2020-2021学年朝阳第一高级中学高一年级上册学期期末数学试卷(含解析).pdf

2020-2021学年朝阳第一高级中学高一上学期期末数学试卷 对 于 任 意 的 第 您 鲫?*一、单选题(本大题共8小题，共 40.0分)1.已知集合4=x G Zx2 9 ,B=x|2，则4 n )22A.-2,-1,0 B.-2,-1,0,2 C.(-3,1)U(2,3)D.(|,3)2.给出下列说法：命 题“若x =kn(k e Z),则s in 2x =0”的否命题是真命题；命 题“m x G R,2X2+X+1 企”；已知a,b R,则“a b”是“2。2+1”的必要不充分条件.其中说法正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.33.己知集合4=y|y =2 l,x R ,B=xx2 x 2 0),则A.-1 e A B.有篦 C.=D.AJ B=A4.若渤黜刚，使不等式归-4|朴归-郢 娥在虚上的解集不是空集的僦的取值是A.3 D.以上均不对5.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了 100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为()A.0.4,0.4 B.0.5,0.5 C.0.4,0.5 D.0.5,0.46.已知x0,则 =%+/的 最 小 值 为()A.4 B.16 C.8 D.107 .有4个命题：对于任意靠电 鲤 口 讷 第 笳 峰 巴 存 在 潟 图 鲫 嘏 敕&、心广冬 年 J 5 4*1 1y腌 u 军；对于任意的家您斛佃魏C r 零4 3 G其中的真命题是()A.B.C.D.8.已知/(x)为定义在R 上的偶函数，当x W0 时，/(x)=2 L 则/(“)的 值 域 为()A.1,+8)B.(0,1)C.(0,1 D.(8,1二、多选题(本大题共4 小题，共 20.0分)9 .下列说法正确的有()A.两条相交直线确定一个平面B.平行于同一平面的两条直线平行C.标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度D.若某种奖券的中奖率为0.1,则抽奖10次必有一次中奖10.下列命题中，不正确的是()A.若3为单位向量，且五 落 则为=|中3B.若 明/且石高贝暇不C.a-a-a=|a|3D.若平面内有四点4,B,C,D,则必有而+前=而+而11.已知函数1骁，则下列说法不正确的是()A./(x)是非奇非偶函数 B.是增函数C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域是-1,+8)1 2.已 知 函 数=:。/。，其中实数aeR,则下列关于工的方程产色)一 Q+a)./Q)+a =0的实数根的情况，说法正确的有()A.a取任意实数时，方程最多有5个根B.当 二/a 0时,f (%+1)=f(x)+/(I),若直线y=k x与函数y=/(x)的图象恰有1 1个不同的公共点，则实数k的 取 值 范 围 为 .四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)1 7 .(本小题满分1 4分)已知命题少：实数加满足刊2-7 a初+1 2/0)，命题夕：实数出满足方程2 2 +上 一 =1表示焦点在V轴上的椭圆，若一1 0是一1。的充分不必要条件，求的取值范围.m-1 7.-m1 8 .从甲、乙两个班级各随机抽取1 0名同学的数学成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于9 0分为及格.(/)试完成甲班制取1 0名同学数学成绩频率分布表，并估计甲班的及格率.()从每班抽取的同学中各抽取一人，求至少有一人及格的概率.分组频数频率 7 0,8 0)8 0,9 0)9 0 J 0 0)1 0 0,1 1 0)1 9 .设函数g(x)=3*,h(x)=9X.(I)解关于x的方程h(x)-llg(x)+2/i(l)=0；(口)令下。)=舒，求 尸 岛)+尸(急)+/(翁+尸(勃 的 以2 0 .已知函数/(r)=lo gl(4x+l)+k c (k w R)是偶函数.求f(0)；(2)求实数上的值17(3)若在XC 凡+0 0)时，/(X)最 小 值 为lo g 4 ，求a的值42 1.给定两个长度为1的平面向量成和赤，它们的夹角为1 2 0。.B-太 求|成+而|;/)0 A(2)如图所示，点C在以。为圆心的圆弧才8上变动.若无=丫瓦？+丫赤，其中x,y&R,求x +y的最大值？2 2 .