xxfx，则级数2)1(nnfn绝对收敛。六六、（共（共 1 题，共计题，共计 12 分）分）将直角坐标系下 Laplace 方程02222yuxu化为极坐标下的形式。七七、（共（共 1 题，共计题，共计 12 分）分）讨论含参量反常积分关于分别在),和),0(上的一致收敛性，其中0。八八、（共（共 1 题，共计题，共计 12 分）分）证明函数xxxf1cos)111()(在),1 上一致连续。九九、（共（共 1 题，共计题，共计 12 分）分）证明：函数121cos)(nnnxxf在)2,0(内有连续的导函数。十十、（共（共 1 题，共计题，共计 12 分）分）设)(xf在,ba上连续，且存在非负整数m，使得banmndxxfx),1,0(0)(，证明：)(xf在),(ba内至少有1m个零点。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析12/102南京师范大学南京师范大学 2012 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602 数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一一、（15 分）计算下列各题分）计算下列各题（1）xxxxx1lnlim（2）25323232352323232121limnnn二二、（15 分）分）设)(xf在有限区间ba,上可微，且满足0)()(bfaf，则存在bac,使0)(cf。三三、（15 分）分）设函数)(xf在,a上一致连续，)(xg在,a上连续，且0)()(limxgxfx，证明：)(xg在,a上一致连续。四四、（15 分）分）设数项级数1nna收敛，则（1）0limnnna（2）当数列 na单调时，0limnnna（3）当),2,1(0nan时，0limnnna对上述结论中正确的给予证明，错误的给出反例。五五、（15 分）分）南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析13/102设 函 数)(xf在,0内 递 增，对 任 何 正 数T，)(xf在T,0上 可 积，且Cdtxfxxx0)(1lim（C为常数）六六、（20 分）分）设xxxxfnnsinsinsin)(2。求证：（1）对任意自然数n，方程1)(xfn在2,6内有且仅有一个解；（2）设2,6nx是方程1)(xfn的解，证明6limnnx。七七、（15 分）分）计算积分Lyxdxyxdyyx2244；其中L为一条不经过点0,0任意正向的闭曲线。设 数 列 na的 极 限 为a，证 明nnnxaxf1)(在1,1上 有 定 义，且axfxx)()1(lim1。八八、（10 分）分）设 数 列 na的 极 限 为a，证 明nnnxaxf1)(在1,1上 有 定 义，且axfxx)()1(lim1。九九、（15 分）分）设二元函数),(yxf在正方形区域 1,01,0上连续，记1,0I。（1）试比较),(supinfyxfIxIy与),(infsupyxfIyIx的大小并证明之；（2）给出并证明使等式),(infsup),(supinfyxfyxfIyIxIxIy成立的成分条件；（你认为最好的）十十、（15 分）分）南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析14/102（1）证明dyyyxIx02)(在,2内连续；（2）利用欧拉积分计算dxxx0421；其中ssssin)1()(；10 s南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析15/102南京师范大学南京师范大学 2013 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602 数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一一、（20 分）计算下列各题分）计算下列各题（1）20sinlimxdxnn（2）二二、（15 分）分）叙述并证明一元函数的最大，最小值定理。三三、（15 分）分）判断函数xln在下列区间上的一致连续性，并说明理由。1、)1,0(；2、),1(。四四、（15 分）分）计算积分Sdxdyzyxydzdxyxdydzzx,)()2()1(222其中S为球面22223yxz的上半部并选取外侧。五五、（20 分）分）证明函数dyyxyxf021cos)(在),0 上连续，在),0(上连续可导。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析16/102六六、（15 分）分）证明下列各题。1、设正项级数1nnu发散，则0k，正项级数nnunk12)1(发散。2、证明函数项级数xnnn51sin31在),0 上收敛，但是不一致收敛。七七、（15 分）分）构造一个二元函数),(yxf，使它在原点)0,0(连续且两偏导数存在，但在原点)0,0(不可微。八八、（15 分）分）证明：设二元函数),(yxf在区域二元函数62),(22yxyxD上有定义，),0(yf在点0y处连续，且),(yxfx在区域D上有界，则),(yxf在点)0,0(连续。九九、（20 分）分）证明方程0sin33yxy在原点的附近能唯一地确定隐函数)(xfy，描绘隐函数)(xfy 在原点附近的图像。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析17/102南京师范大学南京师范大学 2014 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602 数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一一、（15 分）分）设01a，1sinnnaa(1,2,)n，求（1）limnna；（2）1limnnna。