三角函数与解三角形-【大题精做】冲刺2023年高考数学大题突破限时集训（新高考专用）.pdf

专题01 三角函数与解三角形叠题型简介三角函数与解三角形一般作为全国卷第17题或第18题，主要考查三角函数的图象及其性质，解三角形主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等，主要题型：1 :角函数图像及性质问题，2 结构不良试题3 三角形面积周长问题4 三角形三线问题5 三角函数实际应用问题在新课标中强调情景复杂化，更容易将实际问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.学典例在线题型一：三角函数的图象及其性质1.“X)=cos爸 s in p +看卜；，已知点A,8 是 函 数 的 图 像 与 直 线 y=的最小值为兀.求函数f(x)的单调递增区间；若对于Txe 都有/(x)2 加-T，求山的取值范围.【答案】k n-g k 7 i+大仅 e Z)1,2 x)=1 0)x(.C O X 7T C D X .乃、=cos sin cos+cos sin 4 2(2 6 2 6J45/3.C D X (DX 1 C 5 1 后.1=sin cos +c o s-=s in s+-G 2 5 2 c o s-12 2 2 2 2 4 4424 4 2(2 2)2 T=|A卸=肛69=|=2 J(x)=；sin(2x+?T2当2版后42犬+3 2&万+雪 2)时单调递增，即x e kn-%,k兀*三 (k e Z)时单调递增;71 7T(2)当xw 时,汽，万，542x+0)的单调区间时，要视“u i x+g”为一个整体，通过解不等式求解.但如果3 0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.(2)函数图象的平移变换解题策略：对函数丁=5 抽%,y =4$吊(的+0)或 =A c o s(w x+0)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移I w l 个单位，都是相应的解析式中的X 变为x|0|,而不是3 X 变为0 r|&.注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.1 已知函数/(x)=2 s i n%c o s(x-；)-书，xeR .求 x)的最小正周期；(2)求 小)在 区 间 会兀 上的最大值和最小值；(3)若/(%+哈 =一乎，xn e J，,，求c o s 2 x()的值.【答案】叫2)最大值为 正，最小值为-1.2 5【详解】(1)/(x)=2 s i nx(c o s x c o s +s i nx s i n y)-石.G ./T.2 G=2 s i a r(c o s x +s i nx)一 一 =s i nr c o s x +v 3 s i n x-,1 ._ /r 1 -c o s 2 x G 1 .日 6 c -zO n=-s i n2 x +V3 x-=s i n 2 x-c o s 2 x =s m(2 x -).2 2 2 2 2 32 兀T=n,/(x)的最小正周期为兀.2(2)因为x e 限 ,所以2 x-枭 苧 争令2x-p片，等，得x e 岩,神，令2 x-g e 弯百，得x吗,膏 ,所以/(X)在弓,与 上单调递减，在 詈，汨上单调递增.且/尸 亭，/(l y)=-l,/(兀)二一 等，所以，/的 最大值为 乎，最小值为-1.(3)因为，f(xi)+)=,所以，sin(2x0-)=-+c,由正弦定理，可得2sin AcosB=sin8+sinC=sinB+sin（A+8）=2sin4cosB=sin B+sin Acos B+cos Asin B=sin/1 cos B -cos Asinfi=sinB=sin（/l-B）GIA,8 e（0,乃），（-乃,乃），回 8+（A-B）=7 或 8=A-8=（舍）或 2 B=A,即 2B=A若选:8 S B=2+C 2 J+庆+C2 一 吸 出lac lac 2a所以为cos5=Z?+c,由正弦定理，可得2sin Acos B=sinB+sinC=sin 8+sin（A+3）=2sin Acos B=sin sin A cos B+cos Asin Bn sin A cosB-cos AsinB=sin 8=sin（A-3）0 A,B,A5E（一 4,乃），团 5+（A J?）=乃或 8=A 8国 A=（舍）或 2 8=A,即 28=4若选:Vl-cos A+2cos-2 s 呜+V2cos-V2 sin y =72 sin f B+22n 0 sin4 4-/2cos-/2sin =V2cosB,团 Aw（0,7r）,0efo,|sin 02 2 2 v 7 2 V 2；2所以上式化为 J5 sin 4 +0 c o s -V2sin=/2cosB=cos =cosB2 2 2 2吟4 呜）3w（），0 y =B,即 28=A.