2023年云南省高考数学总复习：立体几何（附答案解析）.pdf

2023年云南省高考数学总复习：立体几何1.如图，在三棱锥P-ABC中，F_L平面ABC,ZBAC=90Q,D,E,F分别是棱AB,BC,CP 的中点，AB=AC=PA=2.(1)求直线用与平面。E尸所成角的正弦值.(2)求点尸到平面OEF的距离.第 1 页 共 115页2.如图，在四棱锥S-4BCC中，底面A8CO为矩形，%)为等腰直角三角形，S A=S D=2近,A B=2,尸是8 c 的中点，二面角S-A。-B 的大小等于120.(1)在 A O 上是否存在点E,使得平面SEL平面A 8C D,若存在，求出点E 的位置;若不存在，请说明理由；(2)求直线SA与平面SBC所成角的正弦值.第 2 页 共 115页3.如图，三棱锥E-B C D中，ECO为正三角形，平面ECD_L平面BCD,BC=DC=庠BD=2,M,N分别是线段EQ和 的 中 点.(I)求点C到平面BOE的距离；(I I)求直线EN与平面MC8所成角的正弦值.第 3 页 共 115页4.如图，在三棱柱A B C-A 1 8 1。中，平面A iA C C i_L平面A B C,ZV I B C和A 1 A C都是正三角形，。是A B的中点(1)求证：B C 1 平面 A 1 D C；(2)求直线A 8与平面D C。所成角的正切值.第 4 页 共 115页5.如图，在等腰直角三角形A尸中，已知A=*,A=3,B,C 分别是AP,OP上的点,E 是。的中点，且 BCA O.现将PBC沿 8 c 折起，使得点P 在平面A8CZ）上的射影为点A.（1）若 8,C 分别是AP、OP的中点，求证：平面以CJ平面PC。.（2）请判断是否存在一种折法，使得直线P B与平面A BCD所成角的余弦值是直线PB与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 的?倍？若存在，求出AB的长：若不存在，请说明理由.第 5 页 共 115页6.在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，NBAC=90，A C=A 8=4 4 i=2,设点 M,N,P 分别是AB,BC,A Ci 的中点.(I)证明：A 4 平面PMN；(II)若。为 AAl上的动点，试判断三棱锥P-Q M N 的体积是否为定值？并说明理由.第 6 页 共 115页7.在多面体 ABCCi4Bi 中，四边形 A8B14 为菱形，BCBiCi,BC=?iCi,4 C i=4 A,ABA.BC,Z BiBA=60,平面 AB81A1 _L平面 ABC.(1)在棱AB上是否存在点O,使 得 平 面 BiOC?若存在，请给予证明；若不存在,请说明理由.(2)求二面角C-A C-B的正弦值.第 7 页 共 115页8.在四棱锥 P-ABC。中，侧面以。1底面 ABC。，P A=A D=D C=6,AC=6A/2,AB=3,CO平面 Z B4=60.(I)求证：平面PCD J平面PBC；(II)求二面角P-B C-D的余弦值.第8页 共1 1 5页9.如图，已知四棱锥S-ABC。的底面是边长为2 的正方形，且平面&4Q_L平面ABCQ,M,N 分别为棱AO,8 c 的中点，SA=S。，SA1SD,P,。为侧 棱 SC 上的三等分点(点产靠近点S).(1)求证：PN平面MQC；(2)求多面体MPQCN的体积.第 9 页 共 115页1 0.如图，四边形M A 8 C中，A B C是等腰直角三角形，ACBC,MA C是边长为2的正三角形，以A C为折痕，将 MA C向上折叠到 D 4 C的位置，使点。在平面A B C内的射影在A 8上，再将 MA C向下折叠到 E 4 C的位置，使平面E 4 C，平面A B C,形成几何体DABCE.(1)点尸在8 c上，若。F平面E 4 C,求点尸的位置；(2)求直线A B与平面E B C所成角的余弦值.第 1 0 页 共 115页1 1.如图，直三棱柱 BCF-A”E 中，。为 E”的中点，AB=BF,BFLCF,A B=B F=C F=2.(I)求证：AFLBH-,(I I)求平面4O C与平面ABC所成角的余弦值.第 1 1 页 共 115页1 2.在如图所示的几何体中，四边形A B C D 是菱形，N B A O=1 2 0 ,A E _L 平面A B C。，AE/C F.(1)求证：O F 平面A B E；(2)若 4 D=A E=2 C/=2,求该几何体的表面积.