设二次函数/(%)=Q/+bx +c,其中a、b、c E R,(1)若b=2(a +l),c =9 a +4,且关于x的不等式。的解集为R,求a的取值范围；(2)若a、b、c e z,且 0)、1)均为奇数，求证：方程;(x)=0无整数根；(3)若a=l,b=2 k-l,c=k2,求证：方程f(x)=0有两个大于1的根的充要条件是k 2.参考答案及解析1.答案：B1 2解析：解：集合/=%G Nx2 9 =-2,1,0,1,2),B=x|2 =xx 则4 n B =-2,-1,0,2,故选：B.先求出集合4 和B,由此能求出A C B.本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.2.答案：C解析：求出使sm2 x=0 的x值判断；由不等式的性质得到2 退+工+1&并 写出原命题的否定判断；举例说明正确.本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分条件和必要条件的判定方法，考查了命题的否定，是基础题.解：命题 若x=e Z),则si n 2 x=0的否命题为“若x 力 Z),则s i n 2 x#0 ,举反例：/；.则si n 2 _ r si n r r 0 .故其否命题为假命题，故错误；2M+X+I=2(x+i)2+j 2 J V 2.命 题“次 G R,2 两工+1 b 不能得到2 a 2b+1,故充分性不成立;2 a 2b+1 2b,又y=2”在R 上单调递增，故a b,故必要性成立;则“a b”是“2。2 +1 ”的必要不充分条件,故正确.正确的命题是.故选：C.3.答 案:D解析：本题考查指数运算和一元二次不等式的解法，以及集合的有关问题，根据题目给定的条件，对选项一一验证即可.解:=刎辱,*一年，邸=标|2 E a，选 c。考点：本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义。点评：中档题，注意转化成求函数的最值问题，利用绝对值的几何意义解题。5 .答案：C解析：解：某同学用一枚质地均匀的硬币做了 1 0 0 次试验，发现正面朝上出现了4 0 次，那么出现正面朝上的频率为喘=0.4.由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是:，故出现正面朝上的概率为1=0.5,故选：C.由题意利用事件发生的频率和概率的定义，得出结论.本题主要考查事件发生的频率和概率的定义，属于基础题.6 .答案：C解析：解：1%0,y =%+竺 2 2 lx =8,x y j x当且仅当 =即x =4 时取等号，1-y=x +?的最小值为8.故选：C.根据x 0,y =x +?直接利用基本不等式求出最小值即可.本题考查了利用基本不等式求函数的最小值，考查了计算能力，属基础题.7 .答案：A解析：试题分析：命题：画出函数理=%蜒“根=酷 制的图，如左图，作直线般=，与两函数图像交点的横坐标为函数的底数所以城=1群周=3,所以由图知对于任意说管触口*弱即1需呼1嗨 巴 所 以 命 题：是现 国 i i 4真命题.命题：画 出 函 数 解=&陋=、的图，如左图，作直线富=n与两函数图像交点的纵坐标为函1.4数的底数所以阑=1做寓=工，所以由图知对于任意制图 虬卷Q&T卧&J 所以命题：是假命4!3；4题.命题：当 匹 宦撼虬当时“占%&支=2,螭觐宣即蜘购g =：!所以命题：是真命题.4 T 不 4司命题：由命题：画中出函数图像知醪=崛强森与察=在常/姒既有交点，又因为醪=崛强需与解=6互为反函数关于解=般对称，所以摩=1晦客与霹=E r在塞生辗遂有交点，所以命题：是假命题.故选A考点：指数函数与对数函数图像随底数变化特征及利用函数单调性比较大小，转化思想应用.8.答案：C解析：解：当XWO时，/（X）=2xe（o,l ,函数/（X）是偶函数，.函数/（X）的值域为（0,1 ，故选：C.先求出当x 0时 函 数 的 值 域，结合偶函数的值域与x 0时，/(%)=/+1为增函数，当XWO时，=不是单调函数，则 的 图 象 不 关 于 原 点 对 称，也不关于y轴对称，函数为非奇非偶函数，故A正确；函数f(x)在定义域中不单调，故B错误；函数在(0,+8)上不是周期函数，则在定义域中不是周期函数，故C错误；当x 0时，/(x)1；当x W 0时，/(x)G-1,1.可得/(的值域为-1,+8),故。正确.故选：BC.由分段函数的对称性判定4由XW0时函数/(x)不单调判定B；由周期函数的定义判断C；求解函数的值域判断D.本题考查分段函数单调性、奇偶性及周期性的判定，考查推理论证能力，是基础题.12.