电磁场07解答证明试题_-理学.pdf
1.如题（a）图所示，在 z 0 的下半空间是介电常数为 的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为 h 处有一点电荷 q。求（1）z 0 和 z 0 的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明 表面上极化电荷总电量等于镜像电荷 q。z z z q q q q R1 h P h h R2 0 o o 0 h R o P 0 图2.13q 题 4.24 图（a）题 4.24 图（b）题 4.24 图（c）解（1）在点电荷 q 的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电 荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（b）、（c）所示）q 0 q，位于 zh 0 q 0 q，位于 z h 0 上半空间内的电位由点电荷 q 和镜像电荷 q 共同产生，即 1 q q 4 0R1 4 0 R q 1 0 1 4 0 r 2 (z h)2 0 r2 (z h)2 下半空间内的电位由点电荷 q 和镜像电荷 q 共同产生，即 q q q 1 2 2(0)r 2 (z h)2 4 R2 （2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为 pn?P1 P2 z 0 0(E1z E2z)z 0 0(2 1)z 0 (0)hq z z 2 (0)(r 2 h2)3 2 1 极化电荷总电量为 qP PdS(0)hq r 3 2 dr P 2 rdr 00(r 2 2 S 0 h)(0)q q 0 2.一个半径为 R 的导体球带有电荷量为 Q，在球体外距离球心为 D 处有一个点电荷 q。（1）求点电荷 q 与导体球之间的静电力；（2）证明当 q 与 Q 同号，且 3 Q RD R 成立时，F 表现为吸引力。D d Q q o q qz R 解（1）导体球上除带有电荷量 Q 之外，点电荷 q 还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜 像法，像电荷 q 和 q 的大小和位置分别为（如题图所示）q R R2 D q，d D q q R q，d 0 D 导体球自身所带的电荷 Q 则与位于球心的点电荷 Q 等效。故点电荷 q 受到的静电力为 F Fq qFq q FQ q qq q(D q)4 0(D d)2 4 0D 2 q Q (R D)q Rq 4 0 D 2 2 2 D D R D （2）当 q与 Q 同号，且 F 表现为吸引力，即 F 0 时，则应有 2 内的电位介质表面上的极化电荷密度并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷图题图图题图题解在点电荷的电场作用下介质分界面上出现极化电荷利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷根据镜像法可知镜像电荷分布为如题图即由于分界面上无自由电荷分布故极化电荷面密度为极化电荷总电量为一个半径为的导体球带有电荷量为在球体外距离球心为处有一个点电荷与导体球之间的静电力证明当与同号且荷求点电成立时表现为吸引力解导体球上除带有电所示导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效故点电荷受到的静电力为当与同号且表现为吸引力即时则应有由此可得出如题所示图无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面试求两种磁介质中的磁感应强 Q (R D)q Rq D 2 R D D D 2 2 0 由此可得出 3 Q RD R z 3.如题 5.8 所示图，无限长直线电流 I 垂直于磁导率分别为 1 和 2 的两 种磁介质的分界面，试求（1）两种磁介质中的磁感应强度 B1 和 B2；（2）I 磁化电流分布。1 0 x 2 解（1）由安培环路定理，可得 H e I 2 r 所以得到 B1 0 H e 0 I r 2 B2 H e I r 2 （2）磁介质在的磁化强度 1 B2 H e(0)I M 2 0r 0 则磁化电流体密度 1 d(0)I 1 d 1 Jm M ez r d r(rM )ez 2 0 r d r(r r)0 在 r 0处，B2 具有奇异性，所以在磁介质中 r 0 处存在磁化线电流 I m。以 z 轴为中心、r 为半径 作一个圆形回路 C，由安培环路定理，有 I I m 1?B d l I H 1(P1)H 2(P1)0 0 C 故得到 l h H1(P2)H 2(P2)3 1 2 题 5.9 图 内的电位介质表面上的极化电荷密度并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷图题图图题图题解在点电荷的电场作用下介质分界面上出现极化电荷利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷根据镜像法可知镜像电荷分布为如题图即由于分界面上无自由电荷分布故极化电荷面密度为极化电荷总电量为一个半径为的导体球带有电荷量为在球体外距离球心为处有一个点电荷与导体球之间的静电力证明当与同号且荷求点电成立时表现为吸引力解导体球上除带有电所示导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效故点电荷受到的静电力为当与同号且表现为吸引力即时则应有由此可得出如题所示图无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面试求两种磁介质中的磁感应强 (1)I I m 0 在磁介质的表面上，磁化电流面密度为 er(0)I J mS=M?ez z=0 2 0r 4.