第1 2页 共1 1 5页1 3.如图，在四棱锥P-A B C D中，PAD是等边三角形，平 面 以。_L平 面A B C D,底面4 B C O 是直角梯形，A D/B C,已知 4 =2 B C=4,N B A D=60 .(1 )若E为限的中点，求证：8 E平面P C C：(I I )求二面角B-P C-D的正弦值.第 1 3 页 共 115页1 4.已知在平行四边形 A8C 中，AD=2,AB=V3,Z A D C=如图，D E/CF,且o=3,CF=4,Z D C F=J,且平面 ABCD_L平面 CDEF.(I)求证：AC_L平面 C DEF；(II)求二面角。-A E-C 的余弦值.第1 4页 共115页1 5.如图，已知四棱锥 P-A8CO 中，AD/BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=V3,ZADC=60.(1)求证：BP LCD,(2)若8P=近，求直线PC与平面出。所成角的正弦值.第 1 5 页 共 115页1 6.如图，在四棱锥尸-A BCQ 中，以。是等边三角形，平 面 以 OJL平 面 ABCD,底面A8CZ)是直角梯形，A D/B C,已知 AO=2BC=4,NBAD=60 .(I)若 E 为 以 的 中点，求证：BE平面PCD；(II)求四棱锥P-A B C D的体积.第 1 6 页 共 115页1 7.如图，在直三棱柱A B C-A iB C i中，AB=BC=A4i,A B L B C,。为 AB的中点，E 为BC上一点，满足CE=2EB.(1)求证：4 c 平面BDE；(2)求二面角B-AC-C l的余弦值.第 1 7 页 共 115页1 8.已知在平行四边形 A8C 中，AD=2,AB=V3,Z A D C=如图，D E/CF,且o=3,CF=4,Z D C F=J,且平面 ABCD_L平面 CDEF.(I)求证：AC_L平面 C DEF；(II)求四棱锥F-ABC。的体积.第1 8页 共115页1 9.如图所示，在四棱锥E-A B C Q中，四边形A B C Q是直角梯形，A 8=A E=B C=y Z)=l,B C/AD,A E _L平面 A B C。，NB AD=90,N 为 Q E 的中点.(1)求证：N C平面E A 8；(2)求二面角A-C N-。的余弦值.第1 9页 共1 1 5页2 0.如图，在多面体A 8 C Q E F中，四边形A 8 C。、四边形4 C F E均为菱形，Z B A D=Z E A C=1 2 0 .(1)求证：平面B)以L平面A C F E；(2)若B E=D E,求二面角C-B f-E的余弦值.第 2 0 页 共 115页2 1.如图所示，在三棱锥 ABC。中，AB=8C=BO=2,A=2b，NC3A=NCB)=$点E,尸分别为A。，8。的中点.(I)求证：平面ACC_L平面BCE；(II)求四面体CEF的体积.第 2 1 页 共 115页2 2.如图，在棱长为3 的正方体中，过顶点。作平面a 交 A41于 E 点，交 8小 于 F 点，使得 A iE=l,BF=.(I)求证：AC平面a；(I I)求点力到平面a 的距离.第2 2页 共1 1 5页2 3.已知A B C,AB=BC,ZCBA=60 ,沿着边C 8 把 A B C 进行翻折，使平面A B C 与平面O BC 垂直，O B C 可由 4 B C 翻折得到.回答下列问题.(I )直线AC与平面AB Q 所成角的余弦值；(I I)二面角A-B D-C的余弦值.第 2 3 页 共 115页2 4.如图，四棱锥P-A 8 C Q,底面四边形A8CQ为梯形，且满足AO=1,AB=CD=3,BC=4 且 A次7,A B C D.设平面阴。与平面P8C 的交线为/.(I)求/与平面PDC所成的角；(I I)己知P O=1,求 平 面%B 与平面PDC所成的锐二面角的余弦值.第2 4页 共1 1 5页2 5.如图，在三棱台ABC-A B C中，已知平面ABB A J_平面ABC,ACBC,ZCBA=四边形 4B8 A 是等腰梯形，AB=2A B=2 B B ,6C 的中点.(1)求证：EFLAC(2)求直线EF与平面4CC A 所成角的正弦值.E,尸分别为AB,A第 2 5 页 共 115页2 6.如图，AABC为正三角形，半圆。以线段BC为直径，O 是我上的动点(不包括点B,C),平面ABC_L平面BCD(1)是否存在点Q,使得BD L4C?若存在，求出点。的位置：若不存在，请说明理由.(2)若NC8O=30,求二面角。