高中数学解三角形专题及例题中考.pdf
学习必备 欢迎下载 课 题 解三角形专题 1 教学目标 理解正玄定理、余弦定理的基本内容 会应用正玄定理、余弦定理解决有关三角形的问题 重点、难点 正玄定理、余弦定理的基本内容及其简单应用 考点及考试内容 本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。教学内容 一、正弦定理及其证明 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinsinsinabcABC 正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。对于正弦定理，课本首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现 asinB 和 bsinA 实际上表示了锐角三角形边 AB上的高。这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式，教科书要求学生自己通过探究来加以证明。可以考虑采用向量的知识来证明。二、余弦定理及其证明 余弦定理 在一个三角形中，任一边的平方都等于其它两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的2倍，即 2222cosabcbcA；2222cosbacacB；2222coscababC；余弦定理同样揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。由直角三角形三边间的关系，归纳猜想任意三角形的边角间的关系。自己学会探索、并试着去从理论上去解决。通过这个定理的探索并去从理论上证明，作为一个现代中学生，要掌握一些研究事物的方法、要学会学习，善于提出问题，并且试着去解决问题。同样这个定理的证明也是采用了向量的相关知识很容易得到解决，向量知识在数学上的一个具体应用，这也体现了数学科学的特点之一：前后知识间联系紧密。这也要求大家能够将前后知识联系起来，而不应该是孤立地来学习某部分知识，而不善于将所学恰当地应用，这也要求大家能够活学活用。当然这两个定理的证明证明方法，自己还可以考虑采用比如平面几何知识等其它的方法，以锻炼自己的能力。三、正弦定理和余弦定理的应用 正弦定理的应用：1用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：（）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。（）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角.三角形解的个数 学习必备 欢迎下载 一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知 a,b 和 A），用正弦定理求 B时的各种情况：若 A为锐角时:sin sin ()sin (,)()abAabAbAabab 无解一解 直角二解 一锐 一钝一解 锐角，如下图所示：babababaa已知边a,b和 A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a bCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1ABACB2CHHH 若 A为直角或钝角时:ab ()ab无解一解 锐角 余弦定理的应用：利用余弦定理可以解决两类解斜三角形问题：（1）已知三边，求各角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。考点知识点一：正弦定理 典型例题 1.定理：2sinsinsinabcRABC.（R为三角形外接圆半径）2.例题：例 1：在 ABC中，已知045A，060B，2a，求b.例 2：06,45,2,ABCcAabB C中，求 和.针对性练习 1、03,60,1,ABCbBcaA C中，求 和.2、02 3,60,2 2,ABCaAbB中，求 3.已知ABC中，A=60，3a，求sinsinsinabcABC.本合同简称乙方注册地址法定代表人或负责人业务代表业务电话收款银行账号税号统一社会信用代码依据中华人民共和国民法典和有关法律法规规定乙方接受甲方委托就委托调查事项双方经协商一致签订本合同以资共同信守调查项方应向乙方提供以下资料甲方向乙方提供资料时间项目进度工作步骤第一阶段完成期限为本合同签订之日起个工作日第二阶段完成期限为个工作日第三阶段完成期限为个工作日上述工作在程序上顺延实际行中可能有一定交叉但累计认或要求乙方修订时间不在限定期限内甲方以书面形式予以确认确认之日为下一阶段期限起始日调查最终成果报告交付及验收交付时间交付地点交付方式最终报告特殊要求验收标准验收方法提出质量异议期限若乙方交付最终成果不学习必备 欢迎下载 4、ABC中，若:1:2:3A B C 则:a b c 5、ABC中，若2 sinbaB则A=6.已知a、b为ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sin2sin3AB，求abb的值 7、002,30,135,ABCbBCa中，求 考点二：余弦定理 1.定理：2222cosbacacB 推论222cos2 bcaAbc 2222cosabcbcA 222cos2 acbBac 2222coscababC 222cos2 bacCba 典型例题 例 1.在ABC中，已知3a，4b，060C，求c.练习：在ABC中，已知2 3a，62c，060B，求b及A.（答案：2 2b，060A）例 2：在ABC中，已知a3，b4，c6，求cosC.知识点方法总结 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边.针对性练习 1.三角形ABC中，A120，b3，c5，求a 2.在ABC中，若222abcbc，求角A.（答案：A=1200）变式：在ABC中，()()3abc bcabc ，则A 3.