2023全国数学联赛初中数学试题及答案---打印版.pdf

2023年全国初中数学竞赛试题班 级 姓 名 成绩 供稿人：李锦扬一、选 择 题(共5小题，每 题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分)f a +20+3c=，工,“,ab+bc+ca.、1.设非茶实数a,b,。满足,.八那么-z-r的 值 为().2a +3/j+4 c=0,a2+b2+c2(A)-(B)0(C)-(D)12 22.a,b,c是实常数，关于x的一元二次方程0?+法+。=0有两个非零实根为，,那么以下关于x的一元二次方程中，以 二，-V为两个实根的是().芍%(A)cx+(Z?-一 2a c)x +a=0(B)cx (b 2a c)x +=0(C)c2x2+(Z?2-2ac)x-a2-0(D)c2x2-(h2-2ac)x-a2=03.如图，在RtZ A B C中，。是斜边A B的中点，CDVA B,垂足为 ,DELOC,垂足为E.假设4。，DB,C D的长度都是有理数，那么线段。,OE,DE,A C的长度中，不二定是有理数的 为().(A)OD(B)OE(C)DE(D)A C4.如图，A A B C的面积为24,点。在线段A C上，点 尸在线段8 c的延长线上，且8 C =4b,OC F E是平行四边形，那么图中阴影局部的面积为().(A)3(B)4(C)6 (D)85 .对 于 任 意 实 数x ,y ,z ,定 义 运 算“*3x3y+3x2y2+A V3+4 5x *y =-：-W-,(x +iy+(y +l)3-6 0(第4题)F且x*y*z =(x*y)*z,那么2013*2012*3*2的 值 为().(A)6 079 6 7蟾 翳(D)16 38 99 6 7二 填空题6 .设。=%，6是/的小数局部，那么(6 +2)3的值为.7 .如图，点。，E分别是A 8 C的边A C,A B上的点，直 线8。与C E交于点尸，4CDF,A BFE,B C尸的面积分别是3,4,5,那么四边形的面积是.8 .正整数 m b,c满足a +/2c-2=0,3a2-Sb+c-0,那么 a b cB(第7题)的最大值为.9 .实 数a,b,c,d满足：一元二次方程/+“+=以2+/一3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且O 8=O C=3 O A.直线y =x +1与y轴交于点。.求 NDBC-NCBE.12.设 A B C的外心，垂心分别为。H,假设B C,H,O共圆，对于所有的 A B C,求N B A C所有可能的度数.13.设。，人，c是素数，记x =b +c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,当z 2=y,五 一4 =2时，a,b,c能否构成三角形的三边长？证明你的结论.1 4 .如果将正整数仞放在正整数机左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为 机 的“魔术数”（例如，把8 6放在4 1 5的左侧，得到的数8 6 4 1 5能被7整除，所以称8 6为4 1 5的魔术数）.求正整数”的最小值，使得存在互 不 相 同 的 正 整 数，a2,，an,满 足 对 任 意 一 个 正 整 数m,在4,2,a“中都至少有一个为根的魔术数.2023全国数学联赛试题参考答案一选择题（第 U 题）1.设非零实数。，h,c满足j a +2。+3 c=0,2 a +3 b +4 c=0,那么ab+be+caa2+b2+c2的 值 为（).(A)-(B)02(D)1【答案】A【解 答】由得 a +0 +c=(2 a +3 0 +4 c)-(a +2 b +3 c)=0,故(a +/?+c)2 =0 .于是ci,b+,b,e,+ca 1 (/t z 2 +b+c2、)所Ct-以H1 一ab：-+-b；c-+-ca=12 a+b+c 22.a,b,c是实常数，关于x的一元二次方程以2+b x +c=0有两个非零实根再，x2,那么以下关于x的一元二次方程中，以4，1为两个实根的是().尤；x2(A)c2x2+(b2-2ac)x+a2=0(B)c2x2-(&2-2ac)x+6 f2=0(C)c x+(2 2 a c)x =0(D)c2x2-(h2-2ac)x-a1-0【答案】B【解答】由于依2+法+。=0是关于x的一元二次方程，那么QW 0.因 为 +/=一 上,c 1 1xyx-f=一，且X|X2 w 0,所以c w。，且 a x,x2于 是 根 据 方 程 根 与 系 数 的 关 系，以(%+%2 了 -2X1X2 b1-2ac 1 1-Z-=-Z-，,c2%2 x22,2-4,二 为 两 个 实 根 的 一 元 二 次 方 程 是玉 彳2-x +-=0 ,即 c2x2-(b2-2ac)x+a2=0 .c c3.