高中数学联赛江苏初赛模拟试题中学教育竞赛题_中学教育-竞赛题.pdf

学习必备 欢迎下载 20XX 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二（时间：120 分钟 满分：150）姓名_ 一、填空题：本大题共 10 小题，每小题 7 分，共 70 分 1设22012(1)nnnxxaa xax ，则242naaa 的值为_ 2若sinsin1xy，则coscosxy的取值范围是_ 3设1()2f x，2()sincos2fxxx，3()sincos22xfxx，24()sinfxx，在这些函数中，周期函数的个数是_ 4已知a、b是两个相互垂直的单位向量，而|13c，3c a，4c b；则对于任意实数12 tt、，12|ctat b 的最小值是_ 5设有两个集合：2332|3223xxMxxx，6556|5665xxNxxx，则MN _ 6已知数列nx，满足1(1)nnnxxn，且12x，则2014x_ 7设函数32213432()()1xxxf xx fxx，则()f x _ 8设命题P：2cc和命题Q：对任何xR，2410 xcx 有且仅有一个成立，则实数c的取值 范围是_ 9在x轴的正方向上，从左向右依次取点列,1,2,jAj，以及在第一象限内的抛物线232yx 上从左向右依次取点列,1,2,kBk，使1 (1,2 )kk kA BAk都是等边三角形，其中0A是 坐标原点，则第 2014 个等边三角形的边长是_ 10根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（02）方向行走 一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定假定机器人行走速度为每分钟 10 米，则行走 2 分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是_ 学习必备 欢迎下载 二、解答题：本大题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分 11设双曲线221xy的左、右焦点分别为1F、2F，若12PF F的顶点P在第一象限的双曲线上移 动，求12PF F的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边2PF上的切点轨迹 12设12,nxxxR，定义：2211 1()nniiinSxxn；（1）求nS的最小值；（2）在222121nxxx条件下，求nS的最小值；（3）在121nxxx 条件下，求nS的最小值，并加以证明 成委托协议该业务具体包括和品牌服装生产加工和销售以及该品牌服装装饰和任何相关配饰和是由在中国市场经营根据本协议当事人双方同意通过增进双方知名度和商业信誉在中国市场上推广和品牌从而达到共赢目委托雇佣范围为季度生产成品种样上衣和裤子种为种为针对新消费者岁为和设计品牌标志任何与以上业务相关业务业务移交为了上述条款中业务顺利完成应当按照以下内容行事原则上每季度应带和设计组到往中国三次第一次会见针对概念和季度颜计组参加会见第二第三次会见设计组将参加会见款项付款日期和付款方式应当就委托业务支付以下委托费用年度委托费和以上数值是扣除在中国汇款给所应缴纳预提所得税如果有后净数值若要缴纳预提所得税则年度委托费将自动增学习必备 欢迎下载 13设O、H分别为锐角ABC的外心和垂心，在AB上截取ADAH，在AC上截取AEAO；求证：DE等于ABC外接圆半径 EDHOCBA 成委托协议该业务具体包括和品牌服装生产加工和销售以及该品牌服装装饰和任何相关配饰和是由在中国市场经营根据本协议当事人双方同意通过增进双方知名度和商业信誉在中国市场上推广和品牌从而达到共赢目委托雇佣范围为季度生产成品种样上衣和裤子种为种为针对新消费者岁为和设计品牌标志任何与以上业务相关业务业务移交为了上述条款中业务顺利完成应当按照以下内容行事原则上每季度应带和设计组到往中国三次第一次会见针对概念和季度颜计组参加会见第二第三次会见设计组将参加会见款项付款日期和付款方式应当就委托业务支付以下委托费用年度委托费和以上数值是扣除在中国汇款给所应缴纳预提所得税如果有后净数值若要缴纳预提所得税则年度委托费将自动增学习必备 欢迎下载 14在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有 20 个岗位为了试验 5 种不同新式武器，打算安排 5 个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5 个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新 式武器的方案？