全等三角形第4讲全等三角形与旋转问答学生版中考.pdf
【例 1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案 与其余三个图案旋转的角度不同，它是（）ABC【例 2】如图，冋学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形 AEFG可以看成是把 菱形ABCD以A为中心（A.顺时针旋转 60。得到)B 顺时针旋转 120。得到 C 逆时针旋转 60。得到 D 逆时针旋转 120。得到*C 【例 3】如图，C是线段BD上一点，分别以 BC、CD为边在BD同侧作等边 KBC和等边ZCDE,AD交CE 于F,BE交AC于G,则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有（）A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 【例 4】已知：如图，点 C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形.求证：AN BM 【例 5】如图，B,C,E三点共线，且 ABC与 DCE是等边三角形，连结BD,AE分别交AC,DC于M,N点.求证：CM CN 匚 【补充】已知：如图，点 C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形.求证：CF平分 AFB.【补充】如图，点 C为线段AB上一点,请你证明：AN BM；DE II AB;CF平分 AFB.N M F D E ACM、CBN是等边三角形.E 的角度不同它是例如图冋学们曾玩过万花筒它是由三块等宽等长的玻璃片围成的其中菱形菱形以为中心可以看成是把顺时针旋转得到逆时针旋转得到顺时针旋转得到逆时针旋转得到例如图是线段上一点分别以为边在同侧作等边和等证例如图三点共线且与是等边三角形连结分别交于点求证补充已知如图点为线段上一点是等边三角形求证平分补充如图点为线段上一点请你是等边三角形证明平分例年怀化市初中毕业学业考试试卷如图四边形都是正方形连接求证例线段同侧作两个等边三角形和点与点分别是线段和的中点则例如图等边三角形与等边共顶点于点求证例如图定若一定求它的度数若不一定说明理由是等边内的一点且问的度数是否例年四川省中考题如图等腰直角三角形中为中点求证【例 6】（2008年怀化市初中毕业学业考试试卷 证：AE CG.CDE（ACE 120，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则【例 7】如图，点C为线段AB上一点，ACM、证：CDE是等边三角形.CBN是等边三角形,【补充】（2008年全国初中数学竞赛海南区初赛 D是AN中点,E是BM中点，求）如下图，在线段 AE同侧作两个等边三角形 ABC和）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求 D A E 的角度不同它是例如图冋学们曾玩过万花筒它是由三块等宽等长的玻璃片围成的其中菱形菱形以为中心可以看成是把顺时针旋转得到逆时针旋转得到顺时针旋转得到逆时针旋转得到例如图是线段上一点分别以为边在同侧作等边和等证例如图三点共线且与是等边三角形连结分别交于点求证补充已知如图点为线段上一点是等边三角形求证平分补充如图点为线段上一点请你是等边三角形证明平分例年怀化市初中毕业学业考试试卷如图四边形都是正方形连接求证例线段同侧作两个等边三角形和点与点分别是线段和的中点则例如图等边三角形与等边共顶点于点求证例如图定若一定求它的度数若不一定说明理由是等边内的一点且问的度数是否例年四川省中考题如图等腰直角三角形中为中点求证ABC与等边 DEC共顶点于C点.求证：AE BD 定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由.【例9】如图,D是等边 ABC内的一点，且 BD AD,BP AB,DBP E C DBC，问 BPD的度数是否【例8】如图，等边三角形 的角度不同它是例如图冋学们曾玩过万花筒它是由三块等宽等长的玻璃片围成的其中菱形菱形以为中心可以看成是把顺时针旋转得到逆时针旋转得到顺时针旋转得到逆时针旋转得到例如图是线段上一点分别以为边在同侧作等边和等证例如图三点共线且与是等边三角形连结分别交于点求证补充已知如图点为线段上一点是等边三角形求证平分补充如图点为线段上一点请你是等边三角形证明平分例年怀化市初中毕业学业考试试卷如图四边形都是正方形连接求证例线段同侧作两个等边三角形和点与点分别是线段和的中点则例如图等边三角形与等边共顶点于点求证例如图定若一定求它的度数若不一定说明理由是等边内的一点且问的度数是否例年四川省中考题如图等腰直角三角形中为中点求证【例 10】（2005年四川省中考题）如图，等腰直角三角形 ABC中，Z B 90,AB a,O为AC中点,EO OF.