二二、（15 分）分）计算不定积分11,()()nnndxIabxaxb且n为正整数。三三、（15 分）分）若()0fa，能否断定函数f在点a的某个邻域(;)U a内单递增？若是，请简要证明，若不能，请举例说明。四四、（15 分）分）已 知 函 数()f x在 区 间(1,1)内 有 二 阶 导 数，且(0)(0)0ff，|()|()|()|fxf xfx，证明存在01，使得在(,)内()0f x。五五、（15 分）分）设()f x在0,2上连续，证明：22002lim()|sin|()nf xnx dxf x dx。六六、（15 分）分）设()f x在,a 上一致连续，且()af x dx收敛，证明lim()0 xf x。七七、（15 分）分）设f是以2为周期，且具有二阶连续可微的函数，1()sinnbf xnxdx，南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析18/1021()sinnbfxnxdx，若级数nb绝对收敛，证明：111|2|2nnnnbb。八八、（15 分）分）求积分201 cosxxyedxx。九九、（15 分）分）设,xyff在 点00(,)xy的 某 邻 域 内 存 在，且 在 点00(,)xy可 微，证 明：0000(,)(,)xyyxfxyfxy。十十、（15 分）分）求 积 分(,)(,)2(,)Sf x y zx dydzf x y zz dxdyf x y zy dzdx，其 中(,)f x y z为S上的连续函数，S为平面1xyz在第 IV 卦限部分之上侧。注：此题错误。因平面S在第 IV 卦限是无界的。考生可将其改为在第 I 卦限上侧的积分。类似题目还有如下湖北大学考题：计算积分(,)(,)2(,)Sf x y zx dydzf x y zz dxdyf x y zy dzdx，其中(,)f x y z是连续函数，S为平面1xyz在第 IV 卦限部分之上侧。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析19/102南京师范大学南京师范大学 2015 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602 数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一一、（15 分）分）设111(1,2,)12nann，证明：（1）当1时，数列na发散；（2）当2时，数列na收敛；（3）当1时，数列na收敛。二二、（15 分）分）设12,ka aa为k个正数。（1）求11112limnnnnknaaak。（2）令112()xxxxkaaaf xk，求0lim()xf x。三三、（15 分）分）已知()f x在0 x 处可导，（1）若(0)0f，求20(1 cos)ln(1)lim(1)sinxxfxxex，（2）若(0)0f，求1lim(0)nnfnf。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析20/102四四、（15 分）分）（1）证明1sinx在(0,)内不一致连续；（2）1sinx在1,)内一致连续；（3）设()f x在(0,)内可导，且()x fx在(0,)内有界，证明：()f x在(0,)内一致连续。五五、（15 分）分）计算不定积分321dxxx。六六、（15 分）分）设()f x是(,)内周期为(0)T 的连续函数，证明：（1）任给(,)a ，0()()a TTaf x dxf x dx；（2）0011lim()()xTxf t dtf t dtxT。七七、（12 分）分）设函数()f x在,a a(0)a 上连续，且对任意,0,xa a x 有()f xx，又1211()(),()(),()()nnf xf xfxf f xfxf fx，。证明：函数列()nfx在,a a上一致收敛于 0。八八、（12 分）分）讨论函数22()2222221,(,)00,0 x xyef x yxyxyxy在点(0,0)处的连续性，可微性，偏导数的存在性以及偏导数的连续性。九九、（12 分）分）求函数(,)lnln3lnf x y zxyz的最大值，其中22225xyzr（,x y z均南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析21/1020,0r），并利用所得结果证明不等式3527()5abcabc。（,a b c均0）十十、（12 分）分）证明：011 1(,)4 23cos2 2dxBx。十一十一、（12 分）分）计 算 积 分333123Sxyzdydzdzdxdxdyrrr。其 中S为 长 方 体(,)|2,2,3,3,4,4Vx y zxyz 的表面的外侧，222(1)(2)(3)rxyz。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析22/102南京师范大学南京师范大学 2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602 数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析23/102南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析24/102南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析25/102南京师范大学南京师范大学 2017 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602 数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一一、（15 分）计算下列各题分）计算下列各题1.2.3.二二、（15 分）分）设是上一个非常数的连续函数，M，m 分别是其最大值和最小值。