高中数学联赛四川赛区初赛中学教育竞赛题_中学教育-竞赛题.pdf
学习必备 欢迎下载 20XX 年高中数学联赛 四川赛区初赛试题 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分）1、已知条件p：342sin1 和条件 q：34cossin则p是q的（）A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、在 5 件产品中有 4 件正品、1 件次品从中任取 2 件，记其中含正品的个数个数为随机变量，则的数学期望E是（）A、56 B、57 C、58 D、59 3、设正三棱锥ABCS 的底面边长为 3，侧棱长为 2，则侧棱SA与底面ABC所成的角的大小是（）A、30 B、45 C、60 D、2arctan 4、已知函数424)42()(24224xxxkkxxf的最小值是 0，则非零实数k的值是（）A、4 B、2 C、2 D、4 5、长方体1111DCBAABCD 的八个顶点都在球O的球面上，其中11AA，22AB，33AD，则经过CB、两点的球面距离是（）A、32 B、34 C、2 D、4 6、对任意实数m，过函数1)(2mxxxf图象上的点)2(,2(f的切线恒过一定点P，则点P的坐标为（）A、)3,0(B、)3,0(C、)0,23(D、)0,23(7、设 A1、A2为椭圆)0(12222babyax的左右顶点，若在椭圆上存在异于 A1、A2的 点P，使得02 PAPO，其中 O 为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A、)21,0(B、)22,0(C、)1,21(D、)1,22(8、记)0(,)33()(),(22yyxyxyxF，则),(yxF的最小值是（）学习必备 欢迎下载 A、512 B、516 C、518 D、4 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）1、)(xf是定义在R上的奇函数，且)1()(xfxf，则)2010(f 2、实数yx，满足6|1|2|1|3yx，则yx32 的最大值是 3、在数列na中，11a，当2n时，21,nnnSSa成等比数列，则nnan2lim 4、集合的容量是指集合中元素的和则满足条件“7,6,5,4,3,2,1A，且若Aa时，必有Aa8”的所有非空集合A的容量的总和是 （用具体数字作答）三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分）13、已知函数)43cos(32cos4)4sin(2)4sin()(xxxxxf （I）试判断函数)(xf的奇偶性，并给出证明；（II）求)(xf在,2上的最小值与最大值 14、已知F为抛物线xy42的焦点，M 点的坐标为(4,0)，过点 F 作斜率为1k的直线与抛物线交于 A、B两点，延长 AM、BM 交抛物线于 C、D 两点，设直线CD的斜率为2k（I）求21kk的值；（II）求直线 AB 与直线 CD 夹角 的取值范围 15、已知函数1)(23xmxxxf，其中m为实数 （I）求函数)(xf的单调区间；（II）若对一切的实数x，有47|)(xxf成立，其中)(xf 为)(xf的导函数求实数m的取值范围 16、已知nS是数列na的前n项的和，对任意的正整数n，都有nnnbaSb4)1(成立，其中0b （I）求数列na的通项公式；（II）设nnnac4)(Nn，若2|nc，求实数b的取值范围 参考答案 选择题：1、C。解：因为34cossin)cos(sin2sin12，故p是q的充要条件故选 C 的充分但不必要条件必要但不充分条件充要条件既不充分也不必要条件在件产品中有件正品件次品从中任取件记其中含正品的个数个数为随机变量则的数学期望是设正三棱锥的底面边长为侧棱长为则侧棱与底面所成的角的大小是已过函数图象上的点的切线恒过一定点则点的坐标为设为椭圆的左右顶点若在椭圆上存在异于的点使得其中为坐标原点则椭圆的离心率的取值范围是记则的最小值是学习必备欢迎下载二填空题本大题共个小题每小题分共分是定义在上时必有的所有非空集合的容量的总和是用具体数字作答三解答题本大题共个小题每小题分共分已知函数试判断函数的奇偶性并给出证明求在上的最小值与最大值已知为抛物线的焦点点的坐标为过点作斜率为的直线与抛物线交于两点学习必备 欢迎下载 2、C.解：数学期望是：582125242514CCCC故选 C.3、A.