-A。-C 的余弦值.第2 6页 共1 1 5页2 7.如图，ZV I B C 是正三角形，D,E,尸分别是线段A B,B C,AC的中点，现将A。尸和 C E F 分别沿着。F,即 折起，使得4,C两点在尸点重合，得到四棱锥P-8 E F D(1)证明：平面平面B E F D-,(2)设正三角形A B C 的边长为4,求三棱锥F-P 8 E 的体积.第2 7页 共1 1 5页2 8.如图，在四棱锥P-A B C O 中，底面ABC。为正方形，方)为等边三角形，平面朋O_L平面PC D.(I)证明：直线C C 平面PAD i(II)若 A B=2,。为线段尸B 的中点，求三棱锥Q-P C O 的体积.第 2 8 页 共 115页2 9.如图，在四棱锥 P-A8C。中，AD/B C,AD A.AB,并且 BC=2AO=24B=2,P M=,点P在平面A B C D内的投影恰为8。的中点M.(I)证明：8P_L平面P C D；(I I)求点A 到平面PC。的距离.第 2 9 页 共 115页3 0.如图，在四棱锥尸-A 8 c o 中，已知必J_平面ABC。，且四边形ABC。为直角梯形，Z7TABC=ZBAD=2 AO=2,AB=BC=.(1)当四棱锥P-4B C Q 的体积为1 时，求异面直线AC与 PD 所成角的大小；(2)求证：CDJ_平面PAC.第 3 0 页 共 115页3 1.如图所示，在三棱锥 A-BCD 中，AB=BC=BD=2,AO=2 8，ZCBA ZCBD=点 E,F 分别为A。，8 0 的中点.(I)求证：EF平面A8C；(I I)求平面BCE与平面4CF所成锐二面角的余弦值.第 3 1 页 共 115页3 2.如图，在四棱锥 P-ABC。中，AD/BC,A D 1 A B,并且 BC=2A=2AB,点 P 在平面A B C D内的投影恰为8。的中点M.(I)证明：C_L平面 PBD-.(I I)若 PM=A。，求 直 线 勿 与 CD所成角的余弦值.第3 2页 共1 1 5页33.如图，在三棱锥P-48 C 中，以，底面A B C,A B C 是边长为2的正三角形，侧棱P B与底面所成的角为；4(1)求三棱锥P-A B C的体积V；(2)若。为 P B 的中点，求异面直线出与C。所成角的大小.第 3 3 页 共 115页3 4.如图 1,在三棱柱 ABC-431。中，已知 A8_LAC,AB=AC=1,A 4 i=2,且 44i_L 平面 ABC,过 4,Ci,B 三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）.（1）求异面直线8。与 A 4 所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求四棱锥8-A C C 14的体积和表面积.第3 4页 共1 1 5页35.如图，在矩形A 8 C O中，将 A C D沿对角线A C折起，使点O到达点E的位置，且A ELBE.(1)求证：平面A B E _L平面A B C；(2)若B C=3,三棱锥B -A E C的 体 积 为 之,求 点E到平面A 8 C的距离.第3 5页 共1 1 5页3 6.如图，在直三棱柱ABC-Ai8i。中，ABC是正三角形，点。在棱BB1上，且 3Bi=3B1D,点王为B1C1的中点.(1)证明：平面平面BCC1B1；(2)若B B i=3&,A B=2,求点C 到平面A1OE的距离.第 3 6 页 共 115页3 7.如图所示，在直三棱柱ABC-4B1C1中，底面是等腰直角三角形，Z ACB=90,CA=C8=CCi=2.点。，。分别是棱AC,4。的中点.(1)求证：D,B,8 1,。1四点共面；(2)求直线BCi与平面。8阴。|所成角的大小.第 3 7 页 共 115页38.如图，在四棱锥S-ABC。中，底面A B C D是等腰梯形,A8C,C=2A8=4,AO=V5,SCO是等腰直角三角形，SC=SD,SA=3.(I)证明：平面SCQ_L平面ABC；(II)若平面S A D与平面S C B的交线为/,求二面角C-I-D的余弦值.第 3 8 页 共 115页3 9.如图，在矩形A8CO中，将AC。沿对角线AC折起，使点。到达点E 的位置，且 AE1BE.(1)求证：平面ABE_L平面ABC；(2)若EB=由,三棱锥B-A E C 的 体 积 为 蜉，求二面角E-A C-B 的余弦值.第 3 9 页 共 115页4 0.如图，在三棱柱ABC-AiBiC i中，P,。