(2)如图，作出ZVIBC示意图如下:3回2 u=3 b,由正弦定理2sin A=3sin8=2sin2B=2x2sin8cos8，可得cos5=一,4过。向AB作垂线，垂足为“，0 cos B=-=BH=3.4 BD因为8D=A,所以是A 8中点，A B=c=6.因为3=A O,所以国3=团 84）,因为团8AC=2团 8=团 员 4。+团C A O,所以团8AD=13CAD,A 是 团 BAC的角平分线,=4 =2=上 24即有 8。CD 4 a-4 3b,解得6=丁.T-4 51.己知函数/(%)=6X sin xcos21 2 COS2 22x2求函数f(x)的单调递增区间;(2)在.ABC中，分别是角A,B,C的对边，/(A)=0,a=g,若。为8 c 上一点，且满足求.ABC的面积S.请 从 Gsin8=co sC;AO为 ABC的中线，ELAD=I A为 S 3 C 的角平分线，且4=2 包.23这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答,（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】-?+2就 弓+2女 4，丘 Z（2）答案见解析【详解】（1）/（x）=V s in x-；（l+cosx）=/s in 卜一高一；，7 T T T 7 T 7 T 2 7 7 由-F2左 4 工 x-F2k兀,得-F“x W-F2k兀,k e Z,2 6 2 3 3团函数/（X）的单调递增区间为 弋+2而 彳+2以，Z e Z：（2）由/（4）=sin（A _ 1）_：=0,得sin（A-j =:，2 V 07 4 I 07 2 _ _ 7T .7 1 5乃 ,冗又 14BC中0 4 左，-A-0,则 cos C=sin A=,2T T T T又 小5 C 中0 C csin/1=x 2 x -=：2 2 2 2在 _ ACD 中，cos/ADC=-,2ADCD乂 cos ZADB+cos ZADC=-cos ZADC+cos ZADC=0,则 A2+B)2 -。2 AD2+CD1-h1 24加+才-/若选：为 ABC的角平分线，且4=竽.由题意知,S4ABD+SACD=S nn1 1 25/3 1 1 25/3.1 3.击 什 工 用 夕 曰 八 3 人l|J x x-c 4-x x-b=-x be 整理得 Z?+c=1 c223 223 2 2 2又 在.ABC中，A。=百，贝！J有+(?一 匕。=3,故从+c2-be=(/?+c)-3bc=/?2c2-3bc=3解之得，bc=2,15=besin A=.2 2题型三：三角形面积，周长问题71 ABC 中，48=4,cos A=,AC8(1)若 A 8BC=12，求 BC；(2)若cos(B-C)=1,求;.4?C 的面积.【答案】(1)BC=2后(2)52【详解】(1)AB BC=A B(A C-A B)=AB AC-ABf=UB|-UC|-COSA-42=4xA C x-16=-A C-1 6,由ZAC-16=1 2,得AC=8.I l l I 8 2 2BC2=AB2+AC2-2AB ACCOSA=2 4,回 BC=2#.j jr jr 2 冗(2)法 r 0cos(-C)=-,0-1 B-C -,0 y 2(B-C)TI,7 7 兀X cos2(B-C)=2cos2(B-C)-l=-一，又 cosA=，0 4 =1，0 sin ZABD=yj I-cos2 ZAB D=,又 sin A=Jl-cos?A=匹，04 4 4 8cos Z.ADB=cos 兀 -(ZA+ZABD)=-cos(NA+ZABD)=sin A sin/ABD-cos A cos Z.ABDy5/15 7 1 1 /人 八 o/4=-x-x =.cos/4力 片=cos/A BD8 4 8 4 4 ZADB=Z A B D,巨7A D A B 4.y.B D2=AB2+AD2-2A B A D cosA =l6+1 6-2 x 4 x 4 x-=4,8团 8/)=2,0 DC=BD=2 AC=AD+DC=60SAAfiC=-AB-AC-sinA=-x 4 x 6 x =.2 2 8 21.在 锐 角 三 角 形 中，角 4,B,C 的对边分别为小b,c,CO为C 4在CB方向上的投影向量，且满足 2csin8=/叫求cosC的值；(2)若 人=百，tz=3 cco sB,求 J1BC的周长.【答案】g(2)&+2 G(1)由CD为CA在CB方向上的投影向量，则|c 4 =b c o s C,即2csin B=D c o s C ,根据正弦定理，2sinCsinB=VsinBcosC,在锐角 _ABC中，BE。