抛物线专题复习讲义及练习答案中学教育中考_中学教育-中考.pdf
抛物线 1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(0p)：2.抛物线的焦半径、焦点弦)0(22ppxy的焦半径PF2Px;)0(22ppyx的焦半径PF2Py；过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为 2p.AB 为抛物线pxy22的焦点弦，则BAxx 42p，BAyy2p，|AB=pxxBA 考点1 抛物线的定义 题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 例 1 已知点 P在抛物线 y2=4x 上，那么点 P到点 Q（2，1）的距离与点 P到抛物线焦点距离之和的最小值为 【解题思路】将点 P到焦点的距离转化为点 P到准线的距离 解析过点 P作准线的垂线l交准线于点 R，由抛物线的定义知，PRPQPFPQ，当P点为抛物线与垂线l的交点时，PRPQ 取得最小值，最小值为点 Q到准线的距离,因准线方程为 x=-1,故最小值为 3【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】1.已知抛物线22(0)ypx p的焦点为F，点111222()()P xyP xy，333()P xy，在抛物线上，且|1FP、|2FP、|3FP成等差数列，则有 （）A321xxx B 321yyy C2312xxx D.2312yyy 解析C 由抛物线定义，2132()()(),222pppxxx即：2312xxx 2.已知点),4,3(AF 是抛物线xy82的焦点,M 是抛物线上的动点,当MFMA 最小时,M 点坐标是 ()A.)0,0(B.)62,3(C.)4,2(D.)62,3(解析 设 M 到准线的距离为MK,则MKMAMFMA|，当MKMA 最小时，M 点坐标是)4,2(，选 C 考点 2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程 例 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线240 xy 上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.解析(1)设所求的抛物线的方程为22ypx 或22(0)xpy p,过点(-3,2)229)3(24pp或 2934pp或 抛物线方程为243yx 或292xy,前者的准线方程是1,3x 后者的准线方程为98y (2)令0 x 得2y ，令0y 得4x，抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p,8p，此时抛物线方程216yx;焦点为(0,-2)时22p 4p，此时抛物线方程28xy.所求抛物线方程为216yx或28xy,对应的准线方程分别是4,2xy.【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面【新题导练】3.若抛物线22ypx的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合,则p的值 解析4132pp 4.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与 Y轴的交点，A为抛物线上一点,且3|,17|AFAM，求此抛物线的方程 解析 设点A是点A在准线上的射影，则3|AA，由勾股定理知22|MA，点 A的横坐标为)23,22(p，代入方程pyx22得2p或 4，抛物线的方程yx42或yx82 考点 3 抛物线的几何性质 题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证 也被称做通径其长度为为抛物线的焦点弦则考点抛物线的定义题型利用定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例已知点在抛物线上那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和的最小值为解题思路将点到焦时取得最小值最小值为点到准线的距离因准线方程为故最小值为名师指引灵活利用抛物线的定义就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换一般来说用定义问题都与焦半径问题相关新题导练已知抛物线的焦点为解析设到准线的距离为则当最小时点坐标是考点抛物线的标准方程题型求抛物线的标准方程例求满足下列条件的抛物线的标准方程并求对应抛物线的准线方程焦点在直线过点上解题思路以方程的观点看待问题并注意开口方向的讨论例 3 设 A、B 为抛物线pxy22上的点,且90 AOB(O 为原点),则直线 AB 必过的定点坐标为_.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置 解析设直线 OA 方程为kxy,由pxykxy22解出A 点坐标为)2,2(2kpkp pxyxky212解出 B 点坐标为)2,2(2pkpk，直线 AB 方程为221)2(2kpkxkpky,令0y得px2，直线 AB 必过的定点)0,2(p【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线 AB,求交点即可；（2）B 点坐标可由 A点坐标用k1换 k 而得。【新题导练】6.若直线10axy 经过抛物线24yx的焦点，则实数a 解析-1 7.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、B,若 A、B 在抛物线准线上的射影为11,BA,则11FBA ()A.45 B.60 C.90 D.120 解析C 基础巩固训练 1.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B两点，它们的横坐标之和等于)(422Raaa，则这样的直线（）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或 2 条 D.不存在 解析C 44)1(52|22aaapxxABBA，而通径的长为 4 2.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线24xy上的点P到该抛物线焦点的距离为 5，则点P 的纵坐标为（）A.3 B.4 C.5 D.6 解析 B 利用抛物线的定义，点 P 到准线1y的距离为 5，故点 P 的纵坐标为 4 3.两个正数 a、b 的等差中项是92，一个等比中项是2 5，且,ba 则抛物线2()yba x 的焦点坐标为()也被称做通径其长度为为抛物线的焦点弦则考点抛物线的定义题型利用定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例已知点在抛物线上那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和的最小值为解题思路将点到焦时取得最小值最小值为点到准线的距离因准线方程为故最小值为名师指引灵活利用抛物线的定义就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换一般来说用定义问题都与焦半径问题相关新题导练已知抛物线的焦点为解析设到准线的距离为则当最小时点坐标是考点抛物线的标准方程题型求抛物线的标准方程例求满足下列条件的抛物线的标准方程并求对应抛物线的准线方程焦点在直线过点上解题思路以方程的观点看待问题并注意开口方向的讨论A1(0,)4 B1(0,)4 C1(,0)2 D1(,0)4 解析 D.1,4,5abba 4.