如图，在R t ZA B C中，O是斜边A B的中点，C D 1 A B,垂足为D,D E r O C,垂足为E.假设A。，DB,C D的长度都是有理数，那么线段。),OE,DE,A C的长度中，不下足是有理数的为().(A)O D(B)OE(C)D E(D)A C(第3题)【答案】D【解答】因AD,DB,C D的长度都是有理数，所以，OA=O B=0 C=A。+8。是有理数 于是，。=0 4-4力是有理数.2由 Rt/DOERt/COD,知 O E=2-,D E =都是有O C O C理数，而A C=N A D A B不一定是有理数.4.如图，A B C的面积为2 4,点力在线段A C上，点尸在线段2 c的延长线上，且8 C =4 C F,O C FE是平行四边形，那么图中阴影局部的面积为().(A)3 (B)4(C)6 (D)8【答案】C【解答】因为。C FE是平行四边形，所以DE/CF,且EF/DC.连接 C E,因为 DE/CF,即。EB F,所以 SA D E LSADEC，因此原来阴影局部的面积等于A C E的面积.连接 A F,因为 E F H C D,即 EF/A C,所以&ACE=SAACF.因为6 C =4 C F,所以SA”L4SAACF.故阴影局部的面积为6.5.对于任意实数x,y,z,定义运算“*为：3 x3y +3*2 y 2 +3 +4 5x*y =-；-,(x +l)3+(y +l)3-6 0且x*y*z =(x*y)*z ,那么 2 0 1 3*2 0 1 2*3*2的 值 为().(第4题)(A)6 0 79 6 7,、1 8 2 1-9 6 7,、5 4 6 3(C)-9 6 7(D)1 6 3 8 99 6 7【答案】C【解答】设2 0 1 3*2 0 1 2*4 =加，那么(2 0 1 3*2 0 1 2*4)*3 =m*3 =x 3 +3而 x 9 +mx 2 7 +4 5rn+3/n2+3/n+1 +6 4 -6 0=9,十日C C C 3X93X2 +3X92X22+9X23+4 5 5 4 6 3于是(2 0 1 3*2 0 1 2*-*3)*2 =9*2 =-：-=.)I O?+3 3 -6 0 9 6 7二、填空题6 .设。=盯，6是 的小数局部，那么9+2 y的值为.【答案】9【解答】由于1。2/,E分别是A 8 C的边A C,A B上的点，直 线8。与C E交于点F,/CDF,A BFE,/XB C F的面积分别是3,4,5,那么四边形A EFZ）的面积是.【答案】2 0 47T【解答】如图，连接A F,那么有:SA/I E F +4 =S.EF+SgFE _ BF SR B C F _*qFD SC D F 3+3 _ S+S“CDF _ CF _ SZBCFs M F-q A EF 1F JF s A BEF解得，SSA FD=值 2 0 4所以，四边形A EF。的面积是1 38 .正整数“，b,c满足a +Z?2-2 c-2 =0,3 a2-Sb+c-O,那么a b c的最大值为.【答案】2 0 1 3【解答】由。+/2c 2 =0,3一8人+c=0消去c,并整理得（人一8）2+6/+a =6 6.由a为正整数及6 a W6 6,可 得l Wa W3.假设a =l,那么（匕一8=5 9,无正整数解；假设。=2,那 么 伍-8）2 =4 0,无正整数解；z 、2假设a =3,那么（。一8）一=9,于是可解得h=l l,b=5.（i）彳 段 设 人=1 1,那么c=6 1,从而可得，由c=3 x l l x 6 1 =2 0 1 3；（i i）假设。=5,那么c=1 3,从而可得就c=3 x 5 x l 3 =1 9 5.综上知a b c的最大值为2 0 1 3.（第7题）IC（第7题答题）9 .实 数a,h,c,d满足：一元二次方程V+cx +d=0的两根为a,b,一元二次方程/+以+8=0的两根为,d,那么所有满足条件的数组（a,。，c,d）为.【答案】(1,-2,1,-2),(t,0,-t,0)为任意实数)a+b=-c,【解答】由韦达定理得,c+a =-a,cd=b.由上式，可知/?=-a c=d .假设Z?=d wO,那么 a =1,-进 而=d =a c=-2 .b d假设匕=d=0,那么c=a,有(a,/?,c,d)=(f,0,力0)(f 为任意实数).经检验，数组(1,-2,1,一2)与(/,0,-t,0)(7 为任意实数)满足条件.1 0.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共35 0 支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是20 23元.