分别是AAi,C 8上一点，且 AP=2fi4i,C Q=2QB.(1)证明：AQ平面C PB i；(2)若三棱柱ABC-4 8 1。为直三棱柱，且 441=3,BC=BA=底，A C=2/，求点B到平面CPB1的距离.第 4 0 页 共 115页4 1.如图，在四棱锥尸-ABC。中，底 面 ABCO是正方形，AB=2,P C 平面 ABC。，PB与底面A8CD所成的角为45,过 A。的平面分别与PB,P C 交于点E,F.(I)求证：E F L D C；22 PE(II)若二面角P-A-E 所成角的余弦值为二一，求77前的值3|EH|第4 1页 共1 1 5页4 2.在四棱柱A B C。-4 B 1 C 1 O 1 中，四边形A B C。是平行四边形，A A =A C=f Z A B C=30 ,B C=2,平面A 8 8 i4 _L 平面4 8 8,M,N分别为A C,AB的中点.(I )求证：M N平面48。；(I I )若 co s ZA iC B=?，求二面角C -M N -D的余弦值.d D第 4 2 页 共 115页4 3.如图所示，三棱柱 ABC-4B1。中，平面 ACCiAi 平面 ABC,AAilAC,A4i=A3=BC=2,D,Di 分别为 AC,AiCi 的中点,且NB4C=30.(I)求证：DDiLBC；(II)求二面角Bl-DA-C l的余弦值.第4 3页 共1 1 5页4 4.如图，四棱锥P-ABC。的底面为正方形，P C=P A=-PD=V5AD.E,尸分别是物,P C的中点.(I)证明：EF_L平面P C D；(II)求二面角A-C E-F的余弦值.第4 4页 共1 1 5页4 5.如图，在四棱锥P-A B C。中，等边三角形公。所在平面与梯形A B C。所在平面垂直,且 CD/AB,A D=B D 2,D C=夕8=V L 点 G 为B 4 O 的重心，A C 与 8。交于点 M.(1)求证：G M平面尸8；(2)求点C到平面尸8。的距离.第 4 5 页 共 115页4 6.如图，直三棱柱 AiBC i-ABC 中，4B=AC=1,/.BAC=J,A M=4,点 M 为线段 AM的中点.（1）求直三棱柱AiBCi-ABC的体积;（2）求异面直线8M 与 81cl所成的角的大小.（结果用反三角表示）第4 6页 共115页4 7.如图，已知直角梯形 A B C。，B C/AD,B C=C D=2,AD=4,N B C D=9 0 ,点 E 为4。的中点，现将三角形4 B E 沿 B E 折叠，得到四棱锥A；B C C E,其中N A E =1 2 0 ,点 M 为AC的中点.(1)求证：A 8 平面E M C；(2)若点N为 8c 的中点，求四面体W M NB的体积.第4 7页 共1 1 5页4 8.如图，在三棱锥P-A B C中，ZA B C为正三角形，点O,E分别为A C,以的中点，其中 PA=PB=4/2,P C=4 C=4.(1)证明：平面8 O E 1.平面A B C；V 6(2)若点F是线段A C上异于点D的一点 直线A E与平面B E F所成角的正弦值为彳,Ap求族的值.第 4 8 页 共 115页4 9.如图，在四棱锥尸-ABC。中，四边形ABC。是梯形，AB/CD,AB BC,且 用=尸。=B C=C D=1,AB=2,PC=V3.(1)证明：8 0,平面PAD；(2)求直线A。与平面尸8 c 所成角的正弦值.第 4 9 页 共 115页5 0.在四棱锥 P-A B C。中，PA=P C=2,底面 A B C。是菱形，AB=2y 3,N A B C=6 0 .(I)求证：A C L P B；(I I )求四棱锥P-A B C D的体积.第 5 0 页 共 115页2023年云南省高考数学总复习：立体几何参考答案与试题解析1.如图，在三棱锥P-A B C 中，附 _L平面ABC,/8AC=90,D,E,尸分别是棱A8,BC,CP 的中点，A3=AC=B4=2.(1)求直线朋与平面OE尸所成角的正弦值.(2)求点P 到平面DEF的距离.【解答】解：(1)以 A 为原点，AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，；AB=AC=B4=2,：.B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),D(1,0,0),E(1,1,0),F(0,1,1),：.AP=(0,0,2),DE=(0,1,0),办=(-1,1,1),设平面OE尸的法向量元=(x,y,z),则,=y=0,取 x=,得 屋(|,o,i),n DF=-x+y+z=0T T 厂设 以 与 平 面。