数列知识点总结高考_-高考.pdf
数列知识点总结 1.等差数列的定义与性质 定义：(为常数)，等差中项：成等差数列 前项和 性质：是等差数列(1)若，则(2)数列 12212,nnnaaa仍为等差数列，仍为等差数列，公差为dn2；(3)若三个成等差数列，可设为(4)若是等差数列，且前项和分别为，则(5)为等差数列(为常数，是关于的常数项为 0 的二次函数)。的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，(即：当，解不等式组可得达到最大值时的值;当，由可得达到最小值时的值.)(6)项数为偶数n2的等差数列，有),)()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanS ndSS奇偶，1nnaaSS偶奇.(7)项数为奇数12 n的等差数列，有)()12(12为中间项nnnaanS，naSS偶奇，1nnSS偶奇.2.等比数列的定义与性质 定义：(为常数，)，.等比中项：成等比数列，或.前项和：性质：是等比数列 (1)若，则(2)仍为等比数列,公比为nq.3求数列通项公式的常用方法 由nS求na。(1,2,11nSnSSannn )例 1：数列，求 解 时，时，得：，练习数列满足，求 注意到，代入上式整理得，又，是等比数列，故。时，1,42,431nnann故 由递推公式求na(1)累加法(形式)(1nfaann)例 2：数列中，求 解：33321222111aaaaaannnnnnn时，累加得2)13(33331121nnnaa )13(21nna(2)累乘法(形式)(1nfaann)例 3：数列中，求 解：，又，.(3)构造新数列(构造的新数列必为等比数列或等差数列)取倒构造(1na等于关于na的分式表达)数列仍为等差数列公差为若三个成等差数列可设为若是等差数列且前项和分别为则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最值或者求出中的正负分界项即当解不等式组可得达到最大值时的值当由可得数列的定义与性质定义为常数等比中项成等比数列或前项和性质是等比数列若则仍为等比数列公比为求数列通项公式的常用方法由求例数列求解时时得练习数列满足求注意到代入上式整理得又是等比数列故时故由递推公式求累加法造等于关于的分式表达例求解由已知得为等差数列公差为同除构造例求解对上式两边同除以得则为等差数列公差为例求解对上式两边同除以得令则有累加法可得又则即例求解对上式两边同除以得即则为等差数列公差为取对构造涉及例 4：，求 解：由已知得：，为等差数列，公差为，同除构造 例 5：nnnnaaaa求,33,111。解：对上式两边同除以13n，得313311nnnnaa，则nna3为等差数列，3131a，公差为31，331)1(313nnann，1333nnnnna。例 6：11132,1nnnaaa，求na。解：对 上 式 两 边 同 除 以12n，得111)23(22nnnnnaa，令nnnab2，则 有1123nnnbb，累加法可得89)21(43321)23(1)23(121nnnbb，,21211ab又则 85)21(43nnb，即43285,85)21(432nnnnnaa。例 7：nnnnnaaaaaa求,02,1111。解：对上式两边同除以1nnaa，得02111nnaa，即2111nnaa，则na1为等差数列，111a，公差为 2，12)1(211nnan，121nan。取对构造(涉及na的平方)例 8：.,3,3211nnnaaaa求 解：对上式两边取对数，得213lglgnnaa，由对数运算性质得3lglg2lg1nnaa 两边同时加3lg，整理得,lg23lg),3lg(lg23lglg11nnnnaaaa即则na3lg为数列仍为等差数列公差为若三个成等差数列可设为若是等差数列且前项和分别为则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最值或者求出中的正负分界项即当解不等式组可得达到最大值时的值当由可得数列的定义与性质定义为常数等比中项成等比数列或前项和性质是等比数列若则仍为等比数列公比为求数列通项公式的常用方法由求例数列求解时时得练习数列满足求注意到代入上式整理得又是等比数列故时故由递推公式求累加法造等于关于的分式表达例求解由已知得为等差数列公差为同除构造例求解对上式两边同除以得则为等差数列公差为例求解对上式两边同除以得令则有累加法可得又则即例求解对上式两边同除以得即则为等差数列公差为取对构造涉及公比为 2 的等比数列，由此推知na通项公式。等比型(常用待定系数)例 9：nnnaaaa求,23,111。