2023年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案).pdf

2023年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题(本大题共10小题，每题5 分，共计50分)1.集合 A/=1,2 ,N =2a-a&M,那么 McN=(A )。A.1 B.1,2 C.1,2,3 D.空集解：由于 N=2 a-l|a eM =l,3,所以 McN=l 。答案为 A。2 2OS2.椭 圆 二+2=1 上一点P到点(4,0)距离等于4,那么P点到直线x=-2 的 距 离 为(C2 5 9 4A.4 B.6 C.D.-2 4解：因为a =5力=3,那么c =4。于是P到另一个焦点0)的距离等于2 x5 4=6。由于直线=一竺为椭圆的左准线方程，那么P到直线x=-空 的 距 离 为 =9 =7.5。答案为4 4 e 45Co3.等差数列%中，6 0,3a 8=5 6 3,那么局部和S“中最大的是(C )A.S】o B.S u C.52 0 D.S2 1解：由题意知，38=5。3=3(4+7 4)=5(4+12 4)=1=-5 4 0=)a 答案为 B o5.方 程/一 12 x+a =()有三个不同的实数根，那么实数。的取值范围为(A )A.(-16,16)B.-16,16 c.(-oo,-8)D,(8,+oo)解：令/(x)=V I 2 x+a ,那么/”(x)=3/-1 2。f M =3x2-12 =0=x =2.,要使/(x)=0 有三个不同的零点，那么必须有f(2)f(-2)0,即(a-16)(a +16)0,也即有T 6 a=-8。12 .直线y 与函数y=|x2 -4x+3|的图像至少有三个公共点，那么实数b的取值范围为0 cos2 a1 5 .实数X,y,Z满足f+y2+z 2=l,那么忘孙+)2的 最 大 值 为 日。由此可得夜町+y z4等，其中等号成立当且仅当x =，,y =1 6 .在边长为1的正方体A5CD-A乃中，旦尸分别为AA，C4上的点，且AE=C/，那么四边形欧氏2的面积最小值为。2解：由题意，可得当E,F分别是A 4-CG的中点时，四 边 形 的 面 积 可 取 到 最 小 值 半。1 7 .设1乂乂20）上两个动点AOQJ KW，%），O为坐标原点，OA 1 0 8 o（1）求线段AB中点的轨迹方程C；（2）假设在C上的点到直线x-2 y +2 6-p =0的距离为d,求d的最小值。解：设 y；=2 p X ,y22=2 p x,那么占=（）|必）2。又因为。4 _ L O 8,所以+y y,=0。4 P从而有乂%+3（乂%=，即有乂必二-4/。（5分）4 P（1）设AB的中点坐标为（x,y）,那 么 五 产,y =A。于是有X =+2石p F 甚-2当 y=P 时，X=3p,m in =2。(1 7 分)2 0.设函数/(x)=3 o c2 一2(。+8 +匕，其中a 0,b为任意常数。证明：当O WxWl时，有火 刈 m a x(/(0),/(l)o证：f(x)=3ax2-2(a+b)x+b,所以题=色也为其极小值点，此时3a|ab (a2+/?*)|c i +b-cib ,rz.n rz x.八、./(X()=-=-，而 m a x|/(x)|=m a x|/(j )|,(0)|,|/(l)|.3a 3a oxi(7分)1)0 x0-b=f(O)io 0 a +b6 0 时，|/(1)|=a-b=a-b=/(1),|/(0)|=Z 7 =/(0)；此时同样有|f (%)|4/。于 是 有 壮 川/(必=m axd/JIJ/W I,IA D Il=m axf/C O X/d)。(iii)当人 a 0 时，|/(1)|=|-1=-a|/(0)|=/(0),此时考虑于是有 imx|/(尤)|=max|/(xo)|,|/(O)|,|/(1)|=m ax/(0),/(l)。(12 分)2)x()0；世:时有。+0,所以/?1；此时有2。一。0,所以。0。于是有iriax|/(x)max|/(O)|,|/(I)|=maxZ,|a-fr|)。当 时，max/?,|-=max/?,-/?=max/(O),/(l)；当a 6 时,max 可a-可 =maxb,b-a)=b=m ax(0)J,综 合 1),2),3),有当O W xW l时，|/(x)|m a x(/(0),/(l)(17 分)四、附加题(本大题共2 小题，每题25分，共计50分)注：附加题每题的得分只能是：0,5,10,15,20,2 5,即 5 分为一个档次。2010(2010 X2008、21.设巧(i=L2,2 0 1 0)且 产 9=1。试求min g 匕期，并证明之。/=13=1 1 一 天)201()r2OO8 2010 r2009解：由于Z 产声=2丫；/0斗。(5 分)；=1i=lx,u -X,.)令%=%（1-茗.），那么对任意”1 4 2 0 1 0,有j,.2009=(2 0 0 9X;2009)(1-x,2009)2009 产9=1,所以/=1/=!1/=12010 2。(1-2(0)-20092009Xi“姬 丽。（15分）上式等号成立的充要条件是2 O O 9 X,2 0 0 9=1 -2 0 0 9 ,即天=J /2 0 1 0 o20 0V 2 0 1 0因此min2 0 1 0 V2(X)8xi迎。2嗝诟。(2 5分)2 0 0 9评分标准：求出最小值得5 分；中间过程20分。2 2.用一个数列取遍走遍复平面上所有整点：令4=0，,=1 .然后按逆时针方向逐格前进。再令a m-%=)，其中i为虚数单位。求/()的最简洁的统一表达式。解：由于广=1,所以/()应是模4的同余式。为了寻找规律，我们首先去求的表达式。(1 0分)k+1个 k+1个在这里，对使/()=2 k的最小n,有,j,人 、n =2 x l+2 x 2+2xk=k(k+i)。2k,当 取+1)4 依+1)2;八 J2k+l,当(后 +1)2 4(%+l)(k+2”即/()=/。当/为偶数时，k=；,所以a|J/(/+2)4;z (/+2)2-4,也即有(/+1)2 4/?+1 (/+2)2-3 (/+2)当/为奇数时，k=,所以2即(1 +1)2 4 4 4(/+1)(/+3)-4,也即有(1 +1)2 (/+1)2+1 4 4 +1 4(/+2)2-5 2 5 分)