EF所成角为0,则 sin=华？=袅=号,AP-n 2J2 z直线PA与平面Z JEP所成角的正弦值为日.(2)：PF=(0,1,-1),n=(1,0,1),T T 厂.点P 到平面DEF的距离d=塔 亚=之=华第5 1页 共115页2.如图，在四棱锥S-A B C。中，底面A B C。为矩形，S 4）为等腰直角三角形，S A S D=2近，4 8=2,尸是B C的中点，二面角S-A O-8的大小等于1 2 0 .（1）在A Q上是否存在点E,使得平面S E F L平面A B C）,若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由；（2）求直线S A与平面S B C所成角的正弦值.【解答】解：（1）在线段4。上存在点E满足题意，且E为 的 中 点.如图，连接E尸，S E,S F,:四边形A B C。是矩形，又E、F分别是A。、B C的中点，：.E F/AB,AD A.E F,.S A O为等腰直角三角形，S A=S D,E为A。的中点，：.S E r AD,:S E C E F=E,S E、E F u平面 S E凡平面 S E F,；4力 =平面A BC D,；.平面S E尸_ 1 _平面AB C D,故A D上存在中点E,使得平面S E F,平面AB C D.A(2)由(1)知，S E 1AD,E F L AD,第5 2页 共1 1 5页./5 为二面角5-4。-8 的平面角，即N5EF=120.以 E 为原点，EA.E F所在的直线分别为x、y 轴，作平面ABC。，建立如图所示的空间直角坐标系，在等腰 RtzSAO 中，SA=SD=2V2,；.4。=4,SE=2,：.S(0,-1,V3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),.二=(2,1,-V 3),SB=(2,3,-V 3),SC=(-2,3,-V 3),设平面SBC的法向量为=(尤，y,z),则，呼=tn-SC=0即(2%+3y-V3z=0(2x+3y-V3z=0令 y=l,则 x=0,z=V3,：.n=(0,1,V3),设直线SA与平面SBC所成角为6,T T S 4n 1-3 J?则 sin0=|cos n=-=j=菅，SA-n V4+1+3X2 4故直线SA与平面SBC所成角的正弦值为0.43.如图，三棱锥E-8 C C 中，ECO为正三角形，平面E C C 平面8CQ,BC=DC=-BD=2,M,N 分别是线段E和 8。的中点.(I)求点C 到平面8O E的距离；(I I)求直线EN与平面MCB所成角的正弦值.【解答】解：(I)平面E C C 平面8 C Q,且EC。为正三角形，CD=2,：.点 E 到平面BCD的距离为旧，；8C=Z)C=8O=2,.BCD是等腰直角三角形，1：.SBCD=$CDC=2.在8OE 中，BE=BD=2V2,DE=2,S/BDE=2 x2x V7=V7.第5 3页 共1 1 5页设 C 到 平 面 的 距 离 为 d,:VE BCD=VC BDE,x y/s x 2=寺 x jx yf l,解得 d=马 苧 工,2 V 2 1故点C到平面B D E的距离为一 一.y(II)以。为原点，C D、C B所在的直线分别为X、y轴，作 Cz _L平面B C D,建立如图所示的空间直角坐标系，3 V 3 则 B(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M(一，0,),E(1,0,V 3),N(1,2 21,0),T L T 3 V 3 T:E N=(0,1,-V 3),C M=(-,0,),C B=(0,2,0),2 2(T T (3 百设平面例BC 的法向量为/=(x,y,z),则 字 印=,即 尹+丁 2 =0,n-C B =0(2 y =0令 x=l,贝 lj y=0,z=V 3,A n =(1,0,V 3),设直线EN与平面M8 C 所成角为6,T Tr t -E N n 3 3则 s in 6 =|co s V E N,n|=|二 1=右万=了，E N-n 2 X2 43故直线EN与平面M BC所成角的正弦值为一.44.如图，在三棱柱A B C-4 8 1。中，平面4 A CCi_L平面A B C,A B C和 4 A C 都是正三角形，。是 AB的中点(1)求证：平面A 1 CC；(2)求直线AB与平面O CC1 所成角的正切值.