,),则s in 8 0,即 2sinC=K cosC ,由 C e(0,1|,则 cos2c+sin2 c =1，整理可得 cos2C+?cos2 c =1,解得 cosC=|.(2)由a=3 c c o s8,根据正弦定理,可得sinA=3sinCcos5,在.ABC 中，A+8+C=4，则 sin(3+C)=3 sin Ccos 5,sin Bcos C+cos 8 sin C=3 sin Ccos 3,sin Bcos C=2sin Ceos B,由(1)可知 cos C=1-,sin C=71-cos2 C=,则 sin 8=后 cos B,由 sin?B+cos?3=1,则5cos 5+co s3=1,解得cosB=，sin B=-，6 6根据正弦定理，可 得 工=j,则c=b=0,a=S=6sin B sin C sin B 2故的周长C MC=a+匕+c=2 6+夜.题型四：三角形三线问题1.已 知 ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,石力sinC=sinB(4 a sin C-b c).求A;(2)若。是.ABC的内心，a=2,且户+c?4,求 O3C面积的最大值.【答案M呜 或 与 半【详解】(1)因为b bsinC=sinZ?(4asinC-V 5c),所以6 6 由。+百。皿 3=4 由 3由。，由正弦定理得 6(sin Bsin C+sin Csin B)=4sin Asin Bsin C,所 以 由 sin 3sinC=2sin Asin BsinC，因为sinB sinC w O,所以 sin A=走，2因为4 0 ，所以A 4或 A号方 2 I(.2 i/l .2 一 4(2)因为a=2,且不+c 2 4,所以由余弦定理得cosA=-把 土=巴士 _ 0)所以A 为锐角，由2bc 2bc(1)知因为。是-A 8C的内心，所以 N8OC=7 t-g(NABC+NACB)=7r-g(7t-A)=笄,在 O8C 中，由余弦定理得 B C2=O B2+O C2-2OB O C cos N B O C，所以 4=O82+OC2-2O8OCCOSN =O82+OC2+OBOC 2 O B O C+O B-0 C =3OB-0C,当且仅当3OB=OC=3 亘 时等号成立，所以OB OCwg.3 3所以SAO0c=Lo8 OCsinN8OC4，xasin =巫，所以OBC面积的最大值为立.OBC 2 2 3 3 3 31 己知，h,c 分 别 为 A5C三个内角A,B,C 的对边，且acosC+GczsinC=b+c.求 A；(2)已知一4B C 的面积为主叵，设 M为 B C 的中点，且 A M =6，N3AC 的平分线交B C 于 N,求线段A N4的长度.【答案】(1)A =(2)4 N =(1)由题意知一 A B C 中，a c o s C 4-f3a s i n C =/?4-c 由正弦定理边角关系得：贝 i J s i n A c o s C+G s i n A s i n C=s i n B+s i n C=s i n(A 4-C)+s i n C=s i n A c o s C+c o s A s i n C+s i n C T0 V 3 s i n A s i n C=c o s A s i n C+s i n C，0 CG(O,7 1),团 s i n C 工0,团 G s i n A-c o s A =1，团 2 s i n(A 7)=1,0 s i n A ,又A e(O,7 t),4-畀 1 一，到，ov ooy所以即A =t6 6 3(2)如下图所示，在q A B C 中，AM为中线,团 2 A M =A 8 +AC，团 4bM=(A 8 +A C =|A 8 +2 A 8.4 C+kc =c2+b2+bc,团 力 2 +c2+be=12.SSC=,LbcsinA=bc=,be=3,曲 4 2 4 4b+c=J/72+2hc+c2=V 1 5 团 S&ABC S&ABN +S AC N 3G 1 x XI 兀乐 八2 AM 3 石团-=(人 +c)A N s i n =-A N ,回 A N =-.4 2V 7 6 4 5题型五 三角函数实际应用问题1 如图，在 _ A B C中，c o s 2 B+3 c o s(A +C)+2 =0,(C A C B-H-(IE C B)(CA-CB)=0 ,0为二AB C外一点,D A =2,D C =.求角B的大小，并 判 断 的 形 状；(2)求四边形4 BCZ)的面积的最大值.【答案】(1)8 =,等边三角形(2)2 +整3 4【详解】(1)由题知2 8 s 2 B-l-3 c o s B+2 =0,即2 c o s 2 B 3 8 S B +1 =0解得c o s 3 =g或c o s B=l(舍)，所以8 =9C A、雨+图.)