高考数学理一轮复习导学案高考_-高考.pdf

学习必备 欢迎下载 学案 30 等比数列及其前 n 项和 导学目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题 自主梳理 1等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示(q0)2等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an_.3等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam _(n，mN*)(2)若an为等比数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则_ (3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，1an，a2n，an bn，anbn仍是等比数列(4)单调性：a10，q1或 a100q0，0q1或 a11an 是_数列；q1an是_数列；q1，令 bnan1(n1,2，)，若数列bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则 6q_.探究点一 等比数列的基本量运算 例 1 已知正项等比数列an中，a1a52a2a6a3a7100，a2a42a3a5a4a636，求数列an的通项 an和前 n 项和 Sn.变式迁移 1 在等比数列an中，a1an66，a2 an1128，Sn126，求 n 和 q.探究点二 等比数列的判定 例 2 (2011 岳阳月考)已知数列an的首项 a15，前 n 项和为 Sn，且 Sn12Snn5，nN*.(1)证明数列an1是等比数列；(2)求an的通项公式以及 Sn.变式迁移 2 设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求 a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列 探究点三 等比数列性质的应用 例 3 (2011 湛江月考)在等比数列an中，a1a2a3a4a58，且1a11a21a31a41a52，求 a3.变式迁移 3(1)已知等比数列an中，有 a3a114a7，数列bn是等差数列，且 b7a7，求 b5b9的值；(2)在等比数列an中，若 a1a2a3a41，a13a14a15a168，求 a41a42a43a44.了解等比数列与指数函数的关系能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题自主梳理等比数列的定义如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的比等于同一常数不为零那么这个数列叫做比中项如果在与中间插入一个数使成等比数列那么叫做与的等比中项等比数列的常用性质通项公式的推广若为等比数列且则若项数相同是等比数列则仍是等比数列或或是单调性是数列数列是数列是数列等比数列的前项和公式等比数自我检测是成等比数列的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件若数列的前项和数列为等比数列则实数的值是温州月考设则等于湖南长郡中学月考已知等比数列的前三项依次为则等于学习必备欢迎下载设是学习必备 欢迎下载 分类讨论思想与整体思想的应用 例 (12 分)设首项为正数的等比数列an的前 n 项和为 80，它的前 2n 项和为 6 560，且前 n 项中数值最大的项为 54，求此数列的第 2n 项【答题模板】解 设数列an的公比为 q，若 q1，则 Snna1，S2n2na12Sn.S2n6 5602Sn160，q1，2 分 由题意得 a1 1qn1q80，a1 1q2n1q6 560.4 分 将整体代入得 80(1qn)6 560，qn81.6 分 将 qn81 代入得 a1(181)80(1q)，a1q1，由 a10，得 q1，数列 an为递增数列8 分 ana1qn1a1q qn81a1q54.a1q23.10 分 与 a1q1 联立可得 a12，q3，a2n232n1(n N*)12 分【突破思维障碍】(1)分类讨论的思想：利用等比数列前 n 项和公式时要分公比 q1 和 q1 两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当 a10，q1 或 a10,0q1 时为递增数列；当 a11 或 a10,0q1 时为递减数列；当 q0 且 q1)常和指数函数相联系(3)整体思想：应用等比数列前 n 项和时，常把 qn，a11q当成整体求解 本题条件前 n 项中数值最大的项为 54 的利用是解决本题的关键，同时将 qn和a1 1qn1q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用 1 等比数列的通项公式、前 n 项公式分别为 ana1qn1，Sn na1，q1，a1 1qn1q，q1.2等比数列的判定方法：(1)定义法：即证明an1anq(q0，n N*)(q 是与 n 值无关的常数)了解等比数列与指数函数的关系能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题自主梳理等比数列的定义如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的比等于同一常数不为零那么这个数列叫做比中项如果在与中间插入一个数使成等比数列那么叫做与的等比中项等比数列的常用性质通项公式的推广若为等比数列且则若项数相同是等比数列则仍是等比数列或或是单调性是数列数列是数列是数列等比数列的前项和公式等比数自我检测是成等比数列的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件若数列的前项和数列为等比数列则实数的值是温州月考设则等于湖南长郡中学月考已知等比数列的前三项依次为则等于学习必备欢迎下载设是学习必备 欢迎下载(2)中项法：证明一个数列满足 a2n1an an2(n N*且 an an1 an20)3等比数列的性质：(1)anam