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2017年云南保山中考数学真题及答案一、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）1（3分）2的相反数是 2（3分）已知关于x的方程2x+a+5=0的解是x=1，则a的值为 3（3分）如图，在ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DEBC，=，则= 4（3分）使有意义的x的取值范围为 5（3分）如图，边长为4的正方形ABCD外切于O，切点分别为E、F、G、H则图中阴影部分的面积为 6（3分）已知点A（a，b）在双曲线y=上，若a、b都是正整数，则图象经过B（a，0）、C（0，b）两点的一次函数的解析式（也称关系式）为 二、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确答案，每小题4分，共32分）7（4分）作为世界文化遗产的长城，其总长大约为6700000m将6700000用科学记数法表示为（）A6.7×105B6.7×106C0.67×107D67×1088（4分）下面长方体的主视图（主视图也称正视图）是（）ABCD9（4分）下列计算正确的是（）A2a×3a=5aB（2a）3=6a3C6a÷2a=3aD（a3）2=a610（4分）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A五边形B六边形C七边形D八边形11（4分）sin60°的值为（）ABCD12（4分）下列说法正确的是（）A要了解某公司生产的100万只灯泡的使用寿命，可以采用抽样调查的方法B4位同学的数学期末成绩分别为100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为100C甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为0.51和0.62D某次抽奖活动中，中奖的概率为表示每抽奖50次就有一次中奖13（4分）正如我们小学学过的圆锥体积公式V=r2h（表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高）一样，许多几何量的计算都要用到祖冲之是世界上第一个把计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把计算得更精确在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹（小竹棍或小竹片）进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于9，则这个圆锥的高等于（）ABCD14（4分）如图，B、C是A上的两点，AB的垂直平分线与A交于E、F两点，与线段AC交于D点若BFC=20°，则DBC=（）A30°B29°C28°D20°三、解答题（共9个小题，满分70分）15（6分）如图，点E、C在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF求证：ABC=DEF16（6分）观察下列各个等式的规律：第一个等式：=1，第二个等式：=2，第三个等式：=3请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的17（8分）某初级中学正在展开“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行”的“创文活动”为了了解该校志愿者参与服务情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查根据调查数据绘制了如下所示不完整统计图条形统计图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者数与样本容量的比（1）请补全条形统计图；（2）若该校共有志愿者600人，则该校九年级大约有多少志愿者？18（6分）某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元（1）该商店第一次购进水果多少千克？（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和19（7分）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字6，2，7的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出所有可能出现的结果；（2）求两次取出的小球上的数字相同的概率P20（8分）如图，ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S21（8分）已知二次函数y=2x2+bx+c图象的顶点坐标为（3，8），该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点（1）不等式b+2c+80是否成立？请说明理由；（2）设S是AMO的面积，求满足S=9的所有点M的坐标22（9分）在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各个方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A、B两种型号客车作为交通工具下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号载客量租金单价A30人/辆380元/辆B20人/辆280元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数（1）设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数解析式（也称关系式），请直接写出x的取值范围；（2）若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？