辽宁省六校2023-2024学年高三上学期期初考试数学试卷含答案.pdf

20232024 学年度（上）省六校高三年级期初考试数学试题20232024 学年度（上）省六校高三年级期初考试数学试题考试时间：120 分钟 满分：150 分一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21Axx，025Bxx，则ABA1522xxB2x x C52x xD12x x2.已知复数1zii，则下面关于复数 z 的命题正确的是A1122ziB复数 z 的虚部与实部互为相反数C1z D复数 z 对应的点在第一象限3.果0ab，那么下列不等式成立的是A11abB2abbC2aba D11ab 4.已知函数 3310log10 xxf xxx，若()2f a，则(1)f aA3log 10B3log 5C3log 2D15.已知函数 f x的图象如图 1 所示，则图 2 所表示的函数是A 1f xB2fxC1fxD1fx6.为纪念我国伟大数学家祖冲之在圆周率上的贡献，国际上把3.1415926称为“祖率”，某教师为了增加学生对“祖率”的印象，以“祖率”为背景设计如下练习：让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到小于3.14的不同数有（）个A.120B.240C.480D.720辽宁省六校2023-2024学年高三上学期期初考试数学试卷7.黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有 500 多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列 na时，发现其递推公式*21,Nnnnaaan就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即3124321225431223aaaaaaaaaaaaaaaa，如果该数列 na的前两项分别为121,2aa，其前n项和记为nS，若2023am，则2021SA.2m B.212mC.2mD.2m8.已知定义域为R的函数 fx，其导函数为 fx，且满足 20fxf x，且 01f，则A.2e11f B.1e2fC.21efD.11e2ff二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.月亮公转与自转的周期都大约为 27 天，阴历是按月亮的月相周期安排的历法，人们根据长时间的观测，统计了月亮出来的时刻y（简称“月出时刻”，单位：h）与阴历日数x（*xN，且30 x）的有关数据如表所示，并且根据表中数据，求得y关于x的经验回归方程为0.8yxa.其中，阴历 22 日是分界线，从阴历 22 日开始月亮就要到第二天（即 23 日 0：00）才出来.则（）A10 x，14.4y B6.8a C预报月出时刻为16h的那天是阴历 13 日D预报阴历 27 日的月出时间为阴历 28 日早上 4：0010.若关于 x 的不等式2330 xmxm的解集中恰有 3 个整数，则实数 m 的取值可以是A132B12C12D132x247101522y8.19.41214.418.52411.已知 f x是定义在R上的偶函数，且对任意xR，有11fxfx，当0,1x时，22f xxx，则下列结论正确的是A f x是以 4 为周期的周期函数 B202120222ff C函数 2log1yf xx有 3 个零点 D当3,4x时，2918f xxx12.设1,1ab，且1abab，那么Aa b有最小值221Ba b有最大值221Cab有最大值32 2Dab有最小值32 2三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知522axx展开式中的常数项为 80，则实数a.14.已知函数21f x 的定义域为1,2，则函数 lg2f xg xx的定义域为_.15.已知过点 P(a,1)可以作曲线 ylnx 的两条切线，则实数 a 的取值范围是_16.已知集合*21,Ax xnnN，*2,nBx xnN，将AB中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列 na，设数列 na的前n项和为nS，则使得1000nS 成立的最小的n的值为_.四、解答题四、解答题:本题共本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若数列1na是等差数列，则称数列 na为调和数列.若实数abc、依次成调和数列，则称b是a和c的调和中项.(1)求13和1的调和中项；(2)已知调和数列 na，16a，42a，求 na的通项公式.18.飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表:(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人，再从这 10 人中随机选取 3 人访谈，记参与访谈的男性人数为 X，求 X 的分布列和数学期望；(2)依据小概率值0.01的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的 10 倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.附:22n adbcabcdacbd，其中nabcd.0.10.010.001x2.7066.63510.82819.已知函数 32Rf xxaxx a（1）若函数 fx存在两个极值点，求a的取值范围；（2）若 lnfxx xx在0,恒成立，求a的最小值.飞盘运动性别不爱好爱好合计男61622女42428合计10405020.2023 年 4 月 23 日是第 28 个“世界读书日”.为了倡导学生享受阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产权，立德中学举办了一次阅读知识竞赛.初赛中每支队伍均要参加两轮比赛，只有两轮比赛均通过的队伍才能晋级.现有甲、乙两队参赛，初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为34，乙队通过第一轮和第二轮的概率分别为35，23，且各队各轮比赛互不影响.（1）记甲、乙两队中晋级的队伍数量为 X，求 X 的分布列和数学期望；（2）经过激烈的比拼，甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军.决赛共有两道抢答题.