第三节牛顿迭代法.docx

第三节牛顿迭代法 第一节：牛顿迭代法的基本思想和原理牛顿迭代法是一种求解非线性方程的常用方法。它的基本思想是利用泰勒级数展 开式来逐步逼近非线性方程的根<1具体而言，我们假设方程f(x)=O在某个区间 a,b上有唯一的根xO,那么可以将f(x)在xk (k为迭代次数)处做一阶泰勒展 开，得到： f (x)-f (xk)+f' (xk) (x-xk) 设这个近似解为xk+L则有: f(xk+l)f(xk)+fz (xk) (xk+l-xk)令 f(xk+l)=O,则: xk+l=xk-f(xk)/f, (xk)其中，f' (xk)表示f(x)在xk处的导数。这个迭代公式就是牛顿迭代法的基本公 式。第二节：牛顿迭代法的收敛性分析在使用牛顿迭代法时，我们希望迭代公式的形式简单、迭代速度快、迭代精度高。 因此，我们需要对牛顿迭代法的收敛性进行分析。假设f(x) eCa, b且在区间a, b上存在唯一的根x0o我们设xn为牛顿迭代公式 的第n次迭代的近似解，xO为方程f(x)=O的实根，且满足(xO)WO。则有以 下结论：(1)牛顿迭代法是局部收敛的。即，如果xn足够接近xO,则xn+1会更加接近xO。具体而言，可以证明存在一个正数r (称作收敛半径)，使得当| xn-xO| <r时，xn会收敛到xO。其中，r的取值与伊(xO)有关,通常来讲,(xO)|-L (2)牛顿迭代法的收敛速度是二次的。即，假设xn收敛到xO，则有：| xn+1-xO | K| xn-xO 2 其中，K是一个正比例常数。这个结论表明，牛顿迭代法的收敛速度非常快，并且 在足够接近xO时，每次迭代误差的平方都会缩小K倍。需要注意的是，当(x0)=0时，牛顿迭代法无法直接使用。这时，可以采用其 他方法(比如牛顿下山法)来求解。第三节：拓展应用在实际问题中，我们通常需要使用牛顿迭代法来求解非线性方程组、最优化问题 等。以下是一些牛顿迭代法在拓展应用方面的举例：(1)非线性方程组的求解假设我们有一个n元非线性方程组F(x) =0,其中F(x) = f 1 (x), f2 (x),., fn (x), x=xl, x2,., xn),我们的目标是求解方程组的解xOo这时，可以通过牛顿迭代法来逐步逼近方程组的解。具体而言，我们先选取一个 初始点xl,然后通过以下迭代公式来求解：J(xk) Axk=-F(xk) 其中，J(xk)表示F(x)在xk处的雅可比矩阵，Axk表示第k次迭代的近似解通 过迭代多次，我们最终可以得到一个满足精度要求的解xO。需要注意的是，雅可 比矩阵J(x)的计算需要f' (x)的计算，因此需要保证f(x)的可导性。(2)最优化问题的求解除了求解非线性方程组外，牛顿迭代法还可以用于求解最优化问题。具体而言，我们可以通过求解方程系J(x) Ax=-Vf(x),来求解f(x)的一个极小值。其中,J(x)表示f(x)的海森矩阵(即二阶导数矩阵)，Vf(x)表示f(x)的梯度。需 要注意的是，当海森矩阵非正定时，迭代可能会产生不可预测的结果。第四节：总结 综上所述，牛顿迭代法是一种常用的求解非线性方程、非线性方程组、最优化问 题的方法。它的收敛速度非常快，收敛半径也很大，因此常被用于实际问题的求 解。当然，在使用牛顿迭代法时，我们需要注意其收敛性、迭代公式的推导方法等 问题。止匕外，对于一些特殊情况（比如海森矩阵非正定等情况），可能需要采用其 他求解方法来保证收敛性和稳定性。