成委托协议该业务具体包括和品牌服装生产加工和销售以及该品牌服装装饰和任何相关配饰和是由在中国市场经营根据本协议当事人双方同意通过增进双方知名度和商业信誉在中国市场上推广和品牌从而达到共赢目委托雇佣范围为季度生产成品种样上衣和裤子种为种为针对新消费者岁为和设计品牌标志任何与以上业务相关业务业务移交为了上述条款中业务顺利完成应当按照以下内容行事原则上每季度应带和设计组到往中国三次第一次会见针对概念和季度颜计组参加会见第二第三次会见设计组将参加会见款项付款日期和付款方式应当就委托业务支付以下委托费用年度委托费和以上数值是扣除在中国汇款给所应缴纳预提所得税如果有后净数值若要缴纳预提所得税则年度委托费将自动增学习必备 欢迎下载 20XX 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二答案 一、填空题：1设22012(1)nnnxxaa xax，则242naaa的值为_ 解：令0 x，得01a；（1）令1x ，得 012321naaaaa ；（2）令1x，得 012323nnaaaaa ；（3）（2）（3）得 02422()31nnaaaa，故0242312nnaaaa，再由（1）得 242312nnaaa 2若sinsin1xy，则coscosxy的取值范围是_ 解：设 coscosxyt，222cos2coscoscosxxyyt；又由 sinsin1xy，故 22sin2sinsinsin1xxyy；因此有22(coscossinsin)1xyxyt，即22cos()1xyt；由于1cos()1xy，所以有23t，即33t 3设1()2f x，2()sincos2fxxx，3()sincos22xfxx，24()sinfxx，在这些函数中，周期函数的个数是_ 解：1()2f x 是以任何正实数为周期的周期函数；2()fx不是周期函数；因为sin x是以12T为周期的周期函数，cos2x是以222T为周期的周期函数，而1T与2T之比不是有理数，故2()fx不是周期函数 3()fx不是周期函数；因为sin2x是以12 2T为周期的周期函数，cos2x是以222T为周期的周期函数，而122TT，故3()fx是周期函数 24()sinfxx不是周期函数；因此共有 2 个周期函数 4已知a、b是两个相互垂直的单位向量，而|13c，3c a，4c b；则对于任意实数12 tt、，12|ctat b 的最小值是_ 解：2222121212|68ct at bctttt2212169(3)(4)25tt2212144(3)(4)144tt；当123,4tt时，212|144ct at b，所以所求的最小值为 12 5设有两个集合：2332|3223xxMxxx，6556|5665xxNxxx，则MN _ 解：由已知可以解出130,5,5M，610,11,11N，故0MN 6已知数列nx，满足1(1)nnnxxn，且12x，则2014x_ 解：由1(1)nnnxxn，推出1111nnxxn；因此有：12111111111(1)(1)(1)(1)(1)2(1)!nnnnxxxxxnnnnn nnn nn 即有111(1)!nxn；从而可得：20142014!12014!x 成委托协议该业务具体包括和品牌服装生产加工和销售以及该品牌服装装饰和任何相关配饰和是由在中国市场经营根据本协议当事人双方同意通过增进双方知名度和商业信誉在中国市场上推广和品牌从而达到共赢目委托雇佣范围为季度生产成品种样上衣和裤子种为种为针对新消费者岁为和设计品牌标志任何与以上业务相关业务业务移交为了上述条款中业务顺利完成应当按照以下内容行事原则上每季度应带和设计组到往中国三次第一次会见针对概念和季度颜计组参加会见第二第三次会见设计组将参加会见款项付款日期和付款方式应当就委托业务支付以下委托费用年度委托费和以上数值是扣除在中国汇款给所应缴纳预提所得税如果有后净数值若要缴纳预提所得税则年度委托费将自动增学习必备 欢迎下载 x y A P(x，y)O 7设函数32213432()()1xxxf xx fxx，则()f x _ 解：令1xy，得3221343()2()1yyyf yy fyy；把y改为x得：3221343()2()1xxxf xx fxx （1）32213432()()1xxxf xx fxx （2）联合（1）（2）消去 1()fx，可得25()361f xxxx 8设命题P：2cc和命题Q：对任何xR，2410 xcx 有且仅有一个成立，则实数c的取值 