西+盟CA CBC A=|C/1|-|C B|+|C|COSC-|C B|COSC=(|C A|-|C B|)(14-COSC)=0因为1 +COSC 0,所以|C4|=|C3|所以&43C的形状为等边三角形(2)设ND=氏在AA CD中由余弦定理得A C2=5-4 c o s夕A B C 的面积 S .=x A C2 x s i n =(5-4 c o s 夕)=-V 3 c o s 0A 3。2 3 4 4,AC D 的面积 S AC D=-1 x 2 x l x s i n =s i n 0S =S ABC+S AC D=s i n-G c o s 8 +J=2 s i n(一工+名 2 +四边形A B C。的面积 4 I 3；4 4当e=，等号成立所以四边形ABCD的面积的最大值为2+亚641.如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCO的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以NOC8和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD相切.（1）若4。=4a，A B =3后，BD=31（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；若扇形的半径为10米，圆心角为13 5。，则NBD4多大时，平行四边形绿地A8 CO占地面积最小？【答案】72万2 2.5。【分析】（1）根据余弦定理可得NA的大小，再根据正弦定理可得s i n N A B D,进而求得扇形的半径，从而得到种植花卉区域的面积（2）设/的=夕，根 据 宜 角 三 角 形 中 的 关 系 可 得 关 于。的表达式，从而得到平行四边形的面积表_ _ _ _ _ _ _ _ 2 0 0式/s i n（2 6+45）-l,从而根据三角函数的最值求解即可【详解】（1）由余弦定理,A Q2+4B 2-8）2 4 3 7 +3 3 7-3 72 16+9-3 72ADAB-2 x4 屈 x3 炳-2 42故 A =12 0 ,乂由正弦定理有BDs i n 12 0ADs i n ZABD故s i n N A B O =丝s i n l 2 0 =笆，所以扇形的半径BD V 3 7r=AB-stnZABD=3屈.咨=6日历故种植花卉区域的面积S =2 x；x g x伍6丫=72 7（2）设 N 8 Z M =9，则 Z A 3）=180-13 5 e=45 -6，故=s i n”AD10然=翻 而 询，故平行四边形c n 1 10绿地A B C。占地面积 2 s i n e10 .10 0 V 2 10 07-r s m 13 5 =-尸-=-7 s i n（45-0）,n 八.2 s i n（9 c o s/9-s i n-9）s m，-（c o s，-s i n，）2 0 0 二 2 0 0s i n 20+c o s 2。-1 版 s i n （2。+45。）-1因为e 0 ,45）,故要A B C D面积最小，则当s i n（2 6+45）=l,即2。+45 =9 0，6=2 2.5 时ABCD面积取得最小值，即N B D 4 =2 2.5 多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小学，和J模拟1.如图,在平面四边形A B C。中,NABC=e（0 0 2 的最大值.【答案】(1)8。=2 c o s m(2)?4 4【详解】(1)Z A B C =0(0 6 =2 +N 8C 4=+(_ g)=7r _ g,2 2 2 2 2 2 20(n X 0在 B C D 中，BD2=BC2+C D2-2BC C D ss/BC D=2 +2 c o s-=2 1+2 c o s2 一 一 1 =4c o s2 一，2 1 4；40 。0,则 B)=2 c o s.4 4(2)在 A B C 中,A C 2=A 3 2 +8C 2-2 A R 8C c o s Z A 8C =2-2 c o s aAC2+BD2=2 -2 c o s +2 +2 c o s-=-4c o s2-+2 c o s +6=-4(c o s-+,2 2 2 I 2 4)40 e 兀,0 c o s,=，四边形A 3 C D 周长设为/,则/=机+9,由题可知，/0=180 -3 =60 ,在，A C D 中，由余弦定理得(3 /7)2=w2+n2-2mn c o s 60 0 =(w+n)2-3/?Z A?,5 1 1 (A H+n)2=3inn+63 3 x)2+63,所以(m+)2 44x63 ,即 m +n 6/7,当且仅当m =n=3加 时等号成立,所 以 Lx=9+6 7 7，即四边形ABC。