求证：BE BF为定值.【补充】如图，正方形 OGHK绕正方形 ABCD中点O旋转，其交点为 E、F，求证：AE CF AB.E O F 的角度不同它是例如图冋学们曾玩过万花筒它是由三块等宽等长的玻璃片围成的其中菱形菱形以为中心可以看成是把顺时针旋转得到逆时针旋转得到顺时针旋转得到逆时针旋转得到例如图是线段上一点分别以为边在同侧作等边和等证例如图三点共线且与是等边三角形连结分别交于点求证补充已知如图点为线段上一点是等边三角形求证平分补充如图点为线段上一点请你是等边三角形证明平分例年怀化市初中毕业学业考试试卷如图四边形都是正方形连接求证例线段同侧作两个等边三角形和点与点分别是线段和的中点则例如图等边三角形与等边共顶点于点求证例如图定若一定求它的度数若不一定说明理由是等边内的一点且问的度数是否例年四川省中考题如图等腰直角三角形中为中点求证【例 11】（2004河北）如图，已知点 E是正方形 ABCD的边CD上一点，点 F是CB的延长线上一点，且 EA AF.求证：DE BF.【补充】如图所示，在四边形 ABCD中，ADC ABC 90,AD CD,DP AB于P，若四边形ABCD 的面积是 16，求DP的长.【例 12】E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点，且/EAF 45,AH EF,H为垂足，求证:AH AB.【例 13】（1997年安徽省初中数学竞赛题）在等腰Rt ABC的斜边AB上取两点M、N，使 MCN 45，记A D E C 的角度不同它是例如图冋学们曾玩过万花筒它是由三块等宽等长的玻璃片围成的其中菱形菱形以为中心可以看成是把顺时针旋转得到逆时针旋转得到顺时针旋转得到逆时针旋转得到例如图是线段上一点分别以为边在同侧作等边和等证例如图三点共线且与是等边三角形连结分别交于点求证补充已知如图点为线段上一点是等边三角形求证平分补充如图点为线段上一点请你是等边三角形证明平分例年怀化市初中毕业学业考试试卷如图四边形都是正方形连接求证例线段同侧作两个等边三角形和点与点分别是线段和的中点则例如图等边三角形与等边共顶点于点求证例如图定若一定求它的度数若不一定说明理由是等边内的一点且问的度数是否例年四川省中考题如图等腰直角三角形中为中点求证AM m,MN x,BN n，则以 x、m、n为边长的三角形的形状是（）.A 锐角三角形 B 直角三角形 C.钝角三角形 D.随 x、m、n的变化而变化 【巩固】如图，正方形 ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分 BAF交BC边于点 求证：AF DF BE.设DF x（0 x 1）,ADF与 ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时 S 若不存在，请说明理由.【例 14】（通州区 2009 模第 25题）请阅读下列材料：已知：如图 1在Rt ABC中，BAC 90，AB AC，点D、E分别为线段 DAE 45.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 AEC绕点A顺时针旋转90，得到 ABE，连结ED,使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图 2，其它条件不变，中探究 的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.x 的值及 BC上两动点，若 图C 的角度不同它是例如图冋学们曾玩过万花筒它是由三块等宽等长的玻璃片围成的其中菱形菱形以为中心可以看成是把顺时针旋转得到逆时针旋转得到顺时针旋转得到逆时针旋转得到例如图是线段上一点分别以为边在同侧作等边和等证例如图三点共线且与是等边三角形连结分别交于点求证补充已知如图点为线段上一点是等边三角形求证平分补充如图点为线段上一点请你是等边三角形证明平分例年怀化市初中毕业学业考试试卷如图四边形都是正方形连接求证例线段同侧作两个等边三角形和点与点分别是线段和的中点则例如图等边三角形与等边共顶点于点求证例如图定若一定求它的度数若不一定说明理由是等边内的一点且问的度数是否例年四川省中考题如图等腰直角三角形中为中点求证【例15】（北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题）如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是 顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的 MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN 的周长.