2023年浙江省高考数学试卷和答案(理科).pdf

2023年浙江省高考数学试卷和答案 理科一、选 择 题（共1 0小题,每题5分，总分值50分）1、（2023浙江）设函数f（X）=兴,%0,假设f(a)=4,那么实数2=)2、3、4、A、-4 或-2C、-2 或4(2023浙江)A、3-iC、l+3i（2023浙江）C、B、D、-4或2-2或2把复数z的共轨复数记作Z,i为虚数单位.假设z=l+i,那 么（1+z）Z=B、3+iD、3因正视图 斜视图假设某几何体的三视图如下图，那么这个几何体的直观图可以是（令U Z!B、D、（2023浙江）以下命题中错误的是（）A、如果平面a,平面仇 那么平面a内一定存在直线平行于平面B么平面a内一定不存在直线垂直于平面pC、如果平面a_L平面丫，平 面BJL平面v，a n p=l,那么l_L平面丫内所有直线都垂直于平面B5、（2023浙江）设实数x、y满足不等式组A、14B、16C、17D、196、（2023浙江）71 71A、35j39帕视图B、如果平面a不垂直于平面p,那D、如果平面aJ_平面仇 那么平面a x+2y 502%+y 7 0假设X、y为整数，那么3x+4y的最小值是()%0,y 071 1假设 O V a V,-V B V O,cos 彳+a);m cos7 T 13 B4-5)=,那么 C O S(a+2)=()B、D、史3屿9（2023浙江）假设a、b 为实数，那么0ab&的（A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件（2023浙江）椭圆v?1十 卷=1的离心率e=2那么k 的 值 为（k+8A、4 或彳 B、45 5C、4 或D、-49、（2023浙江）有 5 本不同的书，其中语文书2 本，数学书2 本，物理书1 本.假设将其随机地摆放到书架的同一层上，那么同一科目的书都不相邻的概率是（）153525451。（2023浙江）设 a,b,c 为实数，f（x）=（x+a）（x*2+bx+c）,g（x）=（ax+1）（cx2+bx+l）.记集合 S=x|f（x）14、（2023浙江）假设平面向量a,B满足|a|=l,|例4 1,且以向量a,B 为邻边的平行四边形的面积为亍那么a和 P 的夹角6 的范围是.15、（2023浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公2司面试的概率为W，得到乙、丙公司面试的概率均为P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X 为该毕业生1得到面试的公司个数.假设P （X=0）=豆，那么随机变量X 的数学期望E （X）=.16、（2023浙江）设 x,y 为实数，假设4x2+y2+xy=l,那么2x+y的最大值是.17、（2023浙江）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，那么椭圆的离心率为.三、解 答 题（共 5 小题，总分值72分）18、(2023浙江)在 ABC 中，角 A,B,C,所对的边分别为 a,b,c.sinA+sinC=psinB(p G R).且 ac=02.=0,xFR,T=x|g（x）=0,x e R.假设S,T分别为集合S,T 的元素个数，那么以下结论不可能的是（A、S=1 且T=0 B、S=1 且T=1C、S=2 且T=2 D、S=2 且T=3二、填 空 题（共 7 小题，每题4 分，总分值28分）11、（2023浙江）假设函数f（x）=x2-|x+a|为偶函数，那么实数2=.12、（2023浙江）某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的k 的值是.13、（2023浙江）假设二项式n（a0）的展开式中x 的系数为A,常数项为B,假设B=4A,那么a 的值5(I)当 P=4，b=l时，求 a,c 的值；(H)假设角B为锐角，求 p 的取值范围.11119、(2023浙江)公差不为。的等差数列 an 的首项a i为 a laW R)设数列的前n 项和为Sn，且可，石，可成等比数列.(I)求数列 an 的通项公式及Sn；J_ J_ 工 J_ J_ 1(口)记 人产曰+歹同+.+果,Bn=i+.+a2，!1,当 a22时，试比拟An与 Bn的大小.20、(2023浙江)如 图，在三棱锥p-ABC中，AB=AC,D为 BC的中点，POJ平面A BC,垂足。落在线段AD上，BC=8,PO=4,AO=3,OD=2(I)证明：AP BC;(口)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-M C-B 为直二面角？假设存在，求出AM 的长；假设不存在，请说明理由.21、(2023浙江)抛 物 线 Ci：x2=y,圆 C2：x2+(y-4)2=1的圆心为点M(I)求 点 M 到抛物线Ci的准线的距离；(口)点 P是抛物线Ci上 一 点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线Ci于 A,B两点，假设过M,P两点的直线I 垂足于A B,求直线I 的方程.22、(2023浙江设函数 f(x)=(x-a)2lnx,aGR(I)假设x=e为 y=f(x)的极值点，求实数a；(n)求实数a 的取值范围，使得对任意的x W(0,3 a,恒有f(x)e?