周长的最大值为9+6万3.记 JLBC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 已 知 屈 7 是2a与sin(c+e)的等比中项.求 A;若一ABC是锐角三角形，且c=2,求asinB 的取值范围.【答案】口)?(2)半,2 6【详解】因为是2a与sin(c+J 勺等比中项，所以2如+胃=(而 可=H c ,(R 1 、由正弦定理及两角和的正弦公式，得 2sinA】，sinC+5coscJ=sinB+sinC.因为4+8+。=兀，所以G sin AsinC+sin AcosC=sin(A+C)+sinC=sin AcosC+cosAsinC+sinC,即J5sinAsinC=(cosA+l)sinC.因为Cw(O,兀)，所以sinCwO,所 以 百 sin A-cos A=1 即 sin j A-/=4 .乂 A (0,兀)，所以,所以=I 即A=g.6 6 3a _ b _ 2(2)由正弦定理，得兀sin B sinC，sin 3所 以.A牝M sinB 6疝 管-C)6zsin B=b=-=-2 sin C sin C_ 3cosC+/3sinC _ 1 (3 浦2sinC 21 tan C J八 2兀 兀0 -C 一,3 2因 为 ABC是锐角三角形，所以0 C 3,所以asinB 的取值范围是(过6 2 3 1：4.在EL4BC中，角 A,B,C 的对边长依次是m b,c,b=2后求角B 的大小；当M BC面积最大时，求 回 BAC的平分线A。的长.时.,sin2 A+sin2 C+sin Asin C=sin2 B.【答案】(1)B=7 6【详解】(1)Hsin2 A+sin2 C+sin AsinC=sin2 B,团由正弦定理可得/+2一户=一 ac，团由余弦定理得cosB=_+c i =2ac 227r又E)BW(O,7C),0B=y.2(2)在0ABe 中，由余弦定理得/二/+/-2 ccos8=12=+/-2accos兀,BPa2+c2+ac=1 2.回。0,c 0,团/+。2之2讹，当且仅当。=c 时取等号，团 12=/+/+*2 3 改*=仇 W 4，当且仅当=c=2 时，（公）皿=4,又00A8C 面积为 S=zesin B=-acsn =-ac,2 2 3 4团当且仅当a=c=2时团4 8 c面积最大.当 a=c=2 时，Z B A C=ZC=-1-7 1 J=-.Jr又团AD为/S A C 的角平分线，0ZBAD=ZOAC=TT 7T IT团 在 EL48。中，Z A D B =Z D A C +Z C =-+-=-,1 3 在EL4B3中，由正弦定理得12 6 49BA D 2 g Z 2/Z-=-=AD=f=-=V6.2兀 .n、/2sin sm 3 4 25.某地区组织的贸易会现场有一个边长为1的正方形展厅ABC。，M,N 分别在8 c 和A 3边上，图中“OWN区域为休息区，A A D N ,N C D M及.B M N区域为展览区.若 BMN的周长为2,求 NMZW的大小;（2）若 N N D M=7 Tg请给出具体的修建方案，使得展览区的面积S最大，并求出最大值.O【答案】口）；冗（2）当4 4OV=冗 J 时，展览区的面积S最大，最大值为7:4 6 3【详解】（1）设8N=x,B M =y,则 tanZADN=l-x,tanZ C D M=l-y,又&BMN 的周长为2,.x+y+J f +V=?,则 Y+J =4 4(x+y)+(x+y)2,整理可得：xy=2(x+y)-2 f.,.tan(ZA W+N CDM)=-l-_x+l _y =2-(x+y)=-2-(x4工-y)=1,l-(l-x)(l-y)x+y-xy x+y _ 2(x+y)+2IT因为 0 NAZW+N CDW ，27 T T T:A D N +4CDM=，:M D N =-.4 4(兀、7 1 1 DM=；-(2)设/4Q N =6 0 。/3 sin cos 0 石 sin 29+cos 20+1 2sin(2J+0)+则当2，+：=巴，即夕=2 时，2sin(20+g1+l 取得最大值3,6 2 6 6)此 时 取 得 最 小 值;，T T 1 2则当NAZ)N=/时，展览区的面枳S最大，最大值为1-彳=彳.6 3 3金刷真题一、解答题1.（2022全国统考高考真题）记一ABC的内角A 8,C 的 对 边 分 别 为 c,已知si nC si n(A-B)=si nB si n(C-A).证明：2 a2=/+。2；2 5(2)若。=5,c os A =yj-,求 ABC 的周长.【答案】见解析 1 4【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证;（2）根 据（1）的 结 论 结 合 余 弦 定 理 求 出 从 而 可 求 得b +c,即可得解.