23（12分）已知AB是O的直径，PB是O的切线，C是O上的点，ACOP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f（1）求证：PC是O的切线；（2）设OP=AC，求CPO的正弦值；（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围参考答案一、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）1（3分）（2017云南）2的相反数是2【分析】根据相反数的定义可知【解答】解：2的相反数是2故答案为：2【点评】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数0的相反数是其本身2（3分）（2017云南）已知关于x的方程2x+a+5=0的解是x=1，则a的值为7【分析】把x=1代入方程计算即可求出a的值【解答】解：把x=1代入方程得：2+a+5=0，解得：a=7，故答案为：7【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值3（3分）（2017云南）如图，在ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DEBC，=，则=【分析】直接利用相似三角形的判定方法得出ADEABC，再利用相似三角形的周长比等于相似比进而得出答案【解答】解：DEBC，ADEABC，=故答案为：【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出相似三角形是解题关键4（3分）（2017云南）使有意义的x的取值范围为x9【分析】二次根式的被开方数是非负数，即9x0【解答】解：依题意得：9x0解得x9故答案是：x9【点评】考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义5（3分）（2017云南）如图，边长为4的正方形ABCD外切于O，切点分别为E、F、G、H则图中阴影部分的面积为2+4【分析】连接HO，延长HO交CD于点P，证四边形AHPD为矩形知HF为O的直径，同理得EG为O的直径，再证四边形BGOH、四边形OGCF、四边形OFDE、四边形OEAH均为正方形得出圆的半径及HGF为等腰直角三角形，根据阴影部分面积=SO+SHGF可得答案【解答】解：如图，连接HO，延长HO交CD于点P，正方形ABCD外切于O，A=D=AHP=90°，四边形AHPD为矩形，OPD=90°，又OFD=90°，点P于点F重合，则HF为O的直径，同理EG为O的直径，由B=OGB=OHB=90°且OH=OG知，四边形BGOH为正方形，同理四边形OGCF、四边形OFDE、四边形OEAH均为正方形，BH=BG=GC=CF=2，HGO=FGO=45°，HGF=90°，GH=GF=2则阴影部分面积=SO+SHGF=22+×2×2=2+4，故答案为：2+4【点评】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质、矩形的判定得出圆的半径是解题的关键6（3分）（2017云南）已知点A（a，b）在双曲线y=上，若a、b都是正整数，则图象经过B（a，0）、C（0，b）两点的一次函数的解析式（也称关系式）为y=5x+5或y=x+1【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ab=5，由a、b都是正整数，得到a=1，b=5或a=5，b=1再分两种情况进行讨论：当a=1，b=5；a=5，b=1，利用待定系数法即可求解【解答】解：点A（a，b）在双曲线y=上，ab=5，a、b都是正整数，a=1，b=5或a=5，b=1设经过B（a，0）、C（0，b）两点的一次函数的解析式为y=mx+n当a=1，b=5时，由题意，得，解得，y=5x+5；当a=5，b=1时，由题意，得，解得，y=x+1则所求解析式为y=5x+5或y=x+1故答案为y=5x+5或y=x+1【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式正确求出a、b的值是解题的关键二、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确答案，每小题4分，共32分）7（4分）（2017云南）作为世界文化遗产的长城，其总长大约为6700000m将6700000用科学记数法表示为（）A6.7×105B6.7×106C0.67×107D67×108【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1|a|10，n为整数，据此判断即可【解答】解：6700000=6.7×106故选：B【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1|a|10，确定a与n的值是解题的关键8（4分）（2017云南）下面长方体的主视图（主视图也称正视图）是（）ABCD【分析】根据正视图是从物体正面看到的平面图形，据此选择正确答案【解答】解：长方体的主视图（主视图也称正视图）是故选C【点评】本题主要考查了长方体的三视图，解题的关键是掌握正视图的含义，此题基础题9（4分）（2017云南）下列计算正确的是（）A2a×3a=5aB（2a）3=6a3C6a÷2a=3aD（a3）2=a6【分析】根据整式的混合运算即可求出答案【解答】解：（A）原式=6a2，故A错误；（B）原式=8a3，故B错误；（C）原式=3，故C错误；故选（D）【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型10（4分）（2017云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A五边形B六边形C七边形D八边形【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n2）180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值【解答】解：设这个多边形是n边形，则（n2）180°=900°，解得：n=7，即这个多边形为七边形故本题选C【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决11（4分）（2017云南）sin60°的值为（）ABCD【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可【解答】解：sin60°=故选B【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键12（4分）（2017云南）下列说法正确的是（）A要了解某公司生产的100万只灯泡的使用寿命，可以采用抽样调查的方法B4位同学的数学期末成绩分别为100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为100C甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为0.51和0.62D某次抽奖活动中，中奖的概率为表示每抽奖50次就有一次中奖【分析】分别根据全面调查与抽样调查的意义、中位数的定义、方差的定义及概率的意义对各选项进行逐一判断即可【解答】解：A、要了解灯泡的使用寿命破坏性极大，只能采用抽样调查的方法，故本选项正确；B、4位同学的数学期末成绩分别为100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为102.5，故本选项错误；C、甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