成立.注：e 为自然对数的底数.答案一、选 择 题(共 10小题，每题5 分，总分值50分)X,x 0,假设f(a)=4,那么实数2=()A、-4 或-2 B、-4 或 2C、-2 或 4 D、-2 或 2考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。专题：计算题。分析：分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分 a 0 两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于a 的方程，解方程即可求出满足条件的a 值.解答：解：当 avo时假设f(a)=4,那 么-a=4,解得a=-4当 a0 时假设f(a)=4,那么a2=4,解得a=2或 a=-2(舍去)故实数a=-4 或 a=2应 选 B点评：此题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者.2、(2023浙江)把 复 数 z 的共轨复数记作,，i 为虚数单位.假设z=l+i,那 么(l+z)区()A、3-i B、3+iC、l+3i D 3考点：复数代数形式的混合运算。专题：计算题。分析：求出,，然后代入(1+z)万，利用复数的运算法那么展开化简为：a+bi(a,bW R)的形式，即可得到答案.解答：解：复数 z=l+i,i 为虚数单位，Z=l-i,那 么(1+z)Z=(2+i)(1-i)=3-i应 选 A.点评：此题考查复数代数形式的混合运算，共轨复数，考查计算能力，是根底题，常考题型.因B正视图 的视图3、(2023浙江)假设某几何体的三视图如下图，那么这个几何体的直观图可以是()柏 视 图考点：由三视图复原实物图。分析：根据中的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案.解答：解：由中三视图的上局部有两个矩形，一个三角形故该几何体上局部是一个三棱柱下局部是三个矩形故该几何体下局部是一个四棱柱应 选D点评：此题考查的知识点是由三视图复原实物图，如果三视图均为三角形，那么该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，那么该几何体为N棱 锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，那么该几何体为N棱 柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，那么该几何体为N棱 柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，那么几何体为圆锥.如果三视图中有两个矩形和一个圆，那么几何体为圆柱.如果三视图中有两个梯形和一个圆，那么几何体为圆台.4、（2023浙江）以下命题中错误的是（）A、如果平面a_L平面B，那么平面a内一定存在直线平行于平面。B、如果平面a不垂直于平面巴 那么平面a内一定不存在直线垂直于平面pC、如果平面aJL平面Y，平 面BJL平面Y，a n p=l,那么l_L平面v D、如果平面aJ 平 面 那 么 平 面a内所有直线都垂直于平面0考点：平面与平面垂直的性质。专题：常规题型。分析：此题考查的是平面与平面垂直的性质问题.在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可.解答：解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假假设平面a内存在直线垂直于平面。，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直.故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在a、B内作异于I的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与I平行，又；两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的.故此命题错误.应 选D.点评：此题考查的是平面与平面垂直的性质问题.在解答的过程当中充分表达了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用.值得同学们体会和反思.,x+2y 505、（2023浙江）设实数x、y满足不等式组 乂,?，假设x、y为整数，那么3x+4y的最小值是（）%0,y 0A、14 B、16C、17 D、19考点：简单线性规划。专题：计算题。分析：此题考察的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 x+2y 50；药 学 处 的 平 面 区 域，然后分析平面区域里各个整点，然后将其代入3 x+4 y中，求 出 3 x+4 y的最小值.,x+2y 50解答：解：依题意作出可行性区域 y _ 7?