【详解】（1）证明：因为si nC si n（A-3）=si n5 si n（C-A）,所以 si n C si n A c os B-si nC si n B c os A =si n 3 si n C c os A -si n B si n A c os C，所以公“2+/一 万_2儿/+入/=-而 +/一/2ac2hc 2aha2+b2-c22所以 2 a2 =/?2+c2;2 5(2)解：因为。=5,c osA =j由（1）得+。2=5 0,由余弦定理可得=b2+c2-2/?c c os A，贝 I J 5 0 史8 c =2 5,3 13 1所以b c =2故9+。)2=/+/+次=5 0+3 1 =8 1,所以b+c =9,所以/BC的周长为。+匕+。=1 4.2.（2。2 2 全国统考高考真题）记/3C的内角4 8.C的对边分别为m b,c,已 知 黑T言晟若c =?2 4,求B；（2）求 二 的 最 小 值.【答案】g0（2）4&-5.【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将产 吆 三=丁 出 外 化成cos（A+B）=s in B,再结1+sin A l+cos2BJT合0 8 彳，即可求出；2 由 知，C=W+B,4=：-2 8,再利用正弦定理以及二倍角公式将之 互 化成4cos2B+一一-5,22c2 cos2 B然后利用基本不等式即可解出.【详解】（1）因为cos Asin 28 2 sin B cos B sin B1 +sin A l+cos2B 2cos2 B cos 3,即sin B-cos A cos B-sin A sin B=cos(A+B)=-cos C=,而0 B 0,X si nB =-,lac 3WJ c osB =J l-f-T a c =,则S A 8 c=c si nB =；3 c osB 4 2 83.,b a c,b2 a c ac 4 9 ,b 3（2）由正弦定理得：一 彳=一 三=不，则一T=一=.4.=卡=1，则白=2,si nB si n A si nC si n B si n A si nC si n A si n C V 2 4 si n 3 2T,3._ 1b=s m B =.2 24.（2 0 2 2北京统考高考真题）在 金。中，si n2 C =V 3 si nC.求/C；（2）若b =6,且ABC的面积为66，求 C的周长.【答案】g0（2）6+6【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得c osC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；（2）利用三角形的面积公式可求得。的值，由余弦定理可求得。的值，即 可 求 得 的 周 长.【详解】（1）解：因为Ce（0,;r）,则s i n C 0,由已知可得G s i n C =2 si nC c osC ,可得c osC =走，因此，C =g.2 6（2）解：由三角形的面积公式可得S,?=i /?si nC =|tz=6,解得二46由 余 弦 定 理 可 得=/+-2 c o sC =48+3 6-2 x 4 7 5 x 6 x =12,:=2+，2所以，一 ABC的周长为a+6+c=6 G +6.5.（2021全国统考高考真题）记一A3C是内角A,B,C 的对边分别为。，b,c.已知从=妆，点。在边AC上，BDsin Z A B C=a sin C.（1）证明：B D =b；（2）若 AO=2 D C,求cosZABC.【答案】证明见解析；（2）cosZ4BC=3【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有80=竽，结合已知即可证结论.b（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边。与。的关系，然后利用余弦定理即可求得cosNABC的值.【详解】（1）设 4 8 c 的外接圆半径为R,由正弦定理，b c得 sin Z A B C=,sinC=,2/?2Rb c因为3Osin/ABC=a s in C,所以8。=a，即8。为=改.2R 2R又因为=a c,所以B D =b.（2）方法一【最优解】：两次应用余弦定理因为A）=2Z）C,如图，在.4 3 C 中，cosC=a +b C,lab3由 得 标+从-，=3/+（2-尸，整理得2/一 日/+。2=0.又因为=a c,所以6 6 11。+3 c J O,解得*或ag，当。