第一题中，某支队伍若抢到并答对则加 10 分，若抢到但答错则对方加 10 分.第二题中，某支队伍若抢到并答对则加 20 分，若抢到但答错则对方加 20 分.最终得分高的队伍获胜.假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为12，且每一题答对的概率分别与初赛中通过对应轮次的概率相等.各队各题作答互不影响.已知甲队获得了冠军，计算第二题是由甲队抢到答题权的概率.21.设数列 na的前 n 项和为nS已知11a，222nnnaSnn，*Nn(1)求证：数列 na是等差数列；(2)设数列 nb的前 n 项和为nT，且21nnT，令2nnnacb，求数列 nc的前 n 项和nR22.已知函数 ln1fxxxm x，且 0fx（）求实数m的取值范围；（）设k为整数，且对任意正整数n，不等式2111(1)(1)(1)333nk恒成立，求k的最小值；（）证明：20242023202312023()()20242024e20232024 年高三上学期期初考试数学答案年高三上学期期初考试数学答案1-4 CBDA5-8 CBAB 9AD10BD 11ACD 12AD131 142,33,5 150,e 163617（1）设13和1的调和中项为b，依题意得：3、1b、1成等差数列，所以13+1=22b，解得：1=2b，故13和1的调和中项为12；5 分（2）依题意，1na是等差数列，设其公差为d，则1113269dd，所以1111121116918nnndnaa，故1821nan.10 分18（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性 16 人，女性 24 人，比例为4:6，按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人，则抽取男性 4 人，女性 6 人.随机变量X的取值为:0,1,2,3.36310C10C6P X,2614310C C11C2P X,2146310C C32,C10P X 34310C13,C30P X 随机变量X的分布列为X0123P1612310130随机变量X的数学期望1131601236210305E X .6 分（2）零假设为0H:爱好飞盘运动与性别无关联.根据列联表重的数据，经计算得到220.01506 244 161.2996.635,10 40 22 28x 根据小概率值0.01的独立性检验，没有充分证据推断0H不成立，因此可以认为0H成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联.列联表中所有数据都扩大到原来的 10 倍后，220.0150060 24040 16012.996.635,100 400 220 280 x根据小概率值0.01的独立性检验，推断0H成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.12 分19因为 32Rf xxaxx a，所以 2321fxxax因为函数 fx存在两个极值点，所以23210 xax 有两个不同的解，所以24120a，解得3a 或3a 5 分 lnfxxxx在0,恒成立，即2lnlnxxaxxaxx恒成立，令 ln xg xxx，则 maxag x因为 221 lnxxg xx，设 21 ln10h xxxh，2ln,1yx yx 在0,上都递减，所以 21 lnh xxx 在0,上递减，所以，当01x时，0h x，此时 0gx，g x在0,1上递增，当1x时，0h x，此时 0gx，g x在1,上递减，所以 max()11g xg，所以1a ，即min1a 12 分20 解：（1）设“甲队晋级”为事件M，“乙队晋级”为事件N，可得339()4416P M，322()535P N，则随机变量X的可能取值为0,1,2，可得922101116580P X；92924111116516580P X.929216540P X.所以随机变量X的分布列为X012P21804180940则期望214197701280804080E X .6 分（2）由题意，第二题得分的那队获得胜利，记事件A “甲队获得冠军”，B “第二题由甲队抢到答题权”，可得 131213|1242324P AP B P A BP B P A B，又由 133()(|)()248P ABP ABP BP B P A BP B，故 3|98|131324P ABP B P A BP B AP AP A.12 分21、1）222nnnaSnn，当2n 时，21121211nnnaSnn，得：2211221211nnnnnanaSSnnnn,即1212121nnnanan，所以11nnaa，2n 且*Nn，所以 na是以 1 为公差的等差数列5 分（2）由（1）得，nan当1n 时，111bT；当2n 时，112nnnnbTT；又11b 满足上式，所以1*2Nnnbn所以212nnnc，记数列 nc的前 n 项和为nR222201211232222nnnRL，2222123112322222nnnR L，得20121113521222222nnnnnRL，则212311113523214222222nnnnnnnRL，得222211111211 14222222nnnnnnnnR L221111214612 132222nnnnnnnn，所以2146122nnnnR12 分22（1）ln0mf xxxmx在0,上恒成立ln0mxmx在0,上恒成立设 221ln,mmxmg xxmgxxxxx 当0m 时，0gx恒成立 g x在0,上单调递增，且 10g0,1x 时，0g x 不符合题意，舍去 当0m，令 0gx，则xm，令 0gx，则0 xm g x在0,m上单调递减，在,m 上单调递增 minln10g xg mmm 设 1ln1,xh xxxh xx 0,01;0,1h xxh xx则令则 0,11+h x在上单调递增，在，上单调递减 max10,01h xhh mm即当时，1mm的取值范围是4 分（2）由（1）知，0,h x 即ln10+1xxx在，上恒成立 当且仅当时等号成立11,3nx 令则11ln 133nn121211111111111133ln 1ln 1.ln 1.1133333323213nnnn即2111(1)(1)(1),333ne ke111+1,3kzk又且的最小值为28 分（3）令2023111202311,1,2023202320232024xe 则l n即令2024111202311,1,2024202420242024xe 则l n即2024202320231202320242024e12 分