如题图所示，一环形螺线管的平均半径 r0 15 cm，其圆形截面的半径 a 2 cm，鉄芯的相对磁导率 r 1400，环上绕 N 1000匝线圈，通过电流 I 0.7 A。（1）计算螺旋管的电感；（2）在鉄芯上开一个 l0 0.1cm 的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯的 r 不变）（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。解（1）由于 a r0，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定律，可得螺线管内的磁场为 NI H 2 r0 与螺线管铰链的磁链为 a r0 o a2 N 2 I l 0 NS H 2r0 I 故螺线管的电感为 L 题 5.12 图 a2 N 2 I 2r0 1400 4 10 7 0.02 2 10002 2 0.15 2.346 H （2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁 场只有法向分量。根据边界条件，有 B0 B B，但空气隙中的磁场强度 H 0 与铁芯中的磁场强度 H 不 同。根据安培环路定律，有 H 0l0 H (2 r0 l0)NI 又由于 B0 0 H 0、B 0 r H 及 B0 BB，于是可得 4 内的电位介质表面上的极化电荷密度并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷图题图图题图题解在点电荷的电场作用下介质分界面上出现极化电荷利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷根据镜像法可知镜像电荷分布为如题图即由于分界面上无自由电荷分布故极化电荷面密度为极化电荷总电量为一个半径为的导体球带有电荷量为在球体外距离球心为处有一个点电荷与导体球之间的静电力证明当与同号且荷求点电成立时表现为吸引力解导体球上除带有电所示导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效故点电荷受到的静电力为当与同号且表现为吸引力即时则应有由此可得出如题所示图无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面试求两种磁介质中的磁感应强 B 0 r NI r l0 (2 r0 l0)所以螺线管内的磁链为 NSB 0 r a2 N 2 I (2 r0 l0)r l0 故螺线管的电感为 L 0 r a2 N 2 r l 0(2 r0 l 0)I 4 2 10 7 1400 0.022 1000 2 1400 0.001 2 0.15 0.944 H 0.001 （3）空气隙中的磁场能量为 Wm0 1 0 H 02Sl0 2 鉄芯中的磁场能量为 Wm 1 0 r H 2 S(2 r0 l0)2 故 Wm0 r l0 1400 0.001 1.487 Wm2 r0 l0 2 0.15 0.001 5.一根半径为 a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场 B ezB0 中与 z 轴平行。设棒以角速度 绕轴作等速旋 转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解 介质棒内距轴线距离为 r 处的感应电场为 E v B e r ez B0 er r B0 故介质棒内的极化强度为 P Xe 0 E er(r 1)0r B0 er(0)r B0 极化电荷体密度为 P P 1(rP)1(0)r 2 B0 r r r r 2(0)B0 5 内的电位介质表面上的极化电荷密度并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷图题图图题图题解在点电荷的电场作用下介质分界面上出现极化电荷利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷根据镜像法可知镜像电荷分布为如题图即由于分界面上无自由电荷分布故极化电荷面密度为极化电荷总电量为一个半径为的导体球带有电荷量为在球体外距离球心为处有一个点电荷与导体球之间的静电力证明当与同号且荷求点电成立时表现为吸引力解导体球上除带有电所示导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效故点电荷受到的静电力为当与同号且表现为吸引力即时则应有由此可得出如题所示图无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面试求两种磁介质中的磁感应强 极化电荷面密度为 P P n er(0)r B0 er r a(0)a B0 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 QP a2 1 P 2 a2(0)B0 QPS 2 a 1 P 2 a2(0)B0 6.一圆柱形电容器，内导体半径为 a，外导体内半径为 b，长为 l。