第5 4页 共1 1 5页I)【解答】（1）证明：连接AC 1,交 4 c 于 E,连接OE,：四边形A1ACC1是平行四边形,是 AC1的中点，是 的中点，：.DE/BC,Eu平面 4OC,BC1C平面 4OC,，BCi 平面 4DC.(2)解：取 AC的中点。，连接4 0,BO,A8C和AiAC都是正三角形，：.A0LAC,BOLAC,.平面 4ACCi_L 平面 A B C,平面 AiACCi n 平面 ABC=AC,；.40_L平面 ABC,：.AOLBO,以。为原点，OB、0C、OAi所在直线分别为x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,V3 1设 A C=2,则 4(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(,一 卷，0),C1(0,2 22,V3),l V3 3 ,/3 5 广.AB (V3,1 1 0),CD (,2 0),DC1 (,-,V3),p -fV3x_3=0设平面DCC的法向量为=(x,y,z),则 2-C5=,即1区:一之1 ，n*DC=0+_y+6 Z 0第 5 5 页 共 115页令 x=3,则），=V I z=-l,：.n=（3,国，-1）,设直线A 8与平面D C C 所成的角为0,则s in Q =|co s =|津2=|噂 乎 一|=|4 3卜|川 2 x 4 9+3 +12/3南，/.t an 0=2 V 3,故直线A B与平面D C C 1所成角的正切值为2 V L5.如图，在等腰直角三角形A O P中，已知A=*,A =3,B,C分别是A P,0P上的点，E是C Q的中点，Ji B C/AD.现将P B C沿B C折起，使得点P在平面A B C。上的射影(1)若B,C分别是A P、O P的中点，求证：平面物C_L平面P CD.(2)请判断是否存在一种折法，使得直线P B与平面A B C。所成角的余弦值是直线尸8与平面B 4 E所成角的正弦值的?倍？若存在，求出A B的长；若不存在，请说明理由.【解答】(1)证明：点P在平面A 8C。上的射影为点A,平面 A 8C。，:CO u平面 AB C D,：.PA C D,.,等腰Rt Z k A O P,且C为。P的中点，J.AC VC D,y P A H A C=A,PA.A Cu平面出C,，C)_L平面 PAC,又C)u平面P CD,：.平面%C J平面PC D.第5 6页 共115页(2)解：抬_1 _平面 A B CD,为直线P 8 与平面4 B C D 所成的角，设其大小为a,则 co s a=嚣过点B作 B M _ L A E,交 AE于点M,连接P M,:附，平面 A B C。，：.PA1B M,又 A E CB 4=A,A E、Mu平 面%E,平面 PAE,.N B P M 为直线P B 与平面R IE 所成的角，设其大小为0,则 s in 0=器，.直线P B与平面A B C D所成角的余弦值是直线P B与平面以E所成角的正弦值的弓倍,.co s a=|s in p,即设 AB=t(0 r 中，侧面 B4Q_L底面 A8C),fi4=A=OC=6,A C=6&,AB=3,C平面 PAB,ZP4D=60.(I)求证：平面PCDJ_平 面PB C；(II)求二面角P-B C-D的余弦值.【解答】解：(I)证明：A D=D C=6,4 c=6立，：.AD2+D C2=A C2,：.AD L D C,;侧面底面A B C D,侧面用 n 底面AB C D=AD,.CZ)_L平面 B4,:尸/”:平面以Q,.C D 1PD,取 PC 和 0 c 的中点分别为 和 M 连接MM B M,贝|JMNPO,J.C D L MN,平面用B,CO平面ABC。，平面以BD平面ABCO=A8,J.C D/AB,第6 0页 共115页,:AB=ND=3,：.四边形ABND为平行四边形,C.BN/AD,:.CDLBN,：BNCMN=N,：.CD_L平面 BMN,：BMu平面 BMN,：.CD1.BM,：。_1平面以。，且出u 平面以),J.ABLPA,即B4B为直角三角形，PB=7 a +32=3后,:PB=BC,且 M 是尸C 的中点，：.PCBM,:PCCCD=C,平面 PCO,BMu平面 P B C,：.平面 PCC_L平面 PBC.(H)在%中，：PA=AD=6,ZPAD=60,，以。为等边三角形，PD=6,取 的中点 0,连接 P0,；.P0_LA。