三角形ABC中，3,2,10ABACBC，求AB AC 本合同简称乙方注册地址法定代表人或负责人业务代表业务电话收款银行账号税号统一社会信用代码依据中华人民共和国民法典和有关法律法规规定乙方接受甲方委托就委托调查事项双方经协商一致签订本合同以资共同信守调查项方应向乙方提供以下资料甲方向乙方提供资料时间项目进度工作步骤第一阶段完成期限为本合同签订之日起个工作日第二阶段完成期限为个工作日第三阶段完成期限为个工作日上述工作在程序上顺延实际行中可能有一定交叉但累计认或要求乙方修订时间不在限定期限内甲方以书面形式予以确认确认之日为下一阶段期限起始日调查最终成果报告交付及验收交付时间交付地点交付方式最终报告特殊要求验收标准验收方法提出质量异议期限若乙方交付最终成果不学习必备 欢迎下载 正弦定理和余弦定理的综合问题 例 1 三角形ABC中，cosC1314，a7，b8，求最大角的余弦 变式：在ABC中，已知 sinAsinBsinC=654，求最大角的余弦.例 2：在ABC中，已知a7，b10，c6，判断三角形的类型.222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角abcAABCabcAABCabcA是锐角三角形ABC 练习：1.在ABC中，已知a3，b5，c7，判断三角形的类型.2.在ABC中，若 2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 3.已知ABC中，coscosbCcB，试判断ABC的形状.4.三角形ABC中，C60，a3，c7，求b 5.在ABC中，已知12,3,cos4acB，求（1）b的值（2）求sinC 6.已知ABC三个顶点的直角坐标分别为(3 4)A，(0 0)B，(0)C c，（1）若5c，求sinA的值 (2)若A是钝角，求c的取值范围 7.在ABC中，已知54cos,sin135AB，求cos C.应用问题 一、面积问题 公式：S=21absinC，S=21bcsinA,S=21acsinB 例 1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=63,求 a 及ABC的面积 S 本合同简称乙方注册地址法定代表人或负责人业务代表业务电话收款银行账号税号统一社会信用代码依据中华人民共和国民法典和有关法律法规规定乙方接受甲方委托就委托调查事项双方经协商一致签订本合同以资共同信守调查项方应向乙方提供以下资料甲方向乙方提供资料时间项目进度工作步骤第一阶段完成期限为本合同签订之日起个工作日第二阶段完成期限为个工作日第三阶段完成期限为个工作日上述工作在程序上顺延实际行中可能有一定交叉但累计认或要求乙方修订时间不在限定期限内甲方以书面形式予以确认确认之日为下一阶段期限起始日调查最终成果报告交付及验收交付时间交付地点交付方式最终报告特殊要求验收标准验收方法提出质量异议期限若乙方交付最终成果不学习必备 欢迎下载 练习：1.已知在ABC中，B=30,AB=2 3,AC=2,求ABC的面积 2.三角形ABC中，a5，b7，c8 求ABCS 3.在锐角ABC中，角A BC，所对的边分别为abc，已知2 2sin3A，若2a，2ABCS，求b的值。课后练习 1ABC中，a3，b7，c2，那么 B等于（）A 30 B45 C60 D120 2.已知ABC中，sinA:sinB:sinC132，则 ABC等于 ()A123 B231 C132 D312 3.在ABC中，60B，2bac，则ABC一定是 （）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形 4若三条线段的长为 5、6、7，则用这三条线段（）A、能组成直角三角形 B、能组成锐角三角形 C、能组成钝角三角形 D、不能组成三角形 5在ABC中，若8,3,7cba，则其面积等于（）A12 B 221 C 28 D 36 6在ABC中，若)()(cbbcaca，则A=（）A090 B 060 C 0120 D 0150 7在ABC中，若1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦是（）A51 B 61 C 71 D 81 8三角形的两边分别为 5 和 3，它们夹角的余弦是方程06752 xx的根，则三角形的另一边长为（）A.52 B.2 13 C.16 D.4 9如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、由增加的长度决定 10在ABC中，周长为 7.5cm，且 sinA：sinB：sinC 4：5：6,下列结论：6:5:4:cba 6:5:2:cba cmccmbcma3,5.2,2 6:5:4:CBA 本合同简称乙方注册地址法定代表人或负责人业务代表业务电话收款银行账号税号统一社会信用代码依据中华人民共和国民法典和有关法律法规规定乙方接受甲方委托就委托调查事项双方经协商一致签订本合同以资共同信守调查项方应向乙方提供以下资料甲方向乙方提供资料时间项目进度工作步骤第一阶段完成期限为本合同签订之日起个工作日第二阶段完成期限为个工作日第三阶段完成期限为个工作日上述工作在程序上顺延实际行中可能有一定交叉但累计认或要求乙方修订时间不在限定期限内甲方以书面形式予以确认确认之日为下一阶段期限起始日调查最终成果报告交付及验收交付时间交付地点交付方式最终报告特殊要求验收标准验收方法提出质量异议期限若乙方交付最终成果不学习必备 欢迎下载 其中成立的个数是 ()A0 个 B1 个 C2 个 D3 B组 巩固提高 11已知锐角三角形的边长分别是2,3,x，则x的取值范围是 （）A、15x B、513x C、05x D、135x 13在ABC中，若AB5，AC5，且 cosC109，则BC_ 14在ABC中，6:5:4:baaccb，则ABC的最大内角的度数是 15在ABC中，C60，a、b、c分别为A、B、.C的对边，则cabcba_ 16若平行四边形两条邻边的长度分别是 4 6 cm 和 4 3 cm，它们的夹角是 45，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 .17A BC中，,26 ABC=300，则 AC+BC 的最大值是_。本合同简称乙方注册地址法定代表人或负责人业务代表业务电话收款银行账号税号统一社会信用代码依据中华人民共和国民法典和有关法律法规规定乙方接受甲方委托就委托调查事项双方经协商一致签订本合同以资共同信守调查项方应向乙方提供以下资料甲方向乙方提供资料时间项目进度工作步骤第一阶段完成期限为本合同签订之日起个工作日第二阶段完成期限为个工作日第三阶段完成期限为个工作日上述工作在程序上顺延实际行中可能有一定交叉但累计认或要求乙方修订时间不在限定期限内甲方以书面形式予以确认确认之日为下一阶段期限起始日调查最终成果报告交付及验收交付时间交付地点交付方式最终报告特殊要求验收标准验收方法提出质量异议期限若乙方交付最终成果不