范围是_ 解：命题P成立，可得：01c；命题Q成立，可得：1122c ；因此，要使命题P和命题Q有且仅有一个成立，实数c的取值范围是11(,0,1)22 9在x轴的正方向上，从左向右依次取点列,1,2,jAj，以及在第一象限内的抛物线232yx 上从左向右依次取点列,1,2,kBk，使1 (1,2 )kk kA BAk都是等边三角形，其中0A是 坐标原点，则第 2014 个等边三角形的边长是_ 解：设第n个等边三角形的边长为na；则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点nB的坐标为：1211213(,()222nnnnaaaaaaaa ，再从第n个等边三角形上，又可得nB的 纵坐标为：221322nnnaaa；从而有：12133()222nnnaaaaa，即有2121122nnnaaaaa ；由此可得：212122nnnaaaaa （1）以及：211211122nnnaaaaa （2）（1）（2）即得：11111()()()22nnnnnnnaaaaaaa，变形可得11(1)()0nnnnaaaa，由于10nnaa，所以11nnaa；在（1）式中取1n，可得2111122aa，而10a，故11a；因此第 2014 个等边三角形的边长为20142014a 10根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（02）方向行走 一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定假定机器人行走速度为每分钟 10 米，则行走 2 分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是_ 解：如图，设机器人行走 2 分钟时的位置为(,)P x y；设机器人改变方向的点为A，OAa，APb；则由已知条件有：2 1020ab ，以及cossinxayab，所以有：222222sin()400(sincos)20 xyaabbabxyabab ；即所求平面图形为弓形，其面积为100200平方米 成委托协议该业务具体包括和品牌服装生产加工和销售以及该品牌服装装饰和任何相关配饰和是由在中国市场经营根据本协议当事人双方同意通过增进双方知名度和商业信誉在中国市场上推广和品牌从而达到共赢目委托雇佣范围为季度生产成品种样上衣和裤子种为种为针对新消费者岁为和设计品牌标志任何与以上业务相关业务业务移交为了上述条款中业务顺利完成应当按照以下内容行事原则上每季度应带和设计组到往中国三次第一次会见针对概念和季度颜计组参加会见第二第三次会见设计组将参加会见款项付款日期和付款方式应当就委托业务支付以下委托费用年度委托费和以上数值是扣除在中国汇款给所应缴纳预提所得税如果有后净数值若要缴纳预提所得税则年度委托费将自动增学习必备 欢迎下载 O P y x A B G H K 二、解答题 11设双曲线221xy的左、右焦点分别为1F、2F，若12PF F的顶点P在第一象限的双曲线上移 动，求12PF F的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边2PF上的切点轨迹 解：如图，记双曲线在x轴上的两顶点为(1,0)A，(1,0)B；G为12PF F的内切圆在边12F F上的 切点，H为12PF F的内切圆在边2PF上的切点，K为12PF F的内切圆在边1PF上的切点；则有 1212GFGFKFHF 12()()KFKPHFHP12PFPF 5 分 由双曲线的定义知，G必在双曲线上，于是G与(1,0)A重合，是定点 而2221F GF A；根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，所以12PF F的内切圆在边2PF上的切点的轨迹是以2(2,0)F为圆心，21为半径的圆弧-10 分 因为(,)P xy是在221xy第一象限的曲线上移动，当2PF沿双曲线趋于无穷时，与x轴正向的交角的正切的极限是21lim tanlim12xxxx；即：4；故点H的轨迹方程为（极坐标形式）2(21)cos(21)sinxy，（4 ）-15分 也可以用直角坐标形式由于G与(1,0)A重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为：1x（01y）-20 分 12设12,nxxxR，定义：2211 1()nniiinSxxn；（1）求nS的最小值；（2）在222121nxxx条件下，求nS的最小值；（3）在121nxxx 条件下，求nS的最小值，并加以证明 