答案：CD解析：解：关于工的方程产(%)-(1+a)/(%)+a=0,即/(%)-a=0,解得/(%)=1或/(x)=a,函 如 北 咚 人 J I j 人 v z当 0时，/(%)=ln(x+1)单调递增,当 1时，方程/(x)=a有2个根,当0 W a W 1时，方程/(X)=a有1个根,故当a 1 时，已知方程有3个根，当0 4 a l时，已知方程有2个根，当a=l 时，已知方程有1个根;由两个图象可知，lW a 0 时，方程/(x)=1有2个根，方程/(x)=a没有根，故已知方程有2个根;当a -l 时，函数/(x)的图象如下:方程f(x)=1有2个根，下面讨论最小值1 一。2与&的关系，由i a 2 a,解得a 土 叵2当a 二#时，l-a 2 a,直线y=a 如图，方程/l(x)=&有2个根，故已知方程有4个根；当 1=三 亚 时，1 一12=1,直线y=a如图，方程/(x)=。有1个根，故已知方程有3个根；当 三 更 a a,直线y=a 如图，方程/(x)=a 没有根，故已知方程有2个根.综上可知，a取任意值时，方程最多有4个根，故选项A错误：当士 走 。l 时，方程有3个根，故选项B2错误；当a=时，方程有3个根，故选项C 正确；2当a$-4 正确.故选：CD.先化简方程为f(x)=1或/(x)=a,再对a进行分类讨论，结合图象来确定/(x)=1和/(x)=a 分别有几个根，根据结果对选项逐一判断即可.函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题.13.答案：(1,3)解析：解：方程log2+x M=o在区间(1,2)上有实根，,函数/(久)=log2x+%-m在区间(1,2)上有零点，f (x)=log2%+%-机在区间(1,2)上单调递增，即(1-7n)(3 m)0,即(m l)(m 3)0,解得1 V m V 3,故答案为：(1,3).由方程log2%+%-ni=0在区间(1,2)上有实根，则函数/(%)=log2%+X-6 在区间(L2)上有零点，根据函数的单调性和函数的零点存在定理可知f (1)/(2)0,解得即可.本题考查了函数零点的存在定理，属于基础题.14.答案：8解析：解：设幕函数f(x)=x。，a 为常数，幕函数y=/(x)的图象经过点(8,/(8)=8a=p 即a=_/1/(x)=X-3，忌)=(全产=端*=T =8.故答案为：8.设出幕函数/(%)=%a,a为常数，把点(8弓)代入，求出待定系数a的值，得到幕函数的解析式，进而可求/(2)的值.本题考查幕函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法.属于基础题.15.答案：解析：解：因为向量不=(2x+1,4),Z=(2%3)，由乙/落所以3(2%+1)-4(2 -x)=0,解得故答案为也根据题目给出的向量的坐标，直接由两个向量共线的坐标表示列式求解x的值.本题考查了平行向量与共线向量，考查了平行向量的坐标运算，解答的关键是熟记坐标运算公式，是基础题.16.答案：(2V6-4,4V3-6)y =/(x)的图象恰有1 1个不同的公共点，则的 k k2.故答案为(2遍-4.4 V 3-6).作出/(x)的图象，根据交点个数判断直线的临界位置.根据导数与切线的关系列出方程解出.本题考查了函数的图象变换，导数与切线的关系，图象的交点个数与零点的关系，属于中档题.作出函数图象是关键.1 31 7.答案：ia.解析：解：由m 2 _ 7 am+l 2 a2 0)，贝i 3a m 4 a，即命题p：3 a m 0,w-l 2-m 23即命题g：lw l ,13 1 33 a,故答案为：.4 a q 3 8 3 81 8.答案：解:(/)分组频数频率 7 0,8 0)30.3 8 0,9 0)30.3 9 0,1 00)20.2 1 00,1 1 0)20.2估计甲班的及格率为0.2 +0.2 =0.4,(/)甲班有6人不及格，编号为a,b,c,d,e,f；乙班有5人不及格，编号为1,2,3,4,5.从每班抽取的同学中各抽取一人，共有1 0 x l 0=1 00个基本事件.其中事件“从两班1 0名同学中各抽取一人，两人都不及格”记作4则4的基本事件有：a l,a2,a 3,a 4,a 5；b l,b2,63,b4,b5；c l,c2,c3,c4,c5；d l,d2,d3,d4,d5；e l,e2,e3,e4,e5；f l,f2,/3,f4,75,共30个基本事件，则 P（/）=2 1 =三，对立事件“从每班抽取的同学中各抽取一人，至少有一人及格”的概率为1 一卷解析：（/）利用茎叶图，能完成甲班10名同学数学成绩频率分布表，并能估计甲班的及格率.（）先求出从两班10名同学中各抽取一人，两人都不及格的概率，再利用对立事件求“从每班抽取的同学中各抽取一人，至少有一人及格”的概率.