qnm(n，m N*)；(2)若an为等比数列，且 klmn(k，l，m，n N*)，则 ak alam an；(3)设公比不为1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 qn.4在利用等比数列前 n 项和公式时，一定要对公比 q1 或 q1 作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法 5等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；(2)若an是等比数列，且 an0，则lg an构成等差数列 (满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2010 辽宁)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前 n 项和 已知 a2a41，S37，则S5等于 ()A.152 B.314 C.334 D.172 2(2010 浙江)设 Sn为等比数列an 的前 n 项和，8a2a50，则S5S2等于 ()A11 B8 C5 D11 3在各项都为正数的等比数列an中，a13，前三项的和 S321，则 a3a4a5等于()A33 B72 C84 D189 4等比数列an前 n 项的积为 Tn，若 a3a6a18是一个确定的常数，那么数列 T10，T13，T17，T25中也是常数的项是 ()AT10 BT13 CT17 DT25 5(2011 佛山模拟)记等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S32，S618，则S10S5等于()A3 B5 C31 D33 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6设an是公比为正数的等比数列，若 a11，a516，则数列an前 7 项的和为_ 7(2011 平顶山月考)在等比数列an中，公比 q2，前 99 项的和 S9930，则 a3a6a9a99_.8(2010 福建)在等比数列an中，若公比 q4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 an_.三、解答题(共 38 分)9(12 分)(2010 陕西)已知an是公差不为零的等差数列，a11，且 a1，a3，a9成等比数列(1)求数列an的通项；了解等比数列与指数函数的关系能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题自主梳理等比数列的定义如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的比等于同一常数不为零那么这个数列叫做比中项如果在与中间插入一个数使成等比数列那么叫做与的等比中项等比数列的常用性质通项公式的推广若为等比数列且则若项数相同是等比数列则仍是等比数列或或是单调性是数列数列是数列是数列等比数列的前项和公式等比数自我检测是成等比数列的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件若数列的前项和数列为等比数列则实数的值是温州月考设则等于湖南长郡中学月考已知等比数列的前三项依次为则等于学习必备欢迎下载设是学习必备 欢迎下载(2)求数列2an的前 n 项和 Sn.10(12 分)(2011 廊坊模拟)已知数列log2(an1)为等差数列，且 a13，a25.(1)求证：数列an1是等比数列；(2)求1a2a11a3a21an1an的值 11(14 分)已知等差数列an的首项 a11，公差 d0，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列bn的第 2 项、第 3 项、第 4 项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对 nN*均有c1b1c2b2cnbnan1成立，求 c1c2c3c2 010.答案 自主梳理 1公比 q 2.a1 qn1 4.(1)qnm(2)ak alam an(4)递增 递减 常 摆动 6.qn 自我检测 1D 2.B 3.B 4.C 5.9 课堂活动区 例 1 解题导引(1)在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中共有 a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；(2)本例可将所有项都用 a1和 q 表示，转化为关于 a1和 q 的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化 解 方法一 由已知得：a21q42a21q6a21q8100，a21q42a21q6a21q836.，得 4a21q664，a21q616.代入，得16q221616q2100.解得 q24 或 q214.又数列an为正项数列，q2 或12.当 q2 时，可得 a112，an122n12n2，Sn12(12n)122n112；了解等比数列与指数函数的关系能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题自主梳理等比数列的定义如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的比等于同一常数不为零那么这个数列叫做比中项如果在与中间插入一个数使成等比数列那么叫做与的等比中项等比数列的常用性质通项公式的推广若为等比数列且则若项数相同是等比数列则仍是等比数列或或是单调性是数列数列是数列是数列等比数列的前项和公式等比数自我检测是成等比数列的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件若数列的前项和数列为等比数列则实数的值是温州月考设则等于湖南长郡中学月考已知等比数列的前三项依次为则等于学习必备欢迎下载设是学习必备 欢迎下载 当 q12时，可得 a132.an3212n126n.Sn32112n1126426n.