解：（1）22211111(2)44nnniinnnSnnn-5分（当1inxn时，取到最小值）（2）2224211(1)12nniiinnSxnnx24211(1)112niinnnnx 2221(1)112(1)nnnnnn ；（当121nxxxn时，取到最小值21(1)nn）-10分（3）因为222221111 11 111nnniiiiiiinnxxxxnn 所以2211 1()nniiinSxxn22111 1niiinxnxn2 22111nnnnn；（当121nxxxn时，取到最小值n）-20分 每小题指出什么时候取到，5 分 成委托协议该业务具体包括和品牌服装生产加工和销售以及该品牌服装装饰和任何相关配饰和是由在中国市场经营根据本协议当事人双方同意通过增进双方知名度和商业信誉在中国市场上推广和品牌从而达到共赢目委托雇佣范围为季度生产成品种样上衣和裤子种为种为针对新消费者岁为和设计品牌标志任何与以上业务相关业务业务移交为了上述条款中业务顺利完成应当按照以下内容行事原则上每季度应带和设计组到往中国三次第一次会见针对概念和季度颜计组参加会见第二第三次会见设计组将参加会见款项付款日期和付款方式应当就委托业务支付以下委托费用年度委托费和以上数值是扣除在中国汇款给所应缴纳预提所得税如果有后净数值若要缴纳预提所得税则年度委托费将自动增学习必备 欢迎下载 13设O、H分别为锐角ABC的外心和垂心，在AB上截取ADAH，在AC上截取AEAO；求证：DE等于ABC外接圆半径 证明：设ABC的外接圆的半径为R，易知：2 cosAHRA；由余弦定理：2222cosDEADAEAD AEA 222224cos4cosRARRA 2R 故DE等于ABC外接圆半径 14在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有 20 个岗位为了试验 5 种不同新式武器，打算安排 5 个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻 5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？解：设 20 个岗位按先后排序为 1，2，20，且设第k种新式武器设置的序号为：ka(1,2,3,4,5)k；令11xa，221xaa，332xaa，443xaa，554xaa，6520 xa，则有12345620 xxxxxx （*）其中25kx(1,2,3,4,5)k，614x -5分 作代换：1kkyx(1,2,3,4,5)k，66yx，从而有12345615yyyyyy，（*）其中14ky(1,2,3,4,5)k -10分 以下求解问题（*）:方法一：设I为12345615yyyyyy的正整数解的全体，kA为I中ky满足4ky 的解的 全体；则666111kkkjkkj kkkAIAIAA A ；上式成立的原因是ijkAA A ，因为没有同时满足4iy，4jy，4ky 的6115kky的正整数组 所以65525141066162002151290580kkACCC C，-15分 因为 5 种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于5805!69600 -20分 方法二：问题（*）的解数等于2346()xxxx 展开式中15x的系数；而234662366626()(1)(1)(1)xxxxxxxxxxx ，故只须求626(1)(1)xx展开式中9x的系数 6262345624681012(1)(1)(161520156)(161520156)xxxxxxxxxxxxxx 因此9x的系数为 6152020615 580 -15分 因为 5 种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于5805!69600 -20分 EDHOCBA成委托协议该业务具体包括和品牌服装生产加工和销售以及该品牌服装装饰和任何相关配饰和是由在中国市场经营根据本协议当事人双方同意通过增进双方知名度和商业信誉在中国市场上推广和品牌从而达到共赢目委托雇佣范围为季度生产成品种样上衣和裤子种为种为针对新消费者岁为和设计品牌标志任何与以上业务相关业务业务移交为了上述条款中业务顺利完成应当按照以下内容行事原则上每季度应带和设计组到往中国三次第一次会见针对概念和季度颜计组参加会见第二第三次会见设计组将参加会见款项付款日期和付款方式应当就委托业务支付以下委托费用年度委托费和以上数值是扣除在中国汇款给所应缴纳预提所得税如果有后净数值若要缴纳预提所得税则年度委托费将自动增