如图，目标函数z=3 x+4 y在 点（4,1）处取到最小值z=1 6.x 0,y 0应 选 B.点评：在解决线性规划的小题时，常用 角点法，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的 坐 标 将 坐 标 逐 一 代 入 目 标 函 数 验 证，求出最优解.T C n 71171s B P6、（2 0 2 3 浙江）假设 OV aV g-5 V B V O,c o s（,+a）=玉 c o s（.-引 二 至，那么 co s （a+R =（）A、g B _y考点：三角函数的恒等变换及化简求值。专题：计算题。n n分析：先利用同角三角函数的根本关系分别求得s i n q+a）和 s i n QTt B-（4-全）通过余弦的两角和公式求得答案.7 T 71解答：解：；0V a2，-2 P 0.np-2np-27r-4兀4 np-27r-47T4+npz71 p 71 71(“引=co s(7+a)C O S (4-7qlna)S I九牙In.SI+np-2-9=B n Ti B点评：此题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值.关键是根据co s （a+2）=co s q+a）-1-引，巧妙利用两角和公式进行求解.1 17、（2 0 2 3 浙江 假 设 a、b为实数，那么 0 a b l 是 a ）的（）A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式。专题：计算题。1111 1分析：因为“O Va b Vl 口匕 .a )不能推出 O V a b V l ,所以 0 a b l 是，:的充分而不必要条件.解答：解：；a、b为实数，0 a b l,1 1“0 a 丁 或1 1/0 a b l,Wa .1 1a&不能推出 0 a b l ,1 1所以 0 a b l 是 a/的充分而不必要条件.应选A.点评：此题考查充分分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意根本不等式的合理运用./v2 18、(2 0 2 3 浙江)椭 圆 户 +卷=1 的离心率e=,那么k 的 值 为()5A、4 或4 B、45 5C、4或-工 D、考点：椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合。专题：计算题。分析：分椭圆的焦点在x 轴时和椭圆的焦点在y 轴时两种情况进行讨论，分别表示出椭圆的离心率求得k.解答：解：当椭圆的焦点在x 轴时，a2=k+8,b2=91c2=k -1,由 e=求得 k=4,当椭圆的焦点在y 轴 时,b2=k+8,a2=9Ik 1 5c2=l -k,-y=4，求得 k=-4应选c.点评：此题主要考查了椭圆的简单性质.此题易出现漏解.排除错误的方法是：因为l+k 与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上.故必须进行讨论.9、(2023浙江)有 5本不同的书，其中语文书2 本，数学书2 本，物理书1 本.假设将其随机地摆放到书架的同一层上，那么同一科目的书都不相邻的概率是()1 2A 5 B 53 4C 5 D 5考点：等可能事件的概率。专题：计算题。分析：此题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5 本书随机的摆到一个书架上，共有A55种结果，满足条件的事件是同一科目的书都不相邻，共有C 21A22A33种结果，得到概率.解答：解：由题意知此题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5 本书随机的摆到一个书架上，共有A55=120种结果，下分类研究同类数不相邻的排法种数假设第一本是语文书(或数学书)，第二本是数学书(或语文书)那么有4x2x2x2x1=32种可能；假设第一本是语文书(或数学书)，第二本是物理书，那么有4xlx2xlxl=8种可能：假设第一本是物理书，那么有Ix4x2xlxl=8种可能.48 2二同一科目的书都不相邻的概率P=j2o=5,应 选 B.点评：此题考查等可能事件的概率，是一个根底题，此题是浙江卷理科的一道选择题目，这种题目可以作为选择或填空出现，也可以作为一道解答题目出现.1。(2023浙江)设 a,b,c 为实数,f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx2+bx+l).记集合 S=x|f(x)=0,xGR,T=x|g(x)=0,x G R.假设S,T分别为集合S,T 的元素个数，那么以下结论不可能的是(A、S=1 且T=0 B、S=1 且T=1C、S=2 且T=2 D、S=2 且任=3考点：集合的包含关系判断及应用。专题：计算题。分析：通过给a,b,c赋特值，得到A,B,C三个选项有正确的可能，故此题可以通过排除法得到答案.解答：解：f(x)=(x+a)(x2+bx+c),当 f(x)=0 时至少有一个根 x=-ab当 b?