方法二 a1a5a2a4a23，a2a6a3a5，a3a7a4a6a25，由 a1a52a2a6a3a7100，a2a42a3a5a4a636，可得 a232a3a5a25100，a232a3a5a2536，即(a3a5)2100，(a3a5)236.a3a510，a3a5 6.解得 a38，a52，或 a32，a58.当 a38，a52 时，q2a5a32814.q0，q12，由 a3a1q28，得 a132，an3212n126n.Sn3226n121126426n.当 a32，a58 时，q2824，且 q0，q2.由 a3a1q2，得 a12412.an122n12n2.Sn12(2n1)212n112.变式迁移 1 解 由题意得 a2 an1a1 an128，a1an66，解得 a164，an2或 a12，an64.了解等比数列与指数函数的关系能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题自主梳理等比数列的定义如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的比等于同一常数不为零那么这个数列叫做比中项如果在与中间插入一个数使成等比数列那么叫做与的等比中项等比数列的常用性质通项公式的推广若为等比数列且则若项数相同是等比数列则仍是等比数列或或是单调性是数列数列是数列是数列等比数列的前项和公式等比数自我检测是成等比数列的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件若数列的前项和数列为等比数列则实数的值是温州月考设则等于湖南长郡中学月考已知等比数列的前三项依次为则等于学习必备欢迎下载设是学习必备 欢迎下载 若 a164，an2，则 Sna1anq1q642q1q126，解得 q12，此时，an26412n1，n6.若 a12，an64，则 Sn264q1q126，q2.an642 2n1.n6.综上 n6，q2 或12.例 2 解题导引(1)证明数列是等比数列的两个基本方法：an1anq(q 为与 n 值无关的常数)(nN*)a2n1anan2(an0，nN*)(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法(1)证明 由已知 Sn12Snn5，nN*，可得 n2 时，Sn2Sn1n4，两式相减得 Sn1Sn2(SnSn1)1，即 an12an1，从而 an112(an1)，当 n1 时，S22S115，所以 a2a12a16，又 a15，所以 a211，从而 a212(a11)，故总有 an112(an1)，nN*，又 a15，a110，从而an11an12，即数列an1是首项为 6，公比为 2 的等比数列(2)解 由(1)得 an16 2n1，所以 an6 2n11，于是 Sn6(12n)12n6 2nn6.变式迁移 2(1)解 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当 n1 时，a1212；当 n2 时，a12a2(a1a2)4，a24；当 n3 时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)证明 a12a23a3nan 了解等比数列与指数函数的关系能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题自主梳理等比数列的定义如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的比等于同一常数不为零那么这个数列叫做比中项如果在与中间插入一个数使成等比数列那么叫做与的等比中项等比数列的常用性质通项公式的推广若为等比数列且则若项数相同是等比数列则仍是等比数列或或是单调性是数列数列是数列是数列等比数列的前项和公式等比数自我检测是成等比数列的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件若数列的前项和数列为等比数列则实数的值是温州月考设则等于湖南长郡中学月考已知等比数列的前三项依次为则等于学习必备欢迎下载设是学习必备 欢迎下载(n1)Sn2n(nN*)，当 n2 时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得 nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即 Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，Sn2Sn122，故Sn2是以 4 为首项，2 为公比的等比数列 例 3 解题导引 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 mnpq，则 am anap aq”，可以减少运算量，提高解题速度 解 由已知得 1a11a21a31a41a5 a1a5a1a5a2a4a2a4a3a23 a1a2a3a4a5a238a232，a234，a3 2.若 a32，设数列的公比为 q，则2q22q22q2q28，即1q21q1qq2 1q122q122124.此式显然不成立，经验证，a32 符合题意，故 a32.变式迁移 3 解(1)a3a11a274a7，a70，a74，b74，bn为等差数列，b5b92b78.(2)a1a2a3a4a1 a1q a1q2 a1q3a41q61.a13a14a15a16a1q12 a1q13 a1q14 a1q15 a41 q548.：a41 q54a41 q6q488q162，又 a41a42a43a44a1q40 a1q41 a1q42 a1q43 a41 q166a41 q6 q160(a41 q6)(q16)10 1 2101 024.