设外加电压为U 0 sin t，试计算电容 器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为 相同（准静态电场），即 E er U 0 sin t r ln(b a)故电容器两极板间的位移电流密度为 J d D U 0 cos t er r ln(b a)t 则 i d J d 2 l U 0 cos t dS r ln(b a)er er rd dz s 0 0 2 l t C U 0 cos t U 0 cos ln(b a)2 l C a)是长为 l 的圆柱形电容器的电容。式中，ln(b 流过电容器的传导电流为 ic C dU C U 0 cos t dt 可见 id ic 7.已知在空气中 Eey 0.1sin10 xcos(6 109 t z)，求 H 和 。(提示将 E 代入直角坐标中的波方程，可求得。)解 电场 E 应满足波动方程 内的电位介质表面上的极化电荷密度并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷图题图图题图题解在点电荷的电场作用下介质分界面上出现极化电荷利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷根据镜像法可知镜像电荷分布为如题图即由于分界面上无自由电荷分布故极化电荷面密度为极化电荷总电量为一个半径为的导体球带有电荷量为在球体外距离球心为处有一个点电荷与导体球之间的静电力证明当与同号且荷求点电成立时表现为吸引力解导体球上除带有电所示导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效故点电荷受到的静电力为当与同号且表现为吸引力即时则应有由此可得出如题所示图无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面试求两种磁介质中的磁感应强6 内的电位介质表面上的极化电荷密度并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷图题图图题图题解在点电荷的电场作用下介质分界面上出现极化电荷利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷根据镜像法可知镜像电荷分布为如题图即由于分界面上无自由电荷分布故极化电荷面密度为极化电荷总电量为一个半径为的导体球带有电荷量为在球体外距离球心为处有一个点电荷与导体球之间的静电力证明当与同号且荷求点电成立时表现为吸引力解导体球上除带有电所示导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效故点电荷受到的静电力为当与同号且表现为吸引力即时则应有由此可得出如题所示图无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面试求两种磁介质中的磁感应强 2 E 2 E 0 0 0 t 2 将已知的 E eyEy 代入方程，得 2 Ey 2 Ey 2Ey 0 x2 z2 0 0 2 t 式中 2 Ey 0.1(10)2 sin10 x cos(6 9 z)x2 10 t 2 Ey 0.1sin10 x 2 cos(6 109 t z)z2 2Ey 0.1 0 sin10 x (6 109)2 cos(6 109 t z)0 0 t 2 0 故得 (10 )2 2 0 0(6 109)2 0 则 300 54.41rad/m 由 E H 0 t 得 H 1 E 1 Ey Ey t ex ez 0 0 z x 1 ex 0.1 sin10 x sin(6 109 t z)0 ez0.1 10 cos10 x cos(6 109 t z)将上式对时间 t 积分，得 1 109 ex 0.1 sin10 x cos(6 109 t z 0 6 ez cos10 x sin(6 10 9 t z)ex 2.3 10 4 sin10 x cos(6 109 t 54.41z)ez1.33 10 4 cos10 x sin(6 109 t 54.41z)A/m 7 内的电位介质表面上的极化电荷密度并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷图题图图题图题解在点电荷的电场作用下介质分界面上出现极化电荷利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷根据镜像法可知镜像电荷分布为如题图即由于分界面上无自由电荷分布故极化电荷面密度为极化电荷总电量为一个半径为的导体球带有电荷量为在球体外距离球心为处有一个点电荷与导体球之间的静电力证明当与同号且荷求点电成立时表现为吸引力解导体球上除带有电所示导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效故点电荷受到的静电力为当与同号且表现为吸引力即时则应有由此可得出如题所示图无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面试求两种磁介质中的磁感应强 8.在自由空间中，已知电场 E(z,t)ey103 sin(t z)V/m，试求磁场强度 H(z,t)。解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式 E(z,t)ey103 cos(t z)V/m 2 这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为 90。与之相伴的磁场为 H(z,t)1 ez E(z,t)1 ez ey103 cos t z 0 0 2 ex 103 t z ex 2 65sin(t z)A/m cos 120 2 1 A/m 9.均匀平面波的磁场强度 H 的振幅为 3 ez 方向传播。