-4c=0时，f(x)=0还有一根=2只要bw-2a,f(x)=0就有2 个根；当 b=-2a,f(x)=0是一个根当 b2-4c0时，f(x)=0只有二个根或三个根当 a=b=c=0 时S=1,T=0当 a0,b=0,c0 时，S=1 且T=1当 a=c=l,b=-2 时，有S=2 且T=2应 选 D点评：此题考查解决选择题时，常通过举特例，利用排除法将一定不正确的选项排除，从而选出正确选项，排除法是解决直接求解有困难的选择题的一个好方法，合理恰当的运用，可以提高解题的速度.二、填 空 题(共 7 小题，每题4 分，总分值28分)11、(2023浙江)假设函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，那么实数a=Q.考点：偶函数。专题：计算题。分析：根据f（X）为偶函数，利用偶函数的定义，得到等式恒成立，求出a 的值.解答：解：（x）为偶函数f（-x）=f（X）恒成立即 x2-|x+a|=x2-|x-a|恒成立即|x+a|=|x-a|恒成立所以a=0故答案为：0点评：此题考查偶函数的定义：f（x）=f（-x）对于定义域内的x 恒成立.12、（2023浙江）某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的k 的值是3考点：程序框图。专题：图表型。分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出k 值.模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果.解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈k=3a=43b=34第二圈k=4a=44b=44第三圈k=5a=45b=54此时a b,退出循环，k 值为5故答案为：5.点评：对于流程图处理方法是：分 析 流 程 图（或伪代码），从 流 程 图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比拟多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模.13、（2023 浙江）假设二项式（x-）n（a 0）的展开式中x 的系数为A,常数项为B,假 设 B=4A,那么a 的值是2.考点：二项式系数的性质。专题：计算题。分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x 的指数为1,。求出A,B；列出方程求出a.3r解答：解：展开式的通项为7 +=（）rCrxn y3r/2n 2令九y =1 得 r=2n2 2n23 r 八 2n令2 =0 得丁=y2n 2n所以 B=（a）;B=4 A2n 2n 2n 2 2n 2-f 4（_ a）解 得 a=2故答案为：2点评：此题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.11 4、（2 02 3 浙江 假设平面向量a,。满足|a|=l,|3 区1,且以向量a,B为邻边的平行四边形的面积为下那 么 a和 P的夹角0 的 范 围 是 3 0,1 5 0 1 .考点：数量积表示两个向量的夹角。专题：计算题。分析：根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角.1 1解答：解：；2 l”/|s in e=.1s i n 0=2|a|r 二 1”1，力 ，1/.s in Q 2 0G O,n OF 3 0,1 5 0,n 5 7 r故答案为：3 0。,1 5 0。,或后，石,点评：此题考查两个向量的夹角，考查利用正弦定理表示三角形的面积，考查不等式的变化，是一个比拟简单的综合题目.1 5、（2 02 3 浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公2司面试的概率为W，得到乙、丙公司面试的概率均为P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生1得到面试的公司个数.假设P (X=0)=戛，那么随机变量X的数学期望E (X)考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。专题：计算题。5=3-分析：根据该毕业生得到面试的时机为0时的概率，做出得到乙、内公司面试的概率，根据题意得到X的可能取值,结合变量对应的事件写出概率和做出期望.解答：解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，那 么X的可能取值是0,1,2,3,P1(X=0)=五1*,3(1 P)2二12fPPP1P=2,(x=l)(X=2)2=32X111122X2+3X2X112 1=3 X 2 X 2+3 X 2 X1 4 5 21 12+311 1 4X 2 X 2=1212+31 1 5x 2 x 2二五(x=3)=1-l2 j2.1 2=12,45EX=1 豆+2义 交+3 x5故答案为：32 512=3,点评：此题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是一个根底题目.2 1To16、(2023浙江)设x,y为实数，假 设4x2+y2+xy=l,那 么2x+y的最大值是三力,5考点：根本不等式。