=,=ac=J 时，a+h=+c（舍去）.3 3 3 3产）2 2 3 c 22 2 2 （J +C-i当”=与,=a c =工 时，c osZ A BC =-=2 2 2.c 1 227所以 c os/4 3 C =.1 2 方法二:等面积法和三角形相似2如图，已知A Z）=2 D C，则S 人 町）=SAAHC，1 7 2 1即一x 一 sin Z.AD B=x acxsin Z.ABC,2 3 3 2而 b2 3=ac 即 sin Z A D B=sin Z A B C,2?在.A BC 中，由正弦定理知c =；a,又由=,所以户3 3故有 N A Z）3 =NAe C,从而 N A S O=N C.A r 4 R A由=,即2=：,BP,即-ACBS-ABD,a b C B BD2h,A D AB nrl 故 另 =丁，即 3 _c,AB A C-Tc b2又/?2=c，所以 C =H，则 c osZ A B C =c-+=.2ac 1 2 方法三:正弦定理、余弦定理相结合2 1由（1）知=0 =再由 A D =2 D C 得 A Q =6,C D =/?.3 3在中，由正弦定理得A Dsin Z A B DBDsin A上 b2乂 N A B D =/C,所以 3 b,化简得sinC =-sin A .=-3sin C sin A在.A B C 中，由余弦定理，得8S/A 3 C=+2ac2 4 2 2 2a+-a a,9 3 二 72 x-a2 1237故 c os ZABC=.1 2 方法四:构造辅助线利用相似的性质如图，作。石 A3,交BC于点E,则 D E CSA/WC.由 A D =2 D C,D E-,E C =-,B E =.3 3 3（争+在,B E D 中，cosNBED=3-2 c/,一3 32 2 12在 _A 3 C 中 c os Z A B C =巴2ac因为 c os ZABC=-c os ABED,所以屋+。2-2ac（步+（十一/2a cA ,一3 3整理得6/一 1 归+3/=0.又因为户=ac,所以6/-1 1。+3。2=0 ,c 3即。=一或。=c .3 2下同解法L 方法五:平面向量基本定理LILltl UUU因为A D =2 Z）C,所以A O =2 O C.2 1 以向量BA,BC 为基底，有BD=-BC+BA.3 3一 一 ，2 4 2 4 1 2所以 8。=-BC+-BA BC+-BA,9 9 9,4,4 1,即 b-=a+-accosZABC-i 一c,9 9 9又因为匕 2=/，所以 9 a c =4 2 +4 c c os Z A B C+c?.由余弦定理得从=a2+0 2 -2 a c c osN A 8 C，所以 a c =+-2accos ZABC 联 立 ,得 6/_lla c+3 c 2=0.3 1所以a =c 或a =-c.2 3下同解法1.【方法六:建系求解以。为坐标原点，AC所在直线为x 轴，过点。垂直于AC的直线为），轴,D C长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则D（0,0）,A（-2,0）,C（l,0）.由（1）知，BD=b=AC=3,所以点8在以力为圆心，3为半径的圆上运动.设B（x,y）（-3 x +y 2 .J（x-l）2 +y 2 =9.（6）7 7 Q5联立解得x =-：或x =2 3 （舍去），2=,4 2 1 6代入式得a=|B C|=*,c =|5 4 1=3 ,由余弦定理得c os NABC=a”-*=_7 _2ac 1 2【整体点评】方 法-：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一 种确定边长比例关系的不错选择：方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.6.（2 0 2 1 全国统考高考真题）在.A B C 中，角A、8、C所对的边长分别为。、b、c,h=a+1,c=a+2.（1）若 2 s inC =3 s inA,求“WC 的面积；（2）是否存在正整数“，使得一A 3 C 为钝角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）”也；（2）存在，且“=2.4【分析】（1）由正弦定理可得出2 c =3。，结合已知条件求出。的值，进一步可求得匕、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出s in8,再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C为钝角，由c o s C ba,若 为 钝 角 三 角 形，则C为钝角,由余弦定理可得c o s C1 =a+b-c =a+(a +l)-(a+2)-=a-2a-3 nr 0 .2ab 2 a(t z +l)2 a(a +1)解得-l a a +2,可得。1,eZ,故。=2.