本题考查频率分布表的制作和概率的求法，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，求概率时要注意间接法的合理运用.19.答案：解：(I)根据题意，函数g(x)=3 h(x)=9x,B|J9x-l l x 3x+18=0,设t=3”,则有12-l i t+18=0,解可得：1=2或 =9,若3丫 =2,贝收=log32,若3乂 =9,则x=2,故方程的解为2和log32；（口）根据题意，中）=舒二号，贝双1%）=号=磊，plljF(x)+F(1-x)=1,故尸（/）+尸（嘉）+尸（黑）+尸（髭）=尸（薪）+尸（黑）+尸（施）+?（霆）+-=1009.5.解析：（1）根据题意，原方程即/一 1 1*3 +18=0,设t=3 H 由换元法可得1 2-l i t+18=0,解可得t的值，进而可得比的值，即可得答案；（2）根据题意，由函数的解析式可得F（l-x）的值，进而可得“x）+F（l-x）=l,据此分析可得答案.本题考查函数值的计算，涉及指数基的计算，属于基础题.20.答案：解：/(0)=log4 2=；(2)因为函数f(x)为偶函数，故/(1)=/(-1)log 4 5+上=log 4 1一 上解得k=-；2(3)由(2)将原函数可以化简为/(x)=log 4=log 4(2+因为函数y=log4X为(0,+8 )上的单调增函数 2、所以只需要(1 2，42+3可 取 到 二I 2*4解 得2*之4,且2*=4时 函 数 刚 好 取 得 最 小 值，所 以a=2.解析：将x=0代入即可求解；(2)因为f(x)为偶函数，利用/(1)=门1)即可；(3)将A的值代入/(%),然后根据对数的运算法则将/Xx)化简为/(x)=lo g 4=4 =log4(2+/)，然后利用单调性即可求出a的值.21.答案：解：(1)平面向量初 和 赤 的两个长度为1,它们的夹角为120。.-.OA2=0B2=1，OA-OB=lOA+OB=J(OA+OB)2=JoA2+OB2+2 0A-0B=1(4分)(2)如图所示，建立直角坐标系，则4(1,0),C(cosd.sind).由浙 a+y而，得cos。-后,s i n 5.即x=c o se+?sim y=sinO.则 +y=y/3sin0+cosd=2sm(0+-)6又e e 0,争，则0+注 碎，引，故当。=寸，x +y的最大值是2.(1 4分)解析：由已知中两个长度为1的平面向量就和丽，它们的夹角为1 2 0。我们可得就2=诂2 =,O A-OB=-,进而将|OA+OB|化为拈 才+而2+2讪.赤 的 形 式,代入即可得到答案.(2)由已知中C在以。为圆心的圆弧Z B上变动.我们可设C(c o s。,s i n。)，结 合 元=x 6?+y而，我们易求出x,y(均含参数。)，进而得到x +y的表达式，根据正弦型函数的性质，易求出x +y的最大值.本题考查的知识点是向量的数量积，向量的模，三角函数的最值，是平面向量与三角函数的综合应用，其中的关键是将|市+丽|化为而 才 十而2 +2。而 的 形 式,(2)的关键是求出x +y=2 s讥(0 +5，将问题转化为三角函数的最值问题.2 2.答案：解：(1)由孝嘿 变?且解集为凡所以4 个即1、万 解 得。-3(=-4 ac 0 2所以a的取值范围(-8,-卞.(2)/(0)=c,/(l)=a +b +c均为奇数，知a +b为偶数，所以/(%)=ax2+b%+c=0有两个根为%1,x2，则+亚=-3，xix2=(，L当a、b为偶数时，若与，外都为整数，则 氏c必须同时可被Q整除，显然不成立；若%1为整数，久2不为整数，Q*，故1都为偶数，则+b%i +c=0与题设矛盾，2,当a、b为奇数时，若工 小都为整数，+%2 =-，必为奇数，则与，小必有一奇一偶，工6 2必为偶数，而:为奇数，不成立，若与=也才”整理得的(a/+b)=-c,当与为奇数时，。与+6为偶数，贝k为偶数，与题设矛盾；x i为偶数时，a x i +b为奇数，贝b为偶数，与题设矛盾；综上，知方程f(x)=0无整数根.(3)由题意，知/(%)=/+(2 k -l)x +小，T 1若/(x)=0有两个大于1的根时，有2 1 ,解得k 0若k/=k2+2k0,=(2k-I/-41=1 一 ”9,所以/(x)=0有两个根大于1的根，综上，方程f(x)=0有两个大于1的根的充要条件是k -2.解析：(1)根据不等式解集为R,结合分式，二次函数的性质，即可求参数a的取值范围；(2)利用反证法，分打，犯都为整数，xi为整数，灯不为整数三种情况，结合a、b的奇偶性即可证明方程f(x)=0无整数根；(3)根据二次方程根的分布列条件，证明即可.本题考查了根据分式不等式、二次函数的性质求参数范围，应用反证法证明存在性问题，以及定义法证明条件的充要性，属中档题.