专题：计算题；转化思想。分析：设匕2x+y,将等式用t表示，整理成关于x的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0,求 出t的范围,求 出2x+y的最大值.解答：解：:4x?+y2+xy=l/.(2x+y)2-3xy=l令 t=2x+y 那么 y=t-2x/.t2-3(t-2x)x=l即 6x2-3tx+t2-1=0.A=9t2-24*2-1)=-15t2+24202./10 2 8解得.5 5 -2x+y的 最 大 值 是 5故 答 案 为 平5点评：此题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定.1 317、（2023浙江）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，那么椭圆的离心率为与.考点：椭圆的简单性质。专题：计算题。分析：根据题意分别表示出椭圆的焦距和准线间的距离的三分之一，建立等式求得a 和 c 的关系，那么椭圆的离心率可得.解答：解：2c=a2 2xw13c2=a2,a-3故答案为：y点评：此题主要考查了桶圆的简单性质.求桶圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a,求 c,再求比.二是列含a 和 c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可.三、解 答 题（共 5 小题，总分值72分）118、（2023浙江）在 ABC 中，角 A,B,C,所对的边分别为 a,b,c.sinA+sinC=psinB（pGR）.且 ac=02.5（I）当 P=4，b=l时，求 a,c 的值；i n）假设角B为锐角，求 p 的取值范围.考点：解三角形。专题：计算题。分析：（I）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a 和 c 的值.（H）先利用余弦定理求得a,b 和 c 的关系，把题设等式代入表示出p2,进而利用cosB的范围确定p2的范围，进而确定p d 范围.5Q+c=4解答：（I）解：由题设并利用正弦定理得 _ 1ac 45 1故可知a,c 为方程x2-甲+,二0 的两根，1 1进而求得a=l,c=,或 a=.，b=l（I I）解：由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-2ac-2accosB=p2b2-2b2cosB-2b3 1即 P2=2+2COSB,因为 OVcosBVl,3(6所以p 2 G(21 2),由题设知p 0,所 以 亲p 当 a22 时,试比拟 An 与 Bn 的大小.考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列的性质。专题：计算题；证明题。分析：(I )设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d,那么数列的通项公式和前n项的和可得.(H)利 用(I )的an和Sn，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理An与Bn，最后对a 0和a2 时，2n=Cn+Cnl+.+Cnnn+l,即 1-；771r一 手所以，当 a0 时，An Bn.点评：此题主要考查了等差数列的性质.涉及了等差数列的通项公式，求和公式以及数列的求和的方法，综合考查了根底知识的运用.20、(2023浙江)如 图，在三棱锥P-A B C中，AB=AC,D为BC的中点，POJ平面A B C,垂足。落在线段AD上，BC=8,PO=4,AO=3,OD=2(I )证明：APBC；(口)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-M C-B为直二面角？假设存在，求出A M的长；假设不存在，请说明理由.考点：直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题。分析：以。为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线0P的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标.我们易求出心，后的坐标，要证明APJLBC,即证明4 3命=；（II）要求满足条件使得二面角A-M C-B为直二面角的点M,即求平面BMC和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出A M的长.解答：解：以。