【例16】在等边 ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点 M,N,D为ABC外一点，且 MDN 60,C 的角度不同它是例如图冋学们曾玩过万花筒它是由三块等宽等长的玻璃片围成的其中菱形菱形以为中心可以看成是把顺时针旋转得到逆时针旋转得到顺时针旋转得到逆时针旋转得到例如图是线段上一点分别以为边在同侧作等边和等证例如图三点共线且与是等边三角形连结分别交于点求证补充已知如图点为线段上一点是等边三角形求证平分补充如图点为线段上一点请你是等边三角形证明平分例年怀化市初中毕业学业考试试卷如图四边形都是正方形连接求证例线段同侧作两个等边三角形和点与点分别是线段和的中点则例如图等边三角形与等边共顶点于点求证例如图定若一定求它的度数若不一定说明理由是等边内的一点且问的度数是否例年四川省中考题如图等腰直角三角形中为中点求证BDC 120,BD CD，探究：当点 M,N分别爱直线 AB,AC上移动时，BM,NC,MN之 间的数量关系及 AMN的周长与等边 ABC的周长 L的关系.如图，当点M,N在边AB,AC上，且DM=DN 此时Q=_ L 如图，当点 M,N在边AB，AC上，且DM 你的猜想并加以证明；时，BM,NC,MN之间的数量关系式 _ DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出 如图，当点 M,N分别在边AB,CA的延长线上时，若 AN=x，则Q=_（用x,L表示）1【补充】如图，在四边形 ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90,E、F分别是边BC、CD上的点，且ZEAF=-2 ZBAD.求证：EF=BE FD;的角度不同它是例如图冋学们曾玩过万花筒它是由三块等宽等长的玻璃片围成的其中菱形菱形以为中心可以看成是把顺时针旋转得到逆时针旋转得到顺时针旋转得到逆时针旋转得到例如图是线段上一点分别以为边在同侧作等边和等证例如图三点共线且与是等边三角形连结分别交于点求证补充已知如图点为线段上一点是等边三角形求证平分补充如图点为线段上一点请你是等边三角形证明平分例年怀化市初中毕业学业考试试卷如图四边形都是正方形连接求证例线段同侧作两个等边三角形和点与点分别是线段和的中点则例如图等边三角形与等边共顶点于点求证例如图定若一定求它的度数若不一定说明理由是等边内的一点且问的度数是否例年四川省中考题如图等腰直角三角形中为中点求证(2)如图，在四边形 ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180,E、F分别是边BC、CD上的点，且Z 1 EAF=丄ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.2【例17】平面上三个正三角形 ACF,ABD,BCE两两共只有一个顶点，求证:EF 与CD平分.D 的角度不同它是例如图冋学们曾玩过万花筒它是由三块等宽等长的玻璃片围成的其中菱形菱形以为中心可以看成是把顺时针旋转得到逆时针旋转得到顺时针旋转得到逆时针旋转得到例如图是线段上一点分别以为边在同侧作等边和等证例如图三点共线且与是等边三角形连结分别交于点求证补充已知如图点为线段上一点是等边三角形求证平分补充如图点为线段上一点请你是等边三角形证明平分例年怀化市初中毕业学业考试试卷如图四边形都是正方形连接求证例线段同侧作两个等边三角形和点与点分别是线段和的中点则例如图等边三角形与等边共顶点于点求证例如图定若一定求它的度数若不一定说明理由是等边内的一点且问的度数是否例年四川省中考题如图等腰直角三角形中为中点求证【例 18】已知：如图，ABC、CDE、EHK都是等边三角形，且A、D、K共线，AD DK.求证：HBD 也是等边三角形.【例 19】（1997年安徽省竞赛题）如图，在 ABC外面作正方形 ABEF与ACGH，AD ABC的高，其 【补充】以 KBC的两边AB、AC为边向外作正方形 ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且CE丄 BG.反向延长线交FH于M，求证：（1）BH CF;(2)MF MH K G 的角度不同它是例如图冋学们曾玩过万花筒它是由三块等宽等长的玻璃片围成的其中菱形菱形以为中心可以看成是把顺时针旋转得到逆时针旋转得到顺时针旋转得到逆时针旋转得到例如图是线段上一点分别以为边在同侧作等边和等证例如图三点共线且与是等边三角形连结分别交于点求证补充已知如图点为线段上一点是等边三角形求证平分补充如图点为线段上一点请你是等边三角形证明平分例年怀化市初中毕业学业考试试卷如图四边形都是正方形连接求证例线段同侧作两个等边三角形和点与点分别是线段和的中点则例如图等边三角形与等边共顶点于点求证例如图定若一定求它的度数若不一定说明理由是等边内的一点且问的度数是否例年四川省中考题如图等腰直角三角形中为中点求证 AB CD AE BC DE 1，求此五边形的面积.