解：设顶点S在底面ABC的射影是H，则H为ABC的外心从而323332AH，于是可得30 SAH故选 A 4、B 解：42)62(1)(2422xxxkkxf，因为2444xx，故61420242xxx 当0622 kk时，1minf，不合题意；当0622 kk时，)62(611,12minmaxkkff，由条件知0)62(6112kk，解得2k或 0（舍去）故选 B.5、C 解：球O的半径3)33()22(12122R，在OBC中3 OCOB，33ADBC，则21cos BOC，从而32 BOC 所以，经过CB、两点的球面距离是23132故选 C 6、B 解：因为mxxf2)(，故mf4)2(于是过)2(,2(f的切线方程是：)2)(4()25(xmmy 即3)4(xmy，因此切线方程恒过)3,0(故选 B 7、D 解：由题设知OPA2=90，设 P(x,y)(x0)，以 OA2为直径的圆方程为4)2(222ayax，与椭圆方程联立得0)1(2222baxxab由题设知，要求此方程在(0,a)上有实根 由此得aaba)1(2022化简得212e，所以 e 的取值范围为)1,22(故选 D 8、C 解：设动点)3,(xxP与)3,(yyQ，则2),(PQyxF，点P的轨迹为直线3xy，点Q的轨迹为双曲线xy3，双曲线上的任一点)3,(00 xx到直线03 yx的距离 106103300 xxd，当30 x时等号成立故),(yxF的最小值为518故选 C 填空题：的充分但不必要条件必要但不充分条件充要条件既不充分也不必要条件在件产品中有件正品件次品从中任取件记其中含正品的个数个数为随机变量则的数学期望是设正三棱锥的底面边长为侧棱长为则侧棱与底面所成的角的大小是已过函数图象上的点的切线恒过一定点则点的坐标为设为椭圆的左右顶点若在椭圆上存在异于的点使得其中为坐标原点则椭圆的离心率的取值范围是记则的最小值是学习必备欢迎下载二填空题本大题共个小题每小题分共分是定义在上时必有的所有非空集合的容量的总和是用具体数字作答三解答题本大题共个小题每小题分共分已知函数试判断函数的奇偶性并给出证明求在上的最小值与最大值已知为抛物线的焦点点的坐标为过点作斜率为的直线与抛物线交于两点学习必备 欢迎下载 1、解：由条件知0)0(f，)()()1(xfxfxf，于是)()2(xfxf，即)(xf是以 2 为周期的周期函数所以，0)0()2010(ff故填 0 2、解：由6|1|2|1|3yx确定的图形是以四边形ABCD及其内部，其中)4,1(A、)1,1(B、)2,1(C、)1,3(D 由线性规划知识知，yx32 的最大值是 4，当2,1yx时可取到故填 4 3、解：由条件知当2n时，)21)()21(12nnnnnnSSSSaS 从而2111nnSS，于是 12)1(2111nnSSn，所以121nSn 于是)32)(12(23211211nnnnSSannn 所以，nnan2lim21)32)(12(2lim)32)(12(2lim2nnnnnnn故填21 4、解：先找出满足条件的单元素和二元素的集合有：41A，7,12A，6,23A，5,34A，将这四个集合中的元素任意组合起来也满足要求，则所有符合条件的集合 A 中元素的总和是：2242)8884(3 故填 224.解答题：13、解：（I）)sin(cos2232cos4)cos(sin2)cos(sin22)(xxxxxxxxf xx2cos4cos22 .5分 )(2cos4cos22)2cos(4)cos(22)(xfxxxxxf 所以，)(xf为偶函数 .10分 （II）)1cos2(4cos22)(2xxxf 4cos22cos82xx 417)82(cos82x .15分 因为,2x，故01x，的充分但不必要条件必要但不充分条件充要条件既不充分也不必要条件在件产品中有件正品件次品从中任取件记其中含正品的个数个数为随机变量则的数学期望是设正三棱锥的底面边长为侧棱长为则侧棱与底面所成的角的大小是已过函数图象上的点的切线恒过一定点则点的坐标为设为椭圆的左右顶点若在椭圆上存在异于的点使得其中为坐标原点则椭圆的离心率的取值范围是记则的最小值是学习必备欢迎下载二填空题本大题共个小题每小题分共分是定义在上时必有的所有非空集合的容量的总和是用具体数字作答三解答题本大题共个小题每小题分共分已知函数试判断函数的奇偶性并给出证明求在上的最小值与最大值已知为抛物线的焦点点的坐标为过点作斜率为的直线与抛物线交于两点学习必备 欢迎下载 所以，当0cosx时，)(xf有最小值4；当82cosx时，)(xf有最大值417 .20分 14、解：（I）由条件知)0,1(F，设),(11yxA、),(22yxB、),(33yxC、),(44yxD，不妨设01y 直线AB的方程为)1(1xky，与xy42联立得04412yky 所以421yy，121xx .5分 当41x时，则)4,4(A，故1412yy，412x，即)1,41(B 直线AM的方程为4x，从而)4,4(C；直线BM的方程为：)4(154xy，与xy42联立得016152 yy，得164y，644x，即)16,64(D 于是341k，31464)4(162k所以421kk .10分 当41x时，直线 AM 方程为)4(411xxyy与抛物线方程xy42 联立得21221)4(4)4(xxxy，又由1214xy，化简上述方程得016)16(12121xxxxx 此方程有一根为 x1，所以另一根1316xx，1316yy即)16,16(11yxC，同理，)16,16(22yxD 所以，112122121121224116161616kxxyyyyxxxxyyk，即421kk .15分 由、可知421kk （II）43431tan2112121kkkkkk，故43arctan 所以，直线 AB 与直线 CD 夹角 的取值范围是43arctan,0(.20分 15、解：（I）因为123)(2mxxxf，01242m 