当 t=0 和，以相位常数 30rad/m 在空气中沿 z=0 时，若 H 的取向为 ey，试写出 E 和 H 的表示式，并求出波的频率和波长。解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式 H ey 1 cos(t z)A/m 3 与之相伴的电场为 1 E 0 H(ez)120 ey 3 cos(tz)(ez)ex 40cos(t z)V/m 由rad/m 得波长 和频率 f 分别为 2 0.21m vp c 3 108 Hz 1.43 9 f 0.21 10 Hz 109 rad/s 9 109 rad/s 2 f 2 1.43 则磁场和电场分别为 H ey 1 cos(9 109 t 30 z)A/m 3 E ex 40cos(9 109 t 30z)V/m 8 内的电位介质表面上的极化电荷密度并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷图题图图题图题解在点电荷的电场作用下介质分界面上出现极化电荷利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷根据镜像法可知镜像电荷分布为如题图即由于分界面上无自由电荷分布故极化电荷面密度为极化电荷总电量为一个半径为的导体球带有电荷量为在球体外距离球心为处有一个点电荷与导体球之间的静电力证明当与同号且荷求点电成立时表现为吸引力解导体球上除带有电所示导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效故点电荷受到的静电力为当与同号且表现为吸引力即时则应有由此可得出如题所示图无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面试求两种磁介质中的磁感应强 10.海水的电导率 4S/m，相对介电常数 r 81。求频率为 10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz 的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。2.解 先判定海水在各频率下的属性 4 8.8 108 2 f r 0 2 f 81 0 f 可见，当 f 107 Hz 时，满足 1，海水可视为良导体。此时 f 0 f 0 c (1 j)f=10kHz 时 c f=100kHz 时 10 103 4 10 7 4 0.126 0.396 Np/m 2 2 15.87m 0.126 (1 j)10 103 4 10 7 4 0.099(1 j)c f=1MHz 时 100 103 4 10 7 4 1.26 Np/m 2 2 5m 1.26 (1 j)100 103 4 10 7 4 0.314(1 j)c f=10MHz 时 106 4 10 7 4 3.96Np/m 2 2 1.587m 3.96 (1 j)106 4 10 7 4 0.99(1 j)9 内的电位介质表面上的极化电荷密度并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷图题图图题图题解在点电荷的电场作用下介质分界面上出现极化电荷利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷根据镜像法可知镜像电荷分布为如题图即由于分界面上无自由电荷分布故极化电荷面密度为极化电荷总电量为一个半径为的导体球带有电荷量为在球体外距离球心为处有一个点电荷与导体球之间的静电力证明当与同号且荷求点电成立时表现为吸引力解导体球上除带有电所示导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效故点电荷受到的静电力为当与同号且表现为吸引力即时则应有由此可得出如题所示图无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面试求两种磁介质中的磁感应强 10 106 4 10 7 4 12.6Np/m 2 2 0.5m 12.6 c (1 j)10 106 4 10 7 3.14(1 j)4 当 f=100MHz 以上时，1 不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时，2 f 0 r 0 1()2 1 2 f 2 r 0 2 f 0 r 0 1()2 1 2 f 2 r 0 0(r 0)0 1 j(2 f r 0)f=100MHz 时 37.57Np/m 42.1rad/m 2 0.149m c 42 14.05e j 41.8o 1 j 8.9 f=1GHz 时 69.12Np/m 203.58rad/m 2 0.03m 0 42 36.5ej 20.8o 1 j 0.89 11.有一线极化的均匀平面波在海水(r 80,r 1,4S/m)中沿+y 方向传播，其磁场强度在 y=0 处 为 H ex 0.1sin(1010 t/3)A/m （1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出 H 的振幅为 0.01A/m 时的位置；（3）写出 E(y,t)和 H(y,t)的表示式。