【例21】（希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题）在五边形 ABC AED 180，连接 AD.求证：AD平分【例20】（北京市初二数学竞赛试题）如图所示，D E A O B C F 在五边形ABCDE中，E 90 ABCDE中，已知 AB CDE.AE,BC DE CD,的角度不同它是例如图冋学们曾玩过万花筒它是由三块等宽等长的玻璃片围成的其中菱形菱形以为中心可以看成是把顺时针旋转得到逆时针旋转得到顺时针旋转得到逆时针旋转得到例如图是线段上一点分别以为边在同侧作等边和等证例如图三点共线且与是等边三角形连结分别交于点求证补充已知如图点为线段上一点是等边三角形求证平分补充如图点为线段上一点请你是等边三角形证明平分例年怀化市初中毕业学业考试试卷如图四边形都是正方形连接求证例线段同侧作两个等边三角形和点与点分别是线段和的中点则例如图等边三角形与等边共顶点于点求证例如图定若一定求它的度数若不一定说明理由是等边内的一点且问的度数是否例年四川省中考题如图等腰直角三角形中为中点求证 【习题 1】如图，已知 ABC和 ADE都是等边三角形,B、C、D在一条直线上，试说明 CE与AC CD相 等的理由.【习题 2】（湖北省黄冈市 2008年初中毕业生升学考试）已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意 点，过点 D作DF DE交BC的延长线于点 F.求证：DE DF.【习题 3】（2008山东）在梯形 ABCD中，AB II CD,A 90,AB 2,BC 3,CD 1,E是AD中点,家庭作业 C 的角度不同它是例如图冋学们曾玩过万花筒它是由三块等宽等长的玻璃片围成的其中菱形菱形以为中心可以看成是把顺时针旋转得到逆时针旋转得到顺时针旋转得到逆时针旋转得到例如图是线段上一点分别以为边在同侧作等边和等证例如图三点共线且与是等边三角形连结分别交于点求证补充已知如图点为线段上一点是等边三角形求证平分补充如图点为线段上一点请你是等边三角形证明平分例年怀化市初中毕业学业考试试卷如图四边形都是正方形连接求证例线段同侧作两个等边三角形和点与点分别是线段和的中点则例如图等边三角形与等边共顶点于点求证例如图定若一定求它的度数若不一定说明理由是等边内的一点且问的度数是否例年四川省中考题如图等腰直角三角形中为中点求证试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程.【习题 4】已知：如图，点 C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形.CG、CH分别是 ACN、MCB的高.求证：CG CH.*、立疗月测备选）【备选 1】在等腰直角 ABC中，ACB 90,AC BC,M是AB的中点，点 P从B出发向C运动,MQ MP 交AC于点 Q，试说明 MPQ 的形状和面积将如何变化.B 的角度不同它是例如图冋学们曾玩过万花筒它是由三块等宽等长的玻璃片围成的其中菱形菱形以为中心可以看成是把顺时针旋转得到逆时针旋转得到顺时针旋转得到逆时针旋转得到例如图是线段上一点分别以为边在同侧作等边和等证例如图三点共线且与是等边三角形连结分别交于点求证补充已知如图点为线段上一点是等边三角形求证平分补充如图点为线段上一点请你是等边三角形证明平分例年怀化市初中毕业学业考试试卷如图四边形都是正方形连接求证例线段同侧作两个等边三角形和点与点分别是线段和的中点则例如图等边三角形与等边共顶点于点求证例如图定若一定求它的度数若不一定说明理由是等边内的一点且问的度数是否例年四川省中考题如图等腰直角三角形中为中点求证【备选 2】如图，正方形 ABCD中，FAD FAE.求证：BE DF AE.【备选 3】等边 ABD和等边 CBD的边长均为 1,E是BE AD上异于A D的任意一点，F是CD上一点,满足AE CF 1，当E、F移动时，试判断 BEF的形状.F 的角度不同它是例如图冋学们曾玩过万花筒它是由三块等宽等长的玻璃片围成的其中菱形菱形以为中心可以看成是把顺时针旋转得到逆时针旋转得到顺时针旋转得到逆时针旋转得到例如图是线段上一点分别以为边在同侧作等边和等证例如图三点共线且与是等边三角形连结分别交于点求证补充已知如图点为线段上一点是等边三角形求证平分补充如图点为线段上一点请你是等边三角形证明平分例年怀化市初中毕业学业考试试卷如图四边形都是正方形连接求证例线段同侧作两个等边三角形和点与点分别是线段和的中点则例如图等边三角形与等边共顶点于点求证例如图定若一定求它的度数若不一定说明理由是等边内的一点且问的度数是否例年四川省中考题如图等腰直角三角形中为中点求证