，K P0=V62-32=373,.平面 平面 A BCD,平面以。n 平面 AHCD=AD,；.P0_L 平面 ABCD,过点P 作PH_LBC,交BC于点H,连接OH,则NPHO即为三面角P-BC-O 的平面角，：PD=CD=6,CDLPD,.POC为等腰直角三角形，PC=y/CD2+PD2=V62+62=6立，.,由(I)知 PB=BC=3代，M 为 PC 的中点，：.BMLPC,在 RtABMC 中，BM=/BC2-M C2=J(3A/5)2-(3位7=373,1 1在P8C 中，SAPBC=/BM x PC=aPH BC,解得PH=嘤，n则m s.m/PDHs0=而p o=返3总=丁/IO-5RlZPH。中，NPHO为锐角,.cos/P”O=乎，V6二面角P-B C-D 的余弦值为一.4第6 1页 共115页9.如图，已知四棱锥S-A B C D的底面是边长为2 的正方形，且平面SAOJL平面ABCD,M,N 分别为棱A,BC的中点，SA=SD,SA LSD,P,。为侧 棱 SO 上的三等分点(点P靠近点S).(1)求证：PN平面MQC；(2)求多面体MPQCN的体积.【解答】证明：(1)如图，连接交CM于点R,连接QR,在正方形ABC。中，VM,N 分别为AO,2 C 的中点，.四边形MNCD为矩形,得 R 为 N D 的中点、,又 Q 为 P D 的中点、，：.PNQR,：QRu平面 MQC,PNC平面 MQC,第 6 2 页 共 115页.PN平面 MQC；解：（2）连接 SM,为 的中点，S A=S D,S A L S D,.5加_ 1_4力，且 5=4。=1,又平面SAO1.平面A 8 C D,平面SAOC 平面4BC）=AO,平面 A8CD.1 2 1 1 2 2 P-MNC=S MNC X Q S M=3 2 1 x 2 x x 1=q.;平面 SAO_L 平面 A 3 C Q,平面 SADA 平面 ABCD=A。，C D L AD,C0_L平面SAO.又在 RtZSM 中，S D =y/2S M=V2,S P=P Q=Q D,:.SRPQM=3 ASMD 1-3X1-31-91-21-3X1-3多面体 M P Q C N 的体积 V=VP_M N C+VC-PQM=1 +|=|.1 0.如图，四边形M A8C中，A B C是等腰直角三角形，AC B C,M 4C是边长为2 的正三角形，以A C 为折痕，将M AC向上折叠到D 4 C 的位置，使点。在平面A B C内的射影在A 8 上，再将M AC向下折叠到E 4 C 的位置，使平面EACL平面A B C,形成几何体D AB C E.(1)点尸在B C 上，若。F 平面E A C,求点F 的位置；(2)求直线A 8 与平面EBC所成角的余弦值.第6 3页 共115页【解答】解：(1)点尸为B C的中点，理由如下：设点。在平面A 8 C内的射影为。，连接O D,OC,J AD C D,；.O A=O C,.在R t Z X A B C中，。为4 8的中点，取A C的中点“，连 接”，由题意知又平面E A C _ L平面A B C,平面E A C H平面AB C AC,平面A 8 C,由题意知 0 L平面A B C,：.D O/E H,二。平面 E 4 C,取B C的中点F,连 接O F,则。F A C,又。咋 平面E A C,A C u平面E A C,平面E 4 C,:D O A O F=O,；.平面 D OF/平面 E AC,.O F u平面。O F,，。尸 平面 E A C.(2)连接。”，由(1)可知。F,O H,。两两垂直，以。为坐标原点，OF,O H,。所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 B(1,-1,0),A (-L 1,0),E(0,1,-V 3),C(1,1,0),：.AB=(2,-2,0),B C =(0,2,0),B E =(-1,2,-V 3),设平面E 8 C的法向量1=(.a,b,c),则B C -n=2b =0 取B E -n=a +2b y 3c=0a=V 3 则n =(V 3,0 -1)设直线与平面 破。所成的角为0,则 s i n 6=AB-n 2/3 y/6|A B|.|n|2&2 4第6 4页 共1 1 5页直线AB与平面EBC所成角的余弦值为c o s e=J 1 -（尧=祟1 1.如图，直三棱柱 B C F -中，。为 E H 的中点，AB=BF,BFVCF,AB=BF=CF=2.