差不能确定，故本选项错误；D、某次抽奖活动中，中奖的概率为表示每抽奖50次可能有一次中奖，故本选项错误故选A【点评】本题考查的是概率的意义，熟知全面调查与抽样调查的意义、中位数的定义、方差的定义及概率的意义是解答此题的关键13（4分）（2017云南）正如我们小学学过的圆锥体积公式V=r2h（表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高）一样，许多几何量的计算都要用到祖冲之是世界上第一个把计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把计算得更精确在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹（小竹棍或小竹片）进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于9，则这个圆锥的高等于（）ABCD【分析】设母线长为R，底面圆半径为r，根据弧长公式、扇形面积公式以及圆锥体积公式即可求出圆锥的高【解答】解：设母线长为R，底面圆半径为r，圆锥的高为h，由于圆锥的侧面展开图是个半圆侧面展开图的弧长为：=R，底面圆的周长为：2r，R=2r，R=2r，由勾股定理可知：h=r，圆锥的体积等于99=r2h，r=3，h=3故选（D）【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练运用圆锥的计算公式，本题属于基础中等题型14（4分）（2017云南）如图，B、C是A上的两点，AB的垂直平分线与A交于E、F两点，与线段AC交于D点若BFC=20°，则DBC=（）A30°B29°C28°D20°【分析】利用圆周角定理得到BAC=40°，根据线段垂直平分线的性质推知AD=BD，然后结合等腰三角形的性质来求ABD、ABC的度数，从而得到DBC【解答】解：BFC=20°，BAC=2BFC=40°，AB=AC，ABC=ACB=70°又EF是线段AB的垂直平分线，AD=BD，A=ABD=40°，DBC=ABCABD=70°40°=30°故选：A【点评】本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质注意掌握数形结合思想的应用三、解答题（共9个小题，满分70分）15（6分）（2017云南）如图，点E、C在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF求证：ABC=DEF【分析】先证明ABCDEF，然后利用全等三角形的性质即可求出ABC=DEF【解答】解：BE=CF，BE+EC=CF+EC，BC=EF，在ABC与DEF中，ABCDEF（SSS）ABC=DEF【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定，本题属于基础题型16（6分）（2017云南）观察下列各个等式的规律：第一个等式：=1，第二个等式：=2，第三个等式：=3请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的【分析】（1）根据题目中的式子的变化规律可以写出第四个等式；（2）根据题目中的式子的变化规律可以猜想出第n个等式并加以证明【解答】解：（1）由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是：；（2）第n个等式是：，证明：=n，第n个等式是：【点评】本题考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中式子的变化规律，求出相应的式子17（8分）（2017云南）某初级中学正在展开“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行”的“创文活动”为了了解该校志愿者参与服务情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查根据调查数据绘制了如下所示不完整统计图条形统计图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者数与样本容量的比（1）请补全条形统计图；（2）若该校共有志愿者600人，则该校九年级大约有多少志愿者？【分析】（1）根据百分比=计算即可解决问题，求出八年级、九年级、被抽到的志愿者人数画出条形图即可；（2）用样本估计总体的思想，即可解决问题；【解答】解：（1）由题意总人数=20÷40%=50人，八年级被抽到的志愿者：50×30%=15人九年级被抽到的志愿者：50×20%=10人，条形图如图所示：（2）该校共有志愿者600人，则该校九年级大约有600×20%=120人，答：该校九年级大约有120名志愿者【点评】本题考查条形图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是掌握基本概念，熟练应用所学知识解决问题18（6分）（2017云南）某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元（1）该商店第一次购进水果多少千克？（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和【分析】（1）首先根据题意，设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据：（+2）×第二次购进的水果的重量=2400，列出方程，求出该商店第一次购进水果多少千克即可（2）首先根据题意，设每千克水果的标价是x元，然后根据：（两次购进的水果的重量20）×x+20×0.5x两次购进水果需要的钱数+950，列出不等式，求出每千克水果的标价是多少即可【解答】解：（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，（+2）×2x=2400整理，可得：2000+4x=2400解得x=100经检验，x=100是原方程的解答：该商店第一次购进水果100千克（2）设每千克水果的标价是x元，则（100+100×220）×x+20×0.5x1000+2400+950整理，可得：290x4350解得x15每千克水果的标价至少是15元答：每千克水果的标价至少是15元【点评】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，要熟练掌握，注意建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵19（7分）（2017云南）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字6，2，7的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出所有可能出现的结果；（2）求两次取出的小球上的数字相同的概率P【分析】（