求证：。三三、（15 分）分）（1）举例说明:有界可做函数的导函数不一定有界；（2）证明：有限开区间（a，b）内的无界可微函数的导函数必定无界。四四、（15 分）分）设，且严格单调递增。证明：。五五、（15 分）分）南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析26/102六六、（15 分）分）设 连 续 函 数 列上 一 致 收 敛 于，而内连续。证明：七七、（15 分）分）（1）f(x，y)在(0，0)处任意方向的方向导数都存在；（2）f(x，y)在(0，0)处不可微。八八、（15 分）分）设函数在上无限次可微，且上 一 致 有 界，且 存 在 正 数 列，使 得，且证明：九九、（15 分）分）计算曲面积分其中 S 为曲线，绕 z 轴旋转一周生成的旋转曲面，并取上侧。十十、（15 分）分）证明积分中非一致收敛，但在中一致收敛。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析27/102南京师范大学南京师范大学 2018 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602 数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析28/102南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析29/102 历年考研真题试卷答案解析历年考研真题试卷答案解析南京师范大学南京师范大学 2007 年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析考试科目：602 数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。一一、（每小题（每小题 10 分，共分，共 30 分）分）计算下列极限计算下列极限1、xtdtxxx2lnlnlim；【考查重点】考查求极限的方法洛必达法则。【答案解析】xtdtxxx2lnlnlim1ln1ln1lnlim2xxtdtxxxxxtdtx2ln11lim1ln1lim1xx2、yxyxyx2200lim；【考查重点】考查二元函数的极限，本题所用方法是常规方法，适用于一类型题目。【答案解析】yxyxyxyxyx22222而0lim00yxyx，故0lim2200yxyxyx。3、设、设),2,1(),1(),1,0(11nxxxxnnn证明证明nnx收敛并求极限。收敛并求极限。【考查重点】考查数列收敛的单调有界定理。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析30/102【答案解析】因为)1(1nnnxxx，所以nnnnnxxxxx111)1(111，)1(lim111lim11)1(lim1limlim1nnnnnnnnnnnxxxxnnxnnx。又因为111nnnxxx，所以nx单调递减，且10nx，所以nnxlim存在，不妨设为x，则有0)1(xxxx。所以101)1(limlimnnnnxnx。二二、（20 分）分）（1）设函数）设函数f在点在点0 x的某领域的某领域)(0 xU内有内有1n阶的连续导函数。证明对任意的阶的连续导函数。证明对任意的)(0 xUx，有，有)()(!)()()()(00)(000 xRxxnxfxxxfxfxfnnn，其中其中1000)1()()1)(!1)(nnnnxxxxxfnxR，且，且10；（2）求）求)1ln(2x)1(x的麦克劳林级数展开，并加以证明。的麦克劳林级数展开，并加以证明。【考查重点】考查泰勒定理；幂级数的麦克劳林展开式。【答案解析】（1）证明：作辅助函数)(!)()()()()()(nntxntftxtftfxftF；1)()(ntxtG所要证明的)()(!)()()()(00)(000 xRxxnxfxxxfxfxfnnn即为)(!1)()(0)1(0 xGnfxFn或者!1)()()1(00nfxGxFn南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析31/102不妨设xx 0，则)(),(tGtF在,0 xx上连续，在),(0 xx可导，且nntxntftF)(!)()()1(，0)(1()(ntxntG又因为0)()(xGxF，所以由柯西中值定理有!1)()()()()()()1(0000nfGFxGxGxFxFxGxFn其中),(),(0baxx10)(00；xxx有1000)1()()1)(!1)(nnnnxxxxxfnxR（2）nxxxxxnn216422132)1ln(我们考查)1ln(x，因为)1ln(2x只需要将)1ln(x中的x用2x代替即可。下考查)1ln()(xxfnnnxnxf)1()!1(1)(1)(从而)!1(1)0(1)(nfnn所以nxxxxxnn 132132)1ln(用比式判别法可求得级数nxxxxxnn 132132)1ln(的收敛半径为1R又因为)1(x，则收敛域为)1,1(，现在讨论在收敛区间上它的余项的极限情形。当10 x时，用拉格朗日余项公式有nnxnxnnxRnnnnnnn011)1(111)1(!1)!1(1)(1!1南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析32/102对于01x的情形，拉格朗日余项不易估计，该用柯西余项考查。则有11!1)11()1(1)1()1(!1!1)(nnnnnnnnxxxxxnnxR因为01x，故有x11，即1110 x，所以01)(1xxxRnn-则有在)1,1(上nxxxxxnn 132132)1ln(将)1ln(x中的x用2x代替即可得到在)1(xnxxxxxnn216422132)1ln(三三、（20 分）分）设设f为为),0(内的连续函数，内的连续函数，)(lim0 xfx，0)(limxfx.