（I ）求证：AFLBH；（I I）求平面AQC与平面A 8 C所成角的余弦值.【解答】解：(I )证明：由三棱柱2 C F-A H E是直三棱柱，得C F L E F,V B F 1 C F,BFCEF=F,C F _ L平面 A B F E,：CF/HE,.H E，平面力B F E,：.HEAF,：AB=BF,A B LB F,，平行四边形A 8 F E是正方形，J.AFLBE,又 HECBE=E,；.A F _ L平面 H E B,:BHu平面 HEB,J.AFLBH.(I I )以E为坐标原点，EA,EF,EH为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,在RtADHC中，,:D 为EH的中点，1 1：.DE=EH=CF=1,则 A (2,0,0),C(0,2,2),D(0,0,1),B(2,2,0),：.AC=(-2,2,0),AD=(-2,0,1),AB=(0,2,0),第6 5页 共1 1 5页设平面A B C的法向量益=(x,y,z),贝E，=-2 x +2 y =,取x=,得 心(,),.m -AB =2y=0设平面A Q C的法向量九=(a,b,c),则在”=-2 a +2 b +2 c =0,取 c=2,得 =(1.-1,2),(九 AD =-2a+c =0 .,/-、m-n 3 v 3 COS,T t 35-=t-Q 9 m -n /2X/6 2由图知平面A DC和平面A B C所成角为钝角，平面A O C与平面A B C所成角的余弦值为-空.x1 2.在如图所示的几何体中，四边形A B C D是菱形，Z B A D=120 ,A E _ L平面A B C。，AE/CF.(1)求证：。尸 平面A B E；(2)若A D=4 E=2 C F=2,求该儿何体的表面积.第 6 6 页 共 115页E【解答】解：(1)证明：因为4 E。凡 C F C 平面A B E,所以C F 平面ABE,因为四边形A B C。是菱形，所 以 C D A B,由于 C D 平面ABE,又 C F A C =C,所以平面C Q F 平面ABE,又u 平面CDF,所以D F 平面A 8 E.(2)由4 E C 凡 知 A,C,F,E四点共面，连接AC,于是该几何体是由两个相同的四棱锥8-A C F E,。-4 C F E 构成的，由题意知I,S/ABE=2 x 2 x 2 =2,SAA B C=,X 2 X 2 X s 讥6 0。=V 3,SBCF=x 2 x 1 =1,在 B E F 中，EF=V 5,BE=2y2,BF=瓜 SABEF=1 X 2 /2 X V 3 =V 6,所以该几何体的表面积为2 X (SM B E+SAABC+SABCF+SABEF)=6+26+2 历.E1 3.如图，在四棱锥P-ABCQ中，以。是等边三角形，平 面 必 平 面 A B C Z),底面第 6 7 页 共 1 1 5 页A8CO 是直角梯形，A D/B C,已知 AQ=2BC=4,Z B AD=60 .(I)若 E 为 出 的 中点，求证：2E平面PC。：(II)求二面角B -PC -D的正弦值.A【解答】解：(I)证明：如图，取P D的中点F,连接E F,C F,则E F/AD,且EF=4 4。，1由条件可知，B C/AD,且BC=A。，：.E F/B C,K E F=B C,：.四边形B C E F为平行四边形，：.B E/C F,又 8EU平面尸CD,CFu平面PC),平面 P C D；(I I)如图，取 4。的中点0,连接OB,0 P,则。8=0P=2百，由条件可得0A,0B,0 P 三条直线两两垂直，故以点0 为坐标原点，分别以04,0B,0 尸所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，贝 帕(0,2遮，0),P(0,0,2V3),C(-2,2百，0),)(-2,0,0),：.PC =(-2,2V3,-2 V 3),命=(-2,0,0),C D =(0,-2 痘,0),设平面P8C 的一个法向量为后=(a,b,c),贝 I，1=-2 a +2d5b 2H c=0,则-B C =-2a=0可取 m=(0,1,1),同理可得平面PC)的一个法向量为 =(一百，0,1),=峥乎,|m|n|V2X2 4第 6 8 页 共 115页-sinO=J l -哈2=孚.1 4.已知在平行四边形ABC。中，AD=2,AB=V3,Z A D C=如图，DE/CF,且 DEo=3,CF=4,Z D C F=且平面