课后练习区 1B an是由正数组成的等比数列，且 a2a41，了解等比数列与指数函数的关系能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题自主梳理等比数列的定义如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的比等于同一常数不为零那么这个数列叫做比中项如果在与中间插入一个数使成等比数列那么叫做与的等比中项等比数列的常用性质通项公式的推广若为等比数列且则若项数相同是等比数列则仍是等比数列或或是单调性是数列数列是数列是数列等比数列的前项和公式等比数自我检测是成等比数列的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件若数列的前项和数列为等比数列则实数的值是温州月考设则等于湖南长郡中学月考已知等比数列的前三项依次为则等于学习必备欢迎下载设是学习必备 欢迎下载 设an的公比为 q，则 q0，且 a231，即 a31.S37，a1a2a31q21q17，即 6q2q10.故 q12或 q13(舍去)，a11q24.S54(1125)1128(1125)314.2A 由 8a2a50，得 8a1qa1q40，所以 q2，则S5S2a1(125)a1(122)11.3C 由题可设等比数列的公比为 q，则3(1q3)1q211qq27q2q60(q3)(q2)0，根据题意可知 q0，故 q2.所以 a3a4a5q2S342184.4C a3a6a18a31q2517(a1q8)3a39，即 a9为定值，所以下标和为 9 的倍数的积为定值，可知 T17为定值 5D 因为等比数列an中有 S32，S618，即S6S3a1(1q6)1qa1(1q3)1q1q31829，故 q2，从而S10S5a1(1q10)1qa1(1q5)1q 1q512533.6127 解析 公比 q4a5a116，且 q0，q2，S712712127.7.1207 解析 S9930，即 a1(2991)30，数列 a3，a6，a9，a99也成等比数列且公比为 8，a3a6a9a994a1(1833)18 了解等比数列与指数函数的关系能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题自主梳理等比数列的定义如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的比等于同一常数不为零那么这个数列叫做比中项如果在与中间插入一个数使成等比数列那么叫做与的等比中项等比数列的常用性质通项公式的推广若为等比数列且则若项数相同是等比数列则仍是等比数列或或是单调性是数列数列是数列是数列等比数列的前项和公式等比数自我检测是成等比数列的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件若数列的前项和数列为等比数列则实数的值是温州月考设则等于湖南长郡中学月考已知等比数列的前三项依次为则等于学习必备欢迎下载设是学习必备 欢迎下载 4a1(2991)747301207.84n1 解析 等比数列an的前 3 项之和为 21，公比 q4，不妨设首项为 a1，则 a1a1qa1q2a1(1416)21a121，a11，an14n14n1.9解(1)由题设知公差 d0，由 a11，a1，a3，a9成等比数列，得12d118d12d，(4分)解得 d1 或 d0(舍去)故an的通项an1(n1)1n.(7 分)(2)由(1)知 2an2n，由等比数列前 n 项和公式，得 Sn222232n2(12n)12 2n12.(12 分)10(1)证明 设 log2(an1)log2(an11)d(n2)，因为 a13，a25，所以 dlog2(a21)log2(a11)log24log221，(3分)所以 log2(an1)n，所以 an12n，所以an1an112(n2)，所以an1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列(6 分)(2)解 由(1)可得 an1(a11)2n1，所以 an2n1，(8 分)所以1a2a11a3a21an1an 12221232212n12n 1212212n112n.(12分)11解(1)由已知有 a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)解得 d2(d0 舍)(2 分)an1(n1)22n1.(3分)又 b2a23，b3a59，数列bn的公比为 3，bn3 3n23n1.(6了解等比数列与指数函数的关系能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题自主梳理等比数列的定义如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的比等于同一常数不为零那么这个数列叫做比中项如果在与中间插入一个数使成等比数列那么叫做与的等比中项等比数列的常用性质通项公式的推广若为等比数列且则若项数相同是等比数列则仍是等比数列或或是单调性是数列数列是数列是数列等比数列的前项和公式等比数自我检测是成等比数列的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件若数列的前项和数列为等比数列则实数的值是温州月考设则等于湖南长郡中学月考已知等比数列的前三项依次为则等于学习必备欢迎下载设是学习必备 欢迎下载 分)(2)由c1b1c2b2cnbnan1得 当 n2 时，c1b1c2b2cn1bn1an.两式相减得：当 n2 时，cnbnan1an2.(9 分)cn2bn2 3n1(n2)又当 n1 时，c1b1a2， 3 (n1)2 3n1 (n2).(11 分)c1c2c3c2 010 36232 010133(332 010)32 010.(14 分)了解等比数列与指数函数的关系能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题自主梳理等比数列的定义如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的比等于同一常数不为零那么这个数列叫做比中项如果在与中间插入一个数使成等比数列那么叫做与的等比中项等比数列的常用性质通项公式的推广若为等比数列且则若项数相同是等比数列则仍是等比数列或或是单调性是数列数列是数列是数列等比数列的前项和公式等比数自我检测是成等比数列的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件若数列的前项和数列为等比数列则实数的值是温州月考设则等于湖南长郡中学月考已知等比数列的前三项依次为则等于学习必备欢迎下载设是