1）根据题意先画出树状图，得出所有可能出现的结果数；（2）根据（1）可得共有9种情况，两次取出小球上的数字相同有3种：（6，6）、（2，2）、（7，7），再根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）根据题意画图如下：所有可能出现的结果共有9种；（2）共有9种情况，两次取出小球上的数字相同的有3种情况，两次取出小球上的数字相同的概率为=【点评】此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件树状图法适用于两步或两步以上完成的事件解题时还要注意是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比20（8分）（2017云南）如图，ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=AB=AE，DF=AC=AF，再根据AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）设EF=x，AD=y，则x+y=7，进而得到x2+2xy+y2=49，再根据RtAOE中，AO2+EO2=AE2，得到x2+y2=36，据此可得xy=，进而得到菱形AEDF的面积S【解答】解：（1）ADBC，点E、F分别是AB、AC的中点，RtABD中，DE=AB=AE，RtACD中，DF=AC=AF，又AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，AE=AF，AE=AF=DE=DF，四边形AEDF是菱形；（2）如图，菱形AEDF的周长为12，AE=3，设EF=x，AD=y，则x+y=7，x2+2xy+y2=49，ADEF于O，RtAOE中，AO2+EO2=AE2，（y）2+（x）2=32，即x2+y2=36，把代入，可得2xy=13，xy=，菱形AEDF的面积S=xy=【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质的运用，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形；菱形的面积等于对角线长乘积的一半21（8分）（2017云南）已知二次函数y=2x2+bx+c图象的顶点坐标为（3，8），该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点（1）不等式b+2c+80是否成立？请说明理由；（2）设S是AMO的面积，求满足S=9的所有点M的坐标【分析】（1）由题意可知抛物线的解析式为y=2（x3）2+8，由此求出b、c即可解决问题（2）设M（m，n），由题意3|n|=9，可得n=±6，分两种情形列出方程求出m的值即可；【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标（3，8），抛物线的解析式为y=2（x3）2+8=2x2+12x10，b=12，c=10，b+2c+8=1220+8=0，不等式b+2c+80成立（2）设M（m，n），由题意3|n|=9，n=±6，当n=6时，6=2m2+12m10，解得m=2或4，当n=6时，6=2m2+12m10，解得m=3±，满足条件的点M的坐标为（2，6）或（4，6）或（3+，6）或（3，6）【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的三种形式，学会利用参数构建方程解决问题22（9分）（2017云南）在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各个方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A、B两种型号客车作为交通工具下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号载客量租金单价A30人/辆380元/辆B20人/辆280元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数（1）设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数解析式（也称关系式），请直接写出x的取值范围；（2）若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？【分析】（1）根据租车总费用=A、B两种车的费用之和，列出函数关系式即可；（2）列出不等式，求出自变量x的取值范围，利用函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）由题意：y=380x+280（62x）=100x+1736030x+20（62x）1441，x20.1，又x为整数，x的取值范围为21x62的整数（2）由题意100x+1736021940，x45.8，21x45，共有25种租车方案，x=21时，y有最小值=19460元【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题23（12分）（2017云南）已知AB是O的直径，PB是O的切线，C是O上的点，ACOP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f（1）求证：PC是O的切线；（2）设OP=AC，求CPO的正弦值；（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到A=OCA，由平行线的性质得到A=BOP，ACO=COP，等量代换得到COP=BOP，由切线的性质得到OBP=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过O作ODAC于D，根据相似三角形的性质得到CDOP=OC2，根据已知条件得到=，由三角函数的定义即可得到结论；（3）连接BC，根据勾股定理得到BC=12，当M与A重合时，得到d+f=12，当M与B重合时，得到d+f=9，于是得到结论【解答】解：（1）连接OC，OA=OC，A=OCA，ACOP，A=BOP，ACO=COP，COP=BOP，PB是O的切线，AB是O的直径，OBP=90°，在POC与POB中，COPBOP，OCP=OBP=90°，PC是O的切线；（2）过O作ODAC于D，ODC=OCP=90°，CD=AC，DCO=COP，ODCPCO，CDOP=OC2，OP=AC，AC=OP，CD=OP，OPOP=OC2=，sinCPO=；（3）连接BC，AB是O的直径，ACBC，AC=9，AB=15，BC=12，当M与A重合时，d=0，f=BC=12，d+f=12，当M与B重合时，d=9，f=0，d+f=9，d+f的取值范围是：9d+f12【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键