所以0)(xf有两个不等实根：的充分但不必要条件必要但不充分条件充要条件既不充分也不必要条件在件产品中有件正品件次品从中任取件记其中含正品的个数个数为随机变量则的数学期望是设正三棱锥的底面边长为侧棱长为则侧棱与底面所成的角的大小是已过函数图象上的点的切线恒过一定点则点的坐标为设为椭圆的左右顶点若在椭圆上存在异于的点使得其中为坐标原点则椭圆的离心率的取值范围是记则的最小值是学习必备欢迎下载二填空题本大题共个小题每小题分共分是定义在上时必有的所有非空集合的容量的总和是用具体数字作答三解答题本大题共个小题每小题分共分已知函数试判断函数的奇偶性并给出证明求在上的最小值与最大值已知为抛物线的焦点点的坐标为过点作斜率为的直线与抛物线交于两点学习必备 欢迎下载 3321mmx，3322mmx，显然21xx .5分 当21xxx时，0)(xf，即)(xf单调递减；当2xx 或1xx 时，0)(xf，即)(xf单调递增；综上所述，有)(xf的单调递减区间为：332 mm，332 mm；单调递增区间为：)33,(2mm、),33(2 mm .10分（II）由条件有：47|1232xmxx，当0 x时，043)12(32xmx，即12433mxx在0 x时恒成立 因为34332433xxxx，当21x时等号成立 所以123 m，即1m .15分 当0 x时，043|)12(|32xmx，即mxx21|43|3在0 x时恒成立，因为3|43|32|43|3xxxx，当21x时等号成立 所以m213，即1m 当0 x时，Rm 综上所述，实数m的取值范围是 1,1 .20分 16、解：（I）当1n时，有4)1(11baab，故41a 当2n时，nnnbaSb4)1(及 1114)1(nnnbaSb 于是 1143)()1(nnnnaabab 即1143nnnbaa 若4b，则434411nnnnaa，于是)1(43441naann 从而 14)13(nnna)2(n 所以，14)13(nnna)1(n .5分 若4b，则)443(44311nnnnbabba 的充分但不必要条件必要但不充分条件充要条件既不充分也不必要条件在件产品中有件正品件次品从中任取件记其中含正品的个数个数为随机变量则的数学期望是设正三棱锥的底面边长为侧棱长为则侧棱与底面所成的角的大小是已过函数图象上的点的切线恒过一定点则点的坐标为设为椭圆的左右顶点若在椭圆上存在异于的点使得其中为坐标原点则椭圆的离心率的取值范围是记则的最小值是学习必备欢迎下载二填空题本大题共个小题每小题分共分是定义在上时必有的所有非空集合的容量的总和是用具体数字作答三解答题本大题共个小题每小题分共分已知函数试判断函数的奇偶性并给出证明求在上的最小值与最大值已知为抛物线的焦点点的坐标为过点作斜率为的直线与抛物线交于两点学习必备 欢迎下载 于是11)443(443nnnnbbaba 从而 nnnbbba443)4124(1)2(n 所以，nnnbbba443)4124(1)1(n 综上所述，)4(443)4124()4(4)13(11bbbbbnannnn .10分 （II）若4b时，413 ncn，显然不满足条件，故4b 当4b时，43)4()4()1(4bbbbbcnn 若4b时，0)4()1(4bbb，故当n时，nc，不符合条件，舍去 若10 b时，0)4()1(4bbb，043b，故从而nc为单调递减数列，且0nc 所以，只须21411ac即可，显然成立故10 b符合条件；.15分 若1b时，1nc，显然也满足条件故1b符合条件；若41 b时，0)4()1(4bbb，043b，从而nc为单调递增数列，因为011c 故0nc，要使2|nc成立，只须243limbcnn即可于是251 b 故251 b符合条件 综上所述，所求的实数b的范围是25,0(.20分 的充分但不必要条件必要但不充分条件充要条件既不充分也不必要条件在件产品中有件正品件次品从中任取件记其中含正品的个数个数为随机变量则的数学期望是设正三棱锥的底面边长为侧棱长为则侧棱与底面所成的角的大小是已过函数图象上的点的切线恒过一定点则点的坐标为设为椭圆的左右顶点若在椭圆上存在异于的点使得其中为坐标原点则椭圆的离心率的取值范围是记则的最小值是学习必备欢迎下载二填空题本大题共个小题每小题分共分是定义在上时必有的所有非空集合的容量的总和是用具体数字作答三解答题本大题共个小题每小题分共分已知函数试判断函数的奇偶性并给出证明求在上的最小值与最大值已知为抛物线的焦点点的坐标为过点作斜率为的直线与抛物线交于两点学习必备 欢迎下载 的充分但不必要条件必要但不充分条件充要条件既不充分也不必要条件在件产品中有件正品件次品从中任取件记其中含正品的个数个数为随机变量则的数学期望是设正三棱锥的底面边长为侧棱长为则侧棱与底面所成的角的大小是已过函数图象上的点的切线恒过一定点则点的坐标为设为椭圆的左右顶点若在椭圆上存在异于的点使得其中为坐标原点则椭圆的离心率的取值范围是记则的最小值是学习必备欢迎下载二填空题本大题共个小题每小题分共分是定义在上时必有的所有非空集合的容量的总和是用具体数字作答三解答题本大题共个小题每小题分共分已知函数试判断函数的奇偶性并给出证明求在上的最小值与最大值已知为抛物线的焦点点的坐标为过点作斜率为的直线与抛物线交于两点