解：待定系数法设上式可化为如下形式：)(31kakann，整理可知22 k，则1k，原式可化为)1(311nnaa，则1na为公比=3 的等比数列，由此推知na通项公式。例 10：134,211naaann，求na。解：待定系数法设上式可化为如下形式：)(4)1(1bknabnkann，整理可知1333kbk，得0,1bk，原式可化为)(4)1(1nanann，则nan为公比=4 的等比数列，由此推知na通项公式。提公因式 例 11：nnnnaaaaa求,21,111。解：上式变形为11nnnnaaaa，等号左边提公因式得111nnnaaa，,111nnnaaa两边取倒数得11111,11111nnnnnaaaaa，11na为公差为 1 的等差数列，由此推知na通项公式。例 12：)2(32,3,21121naaaaannn当，求na。解：上式变形为11112,22nnnnnnnnaaaaaaaa，令nnnaab 1，则 121nnbb，112121,1nnnbbb的等比数列，公比为为首项，1121nnnaa；由累加法可求得na通项公式。4.求数列前 n 项和的常用方法 (1)分组求和(分组后用公式)数列仍为等差数列公差为若三个成等差数列可设为若是等差数列且前项和分别为则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最值或者求出中的正负分界项即当解不等式组可得达到最大值时的值当由可得数列的定义与性质定义为常数等比中项成等比数列或前项和性质是等比数列若则仍为等比数列公比为求数列通项公式的常用方法由求例数列求解时时得练习数列满足求注意到代入上式整理得又是等比数列故时故由递推公式求累加法造等于关于的分式表达例求解由已知得为等差数列公差为同除构造例求解对上式两边同除以得则为等差数列公差为例求解对上式两边同除以得令则有累加法可得又则即例求解对上式两边同除以得即则为等差数列公差为取对构造涉及 例 13：求和nn21813412211。解：原式=)21814121()321(21813412211nnnn =2)1(211211)211(212)1(nnnnnn(2)裂项相消(把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.)常用：111)1(1nnnn；)211(21)2(1nnnn；nnnn111。(3)错位相减(通项可表示为等差乘等比的形式)例 14：求nS。解：时，时，练习 求数列nnSnn项和的前2。(答案：nnnS222)(4)倒序相加(前后项之和为定值。把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.)相加 5.求数列绝对值的前 n 项和(根据项的正负，分类讨论)例 15：已知数列na的通项nan211，nnab，求nb的前n项和nT。解：设数列na的前n项和为nS，,2,91da公差210)2(2)1(9nnnnnSn 5n时，2212110nnSaaaaaaTnnnn 5n时，5010)10(50222555765216521nnnnSSSSSaaaaaaaaaaaTnnnnn 5,50105,1022nnnnnnTn。数列仍为等差数列公差为若三个成等差数列可设为若是等差数列且前项和分别为则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最值或者求出中的正负分界项即当解不等式组可得达到最大值时的值当由可得数列的定义与性质定义为常数等比中项成等比数列或前项和性质是等比数列若则仍为等比数列公比为求数列通项公式的常用方法由求例数列求解时时得练习数列满足求注意到代入上式整理得又是等比数列故时故由递推公式求累加法造等于关于的分式表达例求解由已知得为等差数列公差为同除构造例求解对上式两边同除以得则为等差数列公差为例求解对上式两边同除以得令则有累加法可得又则即例求解对上式两边同除以得即则为等差数列公差为取对构造涉及 数列仍为等差数列公差为若三个成等差数列可设为若是等差数列且前项和分别为则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最值或者求出中的正负分界项即当解不等式组可得达到最大值时的值当由可得数列的定义与性质定义为常数等比中项成等比数列或前项和性质是等比数列若则仍为等比数列公比为求数列通项公式的常用方法由求例数列求解时时得练习数列满足求注意到代入上式整理得又是等比数列故时故由递推公式求累加法造等于关于的分式表达例求解由已知得为等差数列公差为同除构造例求解对上式两边同除以得则为等差数列公差为例求解对上式两边同除以得令则有累加法可得又则即例求解对上式两边同除以得即则为等差数列公差为取对构造涉及