如果1P，2P，8P是抛物线24yx上的点，它们的横坐标依次为1x，2x，8x，F 是抛物线的焦点，若)(,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx，则|5FP=（）A5 B6 C 7 D9 解析B 根据抛物线的定义，可知12iiipPFxx （1i，2，n），)(,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx,55x,|5FP=6 5、抛物线,42Fxy的焦点为准线为 l，l 与 x 轴相交于点 E，过 F 且倾斜角等于 60的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，ABl，垂足为 B，则四边形 ABEF 的面积等于（）A33 B34 C36 D38 解析 C.过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H，设),(nmA，则1,1mOFOHFHmABAF，32,3)1(21nmmm 四边形 ABEF 的面积=32)13(22136 6、设O是坐标原点，F是抛物线24yx的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为 解析21.过 A 作ADx轴于 D，令FDm，则mFA2即mm22，解得2m)32,3(A21)32(322OA 综合提高训练 7.在抛物线24yx上求一点，使该点到直线45yx的距离为最短，求该点的坐标 解析 解法 1：设抛物线上的点)4,(2xxP，点P到直线的距离17|544|2xxd1717417|4)21(4|2x，当且仅当21x时取等号，故所求的点为），（121 也被称做通径其长度为为抛物线的焦点弦则考点抛物线的定义题型利用定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例已知点在抛物线上那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和的最小值为解题思路将点到焦时取得最小值最小值为点到准线的距离因准线方程为故最小值为名师指引灵活利用抛物线的定义就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换一般来说用定义问题都与焦半径问题相关新题导练已知抛物线的焦点为解析设到准线的距离为则当最小时点坐标是考点抛物线的标准方程题型求抛物线的标准方程例求满足下列条件的抛物线的标准方程并求对应抛物线的准线方程焦点在直线过点上解题思路以方程的观点看待问题并注意开口方向的讨论解法 2：当平行于直线45yx且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为bxy 4，代入抛物线方程得0442bxx，由01616b得21,1xb，故所求的点为），（121 8.已知抛物线2:axyC（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线c上一个动点，过点P且与抛物线c相切的直线记为l（1）求F的坐标；（2）当点P在何处时，点F到直线l的距离最小？解：（1）抛物线方程为yax12 故焦点F的坐标为)41,0(a （2）设20000 ),(axyyxP则 2 ,20axkPaxy）的切线的斜率点处抛物线（二次函数在 直线l的方程是)(2 0020 xxaxaxy 0 2 200 axyxax即.411441)1()2(410 20222020axaaaxaxad )0,0(0 0的坐标是此时时上式取“”当且仅当Px .LF0,0)(P的距离最小到切线处时，焦点在当 9.设抛物线22ypx（0p）的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点点 C 在抛物线的准线上，且 BCX轴证明直线 AC 经过原点 O 证明:因为抛物线22ypx（0p）的焦点为,02pF，所以经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 2pxmy，代人抛物线方程得 2220ypmyp 若记11,A x y，22,B xy，则21,yy是该方程的两个根，所以 212y yp 也被称做通径其长度为为抛物线的焦点弦则考点抛物线的定义题型利用定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例已知点在抛物线上那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和的最小值为解题思路将点到焦时取得最小值最小值为点到准线的距离因准线方程为故最小值为名师指引灵活利用抛物线的定义就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换一般来说用定义问题都与焦半径问题相关新题导练已知抛物线的焦点为解析设到准线的距离为则当最小时点坐标是考点抛物线的标准方程题型求抛物线的标准方程例求满足下列条件的抛物线的标准方程并求对应抛物线的准线方程焦点在直线过点上解题思路以方程的观点看待问题并注意开口方向的讨论因为 BCX轴，且点 C 在准线2px 上，所以点 C 的坐标为2,2py，故直线 CO 的斜率为21112.2yypkpyx 即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O 10.椭圆12222byax上有一点 M（-4，59）在抛物线pxy22（p0）的准线 l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点 N 在抛物线上，过 N 作准线 l 的垂线，垂足为 Q 距离，求|MN|+|NQ|的最小值.解：（1）12222byax上的点 M 在抛物线pxy22（p0）的准线 l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.c=-4，p=8 M（-4，59）在椭圆上 125811622ba 222cba 由解得：a=5、b=3 椭圆为192522yx 由 p=8 得抛物线为xy162 设椭圆焦点为 F（4，0），由椭圆定义得|NQ|=|NF|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|=541)059()44(22，即为所求的最小值.也被称做通径其长度为为抛物线的焦点弦则考点抛物线的定义题型利用定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例已知点在抛物线上那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和的最小值为解题思路将点到焦时取得最小值最小值为点到准线的距离因准线方程为故最小值为名师指引灵活利用抛物线的定义就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换一般来说用定义问题都与焦半径问题相关新题导练已知抛物线的焦点为解析设到准线的距离为则当最小时点坐标是考点抛物线的标准方程题型求抛物线的标准方程例求满足下列条件的抛物线的标准方程并求对应抛物线的准线方程焦点在直线过点上解题思路以方程的观点看待问题并注意开口方向的讨论