为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线0P的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系,那么。0,0,0),A 0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P 0,0,4)那 么 京=(，3,4),命=(-8,0,0)由 此 可 得 心 命=0 APBC即 APBC 设PMPA 那么P M(,一 3,-4)BM=BP+PM=BP PA=-4,-2,l0,-3,JAC(-4,$BC=-8,0,0)设平面BMC的法向量）aa.b,c)那么1 T BMa-0 BC*a=04a z2+3A)b+(44A)c=08a=0令b=l,那么f=(0,ai,2 +3 24 4 4)平面APC的法向量匕=(x,y,z)APb=0那么，一 一ACb=03y 4-4z=0即14%+5y=0令x=5那么石=(5,4,-3)由T浸0ab2+3A得4-31丁=02解得X=g故 AM=3综上所述，存在点M符合题意，此时AM=3点评：此题考查的知识点是线线垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，其中建立空间坐标系，求出相关向量，然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等0是解答此题的关键.21、(2023浙江)抛 物 线Ci：x2=y,圆C2：x2+(y-4)2=1的圆心为点M(I )求 点M到抛物线C i的准线的距离；(U)点P是抛物线C i上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C i于A,B两点，假设过M,P两点的直线I垂足于A B,求直线I的方程.考点：圆与圆锥曲线的综合。专题：综合题。1分析：(I)由题意抛物线Cl：x2=y,可以知道其准线方程为y =4,有 圆C2：x2+(y-4)2=1的方程可以知道圆心坐 标 为(0,4),所求易得到所求的点到线的距离；(II)由于点P是抛物线C i上一点(异于原点)，所以可以设出点P的坐标，利用过点P作圆C2的两条切线，交抛物 线C i于A,B两点，也可以设出点A,B的坐标，再设出过P的圆C2的切线方程，利用交与抛物线C2两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有 的M P A B,得到方程进而求解.解答：解：由题意画出简图为：由于抛物线Ci：x2=y,1利用抛物线的标准方程易知其准线方程为：y=-4利用圆C2：x2+y-4)2=1的方程得起圆心M(0,4),17利用点到直线的距离公式可以得到距离为彳.(I I)设点 P(Xo Xo2),A XI，X，)，B(X2，X22；由题意得：Xo*O,X2*l,X1W X2,设过点P的圆C2的切线方程为：y-xo2=k(x-x o)即y=kx-kxo+x02|/cxn+4xn2|那么-,=1，即(xo2-1)k2+2xo(4-xo2)k+(xo2-4)2-1=0,J1+:2设PA,PB的斜率为k l，k24 1 4 2),那么k l，k2应该为上述方程的两个根,.2 X()2 (x02 4)kl+k2=第 一 七七=72(%.4).14二代入得：x2-kx+kxo-xo2=O那么x i，X2应为此方程的两个根,故 Xl=kl-XO，X2=k2-xo2 x0(X02 4)X02 4*-kAB=xi+X2=ki+k2-2xo=2%Q,=xQ2 ZD由于 M P_ L A B,IABKMP二-1=XQ 5x.1 2 3 2 3、3/1 1 5故p(土 J亏，亏).直 线/的 方 程 为：y=FT%+4-点评：此题重点考查了抛物线即圆的标准方程，还考查了相应的曲线性质即设出直线方程，利用根与系数的思想整体代换，进而解出点的坐标，理应直线与圆相切得到要求的直线方程.22、(2023浙江)设函数 f(x)=(x-a)2lnx,aGR(I )假设x=e为y=f(x)的极值点，求实数a；(口)求实数a的取值范围，使得对任意的xW(0,3a,恒有f(x)“e?成立.注：e为自然对数的底数.考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用。专题：计算题。分析：(I)利用极值点处的导数值为0,求出导函数，将x=e代入等于0,求出a,再将a的值代入检验.(II)对a分类讨论，求出f(x)的最大值，令最大值小于4 e 2,解不等式求出a的范围.解答：解：求导得 F(x)=2(x-a)ln x+/=(x-a)(2 ln x+l-),X X因为x=e是f(x)的极值点，所以 f(e)=0解得a=e或a=3e.经检验，符合题意，所以a=e,或a=3e_1(I I)当0V3a41时，对于任意的实数xW(0,3a,恒有f(x)404e2成立，即01.时即a 时，由知，x(0,1时，不等式恒成立，故下研究函数在(1,3a上的最大值,首先有f(3a)=(3a-a)21n3a=4a21n3a此值随着a的增大而增大，故应有4a2ln3a4e2 即 a2ln3aw且a21n3a*2,点评：此题考查函数的极值点的导数值为0、解不等式恒成立的参数范围常转化为求函数的最值.