10 内的电位介质表面上的极化电荷密度并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷图题图图题图题解在点电荷的电场作用下介质分界面上出现极化电荷利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷根据镜像法可知镜像电荷分布为如题图即由于分界面上无自由电荷分布故极化电荷面密度为极化电荷总电量为一个半径为的导体球带有电荷量为在球体外距离球心为处有一个点电荷与导体球之间的静电力证明当与同号且荷求点电成立时表现为吸引力解导体球上除带有电所示导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效故点电荷受到的静电力为当与同号且表现为吸引力即时则应有由此可得出如题所示图无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面试求两种磁介质中的磁感应强 4 4 36 0.18 1010 80 1010 80 10 9 解（1）0 可见，在角频率 1010 时，海水为一般有损耗媒质，故 2 1()2 1 1010 80 0 0 1 0.182 1 83.9 Np/m 2 2 1()2 1 1010 80 0 0 1 0.182 1 300 rad/m 2 0 80 0 c 1 j 0.18 1 j 42.15 41.82ej 0.028 1.008e j 0.028 v p 1010 0.333 10 8 m/s 300 2 2 6.67 10 3 m 300 c 1 1 11.92 10 3 m 83.9 （2）由 0.01 0.1e y 即 e y 0.1 得 y 1 ln 10 1 2.303m 27.4 10 3 m 83.9 H(y,t)ex 0.1e 83.9 y sin(1010 t 300 y)A/m （3）3 其复数形式为 ex 0.1e 83.9 y e j 300 ye j H(y)3 A/m 故电场的复数表示式为 11 内的电位介质表面上的极化电荷密度并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷图题图图题图题解在点电荷的电场作用下介质分界面上出现极化电荷利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷根据镜像法可知镜像电荷分布为如题图即由于分界面上无自由电荷分布故极化电荷面密度为极化电荷总电量为一个半径为的导体球带有电荷量为在球体外距离球心为处有一个点电荷与导体球之间的静电力证明当与同号且荷求点电成立时表现为吸引力解导体球上除带有电所示导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效故点电荷受到的静电力为当与同号且表现为吸引力即时则应有由此可得出如题所示图无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面试求两种磁介质中的磁感应强 41.82ej 0.028 0.1e 83.9 y j(300 y )E(y)c H(y)ey e 3 2 ex ey 83.9 y j(300 y0.028 2)ez4.182e e 3 V/m 则 E(y,t)Re E(y)ej t ez 4.182e 83.9 y sin(1010 t 300 y 0.028 )V/m 3 12.为了在垂直于赫兹偶极子轴线的方向上，距离偶极子 100km 处得到电场强度的有效值大于 100 V/m，赫兹偶极子必须至少辐射多大功率？解 赫兹偶极子的辐射场为 E j Idl k e jkr sin 2 r 当 900，电场强度达到最大值为 E90 Idl k Idl 0 r 2 r 2 于是 Idl 2r E900 r 1 105 m,E 0 2 10 4 V/m 将 90 代入上式，得 Idl 2 105 2 10 4 而辐射功率 2 2 P80 2 I 2 dl Idl 3 有 2 2 105 2 10 4 P 3 12 内的电位介质表面上的极化电荷密度并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷图题图图题图题解在点电荷的电场作用下介质分界面上出现极化电荷利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷根据镜像法可知镜像电荷分布为如题图即由于分界面上无自由电荷分布故极化电荷面密度为极化电荷总电量为一个半径为的导体球带有电荷量为在球体外距离球心为处有一个点电荷与导体球之间的静电力证明当与同号且荷求点电成立时表现为吸引力解导体球上除带有电所示导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效故点电荷受到的静电力为当与同号且表现为吸引力即时则应有由此可得出如题所示图无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面试求两种磁介质中的磁感应强 得 P 2.22 W 13 内的电位介质表面上的极化电荷密度并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷图题图图题图题解在点电荷的电场作用下介质分界面上出现极化电荷利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷根据镜像法可知镜像电荷分布为如题图即由于分界面上无自由电荷分布故极化电荷面密度为极化电荷总电量为一个半径为的导体球带有电荷量为在球体外距离球心为处有一个点电荷与导体球之间的静电力证明当与同号且荷求点电成立时表现为吸引力解导体球上除带有电所示导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效故点电荷受到的静电力为当与同号且表现为吸引力即时则应有由此可得出如题所示图无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面试求两种磁介质中的磁感应强