试证试证：（1）xxf1sin)(在在,a)0(a内一致连续；内一致连续；（2）xxf1sin)(在在),0(内不一致连续。内不一致连续。【考查重点】考查第十三章函数的一致连续与不一致连续。【答案解析】（1）因为0)(limxfx，所以对N,0，当Nx 时，有2)(cf所以对上述，对1,21Nxx时，有)()(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(2122112211xfxfxxfxxfxxfxxf所以xxf1sin)(在,1N上一致连续。易知xxf1sin)(在1,Na上一致连续，即证xxf1sin)(在,a上一致连续。（2）21210nf时，对nxnxxN1,21,021，使得南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析33/10221xx，但02211)21(0)21(1sin)(1sin)(nfnfxxfxxf所以xxf1sin)(在),0(内不一致连续。四四、（15 分）分）利 用利 用Stokes公 式 计 算公 式 计 算dzzydyzxdxzyL)()()2(，其 中，其 中L为 平 面为 平 面1zyx与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向。与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向。【考查重点】考查第二十二章斯托克斯公式。【答案解析】应用斯托克斯公式推得：23211122)21()11()11()()()2(SSLdxdydzdxdydzdxdydzdxdydzdzzydyzxdxzy五五、（10 分）分）试研究方程试研究方程)0(1anxax实根的个数。实根的个数。【考查重点】考查凸函数与极值的相关知识点。【答案解析】设函数axnxxf1)(，则axxf1)(，01)(2xxf。)(xf在),0(上为凸函数，由0)(xf知)(xf在ax1处取极大值，11ln1aaf。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析34/102（1）ea1时，01af。所以nxax1只有一个实根；（2）ea1时，01af。即0)(xf，)(xf无实根；（3）ea1时，01af。)(xf有两个实根。六六、（10 分）分）设函数设函数),(vuF有连续的二阶偏导数，求证有方程有连续的二阶偏导数，求证有方程0,0000zzyyzzxxF所确定的隐所确定的隐函数函数),(yxzz 满足下列两个方程：满足下列两个方程：000)()(zzyzyyxzxx；222222yxzyzxz。【考查重点】考查第十八章，隐函数的问题。【答案解析】记0000;zzyyvzzxxu；且0),(vuF；对0),(vuF分别对yx,求偏导，可得00yvFyuFxvFxuFvuvu下面求yzxz,由上式可得)()()()()()(000000yvyuxvxuzyyzzFzxxFzyyFzxxzzF则)()()()()()(000000yyFxxFzzFyzyyFxxFzzFxzvuvvuu将yzxz,代入000)()(zzyzyyxzxx，证得等式成立。由000)()(zzyzyyxzxx分别对yx,求偏导，化解可以得到南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析35/102222222yxzyzxz七七、（15 分）分）证明数项级数证明数项级数nnnncos12111收敛。收敛。【考查重点】考查狄利克雷判别法判定数项级数的收敛。【答案解析】nnnnnnncos1211cos121111，易知1cosnn有界。下证nnbn1211单调递减且趋于 0。01lim)1(112111211limlimnnnnnbnnnn，0)1(1211112111112111nnnnnnnnnbbnn。所以nnbb1，即nb单调递减且趋于 0，级数nnnncos12111收敛。八八、（15 分）分）证明证明1)1()(nnxxf在在)1,1(内连续。内连续。【考查重点】考查函数项级数的和函数的连续性，将开区间转化为闭区间，利用内闭一致收敛性来证。【答案解析】对)1,1(0 x在)1,0(，使得,0 x下证nnnxxf11)(在,内收敛，从而)(xf在,内连续，特别地，在0 x点也连续。由0 x得任意性知：)(xf在)1,1(内连续。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析36/102考虑级数11nnnx，令na1，考虑级数111nnnnan因为1limnnn，所以11nnn收敛，又因为nnnnx11，所以11nnnx也收敛。所以)(xf在,内连续，)(xf在0 x点连续。九九、（15 分）分）设设f是 区 间是 区 间,0上 的 连 续 函 数，含 参 量 非 正 常 积 分上 的 连 续 函 数，含 参 量 非 正 常 积 分0)(dxxfx当当ba,)(ba 时收敛，证明时收敛，证明0)(dxxfx在在ba,上关于上关于一致收敛。一致收敛。【考查重点】考查含参量非正常积分的一致收敛。【答案解析】1100)()()(dxxfxxdxxfxxdxxfxbbaa（1）对于积分1)(dxxfxxbb，由于0)(dxxfxb收敛，故对于一致收敛，而bx单调，且1bx，由阿贝尔判别法知，1)(dxxfxxbb在ba,上一致收敛。（2）对于积分10)(dxxfxxaa，由于0)(dxxfxa收敛，所以10)(dxxfxa收敛，从而对一致收敛。而对一切)1,0(x，ax单调，且1ax，由阿贝尔判别法知，10)(dxxfxxaa在ba,上一致收敛。综上，0)(dxxfx在ba,上关于一致收敛。南京师范大学数学分析南京师范大学数学分析历年历年考研考研真题及答案解析真题及答案解析37/102南京师范大学南京师范大学 2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析