那么他至少卖出了支圆珠笔.【答案】20 7【解答】设 x，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，那么匕 匚 20 1 3 7 y。、y+1所以 x =-=(5 0 3 2y)H-4 4v +1于 是 上 丁 是 整 数.又 20 1 3=4(x+y)+3 y 2 04,故 y 的最小值为20 7,此时x =1 4 1.三、解答题1 1 .如图，抛物线丁=依 2+法-3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点，与 y 轴交于点C,K O B=O C=3 O A.直线y=x +1 与 y 轴交于点D求 NDBC-NCBE.【解答】将 x =0分别代入丁=x+l,y=ax2+bx-3n,0(0,1),C(0,-3),所以 B(3,0)A(1,0).直线 y=-x +1 过点 B.将点 C(0,-3)的坐标代入 y=a(x +l)(x-3),得 a =l.5分抛物线了=1-2 8-3 的顶点为七(1,-4).于是由勾股定理得B C=3 0,C E=V 2,B E=25/5 .因为B C 2+C E 2=B f2,所以，A B C E 为直角三角 形,Z B C E =90.1 0 分r i j r x 1因此 t a n Z C B E =.又 tanZ D B O=-=那么 4 D B 0=Z C B E.C B 3 O B 3.1 5 分所以，N D B C N C B E =Z D B C N D B O =N O B C =45.20 分1 2.设aA BC的外心，垂心分别为O,”，假设B C,H,O共圆，对于所有的 AB C,求N8AC所有可能的度数.【解答】分三种情况讨论.(i)假设ABC为锐角三角形.因为ZB C=180 ZA N B O C =2ZA,所以由 NBHC=Z B O C,可得 180 NA=2N A,于是NA=60.5分(第 12题 答 题 )(第 12题 答 题(ii)ABC为钝角三NA90时，因为Z B H C=180-ZA,Z B O C=2（180。-NA）,所以由 N3 C+NBOC=180,可得3(180-NA)=180,于是NA=120。.10分当NA 90,因为NBHC=NA,Z B O C 2 Z A,所以由 N5 C+N3OC=180,可得 3NA=180,于是 NA=60.15分(iii)假设ABC为直角三角形.当NA=90。时，因为。为边8C的中点，B,C,H,O不可能共圆，所以NA不可能等于90；当NA90时，不妨假设NB=90。，此时点8与H重合，于是总有A C,H,O共圆，因此NA可以是满足0NA90。的所有角.综上可得，NA所有可能取到的度数为所有锐角及120.20分13.设 a,b,。是 素 数，记 x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c ,当z2=y,五 一6=2时，a,b,c能否构成三角形的三边长？证明你的结论.【解答】不能.依题意，得a=；(y+z),Z?=g(x+z),c=；(x+y).因为 y=z 2,所以a=g(y+z)=g(z2+z)=z(z；D.又由于z为整数，。为素数，所以z=2或-3,a=3.10分当 z=2 时，y=z2=4,X=(4 +2)2=16.进而，b=9,c=1 0,与 b,c 是素数矛盾；.15分当z=-3时，a+b-c 0,所以a,b,c不能构成三角形的三边长.20分14.如果将正整数M放在正整数加左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为 小 的“魔术数”(例如，把8 6放在4 1 5的左侧，得到的数8 6放5能被7整除,所以称8 6为4 1 5的魔术数).求正整数”的最小值，使得存在互不相同的正整数4,4，勺，满足对任意一个正整数，在q,a2,a”中都至少有一个为，的魔术数.【解答】假 设W 6,取根=1,2,7,根据抽屉原理知，必有a 1，a2,a“中的一个正整数M是i,j(lW i V _/W 7)的公共的魔术数,即7 (KW+i),7|(1 0 M+j).那么有 7|(4 1),但 0 J-i W 6,矛盾.故 心7.1 0分又当q,a2,a“为1,2,，7时，对任意一个正整数?,设其为左位数(左为正整数).那么1 0。+/(z =L 2,-7)被7除的余数两两不同.假设不然，存在正整数i,7),满足 7|(1 0打+加)一(10 +m)，即 7|10*(j-i),从而 7|矛盾.故必存在一个正整数i(lWi7),使得7|(10，+加)，即i为机的魔术数.所以，”的最小值为7.2 0分