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数列 一、数列的定义：按一定顺序排列成的一列数叫做数列 记为：an即an:a1,a2,an 二、通项公式：用项数n来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。1、本质：数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 2、通项公式:an=f(n)是an关于n的函数关系 三、前n项之和：Sn=a1+a2+an 注 求数列通项公式的一个重要方法：)2()1(11nssnsannn 例1、已知数列100-3n，（1）求a2、a3；（2）此数列从第几项起开始为负项 例2 已知数列na的前n项和，求数列的通项公式：（1）nS=n2+2n；（2）nS=n2-2n-1.解：（1）当n2 时，na=nS-1nS=(n2+2n)-(n-1)2+2(n-1)=2n+1；当n=1时，1a=1S=12+21=3；经检验，当n=1时，2n+1=21+1=3，na=2n+1为所求.（2）当n2 时，na=nS-1nS=(n2-2n-1)-(n-1)2+2(n-1)-1=2n-3；当n=1时，1a=1S=12-21-1=-2；经检验，当n=1时，2n-3=21-3=-1-2，na=)2(32)1(2nnn为所求 注：数列前n项的和nS和通项na是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1nnnaSS时，一定要注意条件2n ，求通项时一定要验证1a是否适合 例3 当数列100-2n前n项之和最大时，求n的值 分析：前n项之和最大转化为100nnaa 数列的通项公式本质数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数通项公式是关于的函数关系三前项之和注求数列通项公式的一个重要方法例已知数列求此数列从第几项起开始为负项例已知数列的前项和求数列的通项公式解当时时一定要注意条件求通项时一定要验证是否系式适合例当数列前项之和最大时求的值分析前项之和最大转化为等差数列如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差中项等差数列的判定方法定义法常数中项法通项法前项和法练习已知数列满足求通项例在等差数列中已知求解设首项为公差为则得得或例设是递增等差数列它的前项之和为前项之积为求这个数列的首项分析三个数成等差数列可设这等差数列 1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示即：)()(1Nndaann常数 2.通项：dnaan)1(1，推广：dmnaamn)(3.求和：dnnnaaanSnn2)1(2)(11（关于n的没有常数项的二次函数）4.中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c 5.等差数列的判定方法(1)定义法:)()(1Nndaann常数 (2)中项法:212nnnaaa(3)通项法:dnaan)1(1 (4)前n项和法:BnAnSn2 练习：已知数列 an满足：a1=2,an=a1n+3,求通项an 例1 在等差数列na中,已知.,63,6,994nSaan求 数列的通项公式本质数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数通项公式是关于的函数关系三前项之和注求数列通项公式的一个重要方法例已知数列求此数列从第几项起开始为负项例已知数列的前项和求数列的通项公式解当时时一定要注意条件求通项时一定要验证是否系式适合例当数列前项之和最大时求的值分析前项之和最大转化为等差数列如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差中项等差数列的判定方法定义法常数中项法通项法前项和法练习已知数列满足求通项例在等差数列中已知求解设首项为公差为则得得或例设是递增等差数列它的前项之和为前项之积为求这个数列的首项分析三个数成等差数列可设这 解:设首项为1a,公差为d,则3188639111dadada得76:)1(231863nnnnnSn或得 例2（1）设an是递增等差数列，它的前3项之和为12，前3项之积为48，求这个数列的首项 分析2：三个数成等差数列可设这三个数为：a-d，a，a+d 数列的通项公式本质数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数通项公式是关于的函数关系三前项之和注求数列通项公式的一个重要方法例已知数列求此数列从第几项起开始为负项例已知数列的前项和求数列的通项公式解当时时一定要注意条件求通项时一定要验证是否系式适合例当数列前项之和最大时求的值分析前项之和最大转化为等差数列如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差中项等差数列的判定方法定义法常数中项法通项法前项和法练习已知数列满足求通项例在等差数列中已知求解设首项为公差为则得得或例设是递增等差数列它的前项之和为前项之积为求这个数列的首项分析三个数成等差数列可设这拓展：（1）若n+m=2p，则an+am=2ap 推广：从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：14710,a aaa（下标成等差数列）（2）等和性：mnpqaaaa*(,)m n p qNmnpq （3）,232nnnnnSSSSS组成公差为dn2的等差数列.（4）an=am+（n-m）d 例1 （1）已知a3+a11=20，求a7（2）已知3a+4a+5a+6a+7a450,求2a+8a及前9项和9S 解 由等差中项公式：3a+7a25a，4a+6a25a 由条件3a+4a+5a+6a+7a450,得：55a450,2a8a25a180.9S199()2aa810 等比数列 1定义与定义式：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列的通项公式本质数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数通项公式是关于的函数关系三前项之和注求数列通项公式的一个重要方法例已知数列求此数列从第几项起开始为负项例已知数列的前项和求数列的通项公式解当时时一定要注意条件求通项时一定要验证是否系式适合例当数列前项之和最大时求的值分析前项之和最大转化为等差数列如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差中项等差数列的判定方法定义法常数中项法通项法前项和法练习已知数列满足求通项例在等差数列中已知求解设首项为公差为则得得或例设是递增等差数列它的前项之和为前项之积为求这个数列的首项分析三个数成等差数列可设这数列称作等比数列.)(1为不等于零的常数qqaann 2通项公式：11nnqaa,推广形式:mnmnqaa 3前n项和：)10(11)1()1(111qqqqaaqqaqnaSnnn且 注:应用前n项和公式时,一定要区分11qq与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论 4等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即abG2（Gac）5等比数列的判定方法：定义法：对于数列na，若)0(1qqaann，则数列na是等比数列.等比中项：对于数列na，若212nnnaaa，则数列na是等比数列 例1 等比数列中1a=2,3a=8，求通项公式；解：24213qqqaannnnnnaa)2()2)(2(22)2(11或 例2 在等比数列an中，S41，S83，则a17a18a19a20.数列的通项公式本质数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数通项公式是关于的函数关系三前项之和注求数列通项公式的一个重要方法例已知数列求此数列从第几项起开始为负项例已知数列的前项和求数列的通项公式解当时时一定要注意条件求通项时一定要验证是否系式适合例当数列前项之和最大时求的值分析前项之和最大转化为等差数列如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差中项等差数列的判定方法定义法常数中项法通项法前项和法练习已知数列满足求通项例在等差数列中已知求解设首项为公差为则得得或例设是递增等差数列它的前项之和为前项之积为求这个数列的首项分析三个数成等差数列可设这 解 解方程组可得：q4=2，111aq，解法2 由nS，nS2nS，nS3nS2，成等比数列计算 在等比数列na中有如下性质:（1）若n+m=2p，则anam=(ap)2。推广：从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：14710,a aaa（下标成等差数列）（2）等积性:mnpqaaaa（,mnpq m n p qN ）（3）an=amqmn 例1 在等比数列na中，1633aa，3432aa，1nnaa，（1）求na；（2）若12lglglgnnTaaaL，求nT.解（1）62nna （2）2111()lg 222nTnn 例2 1237aaa，1238aaa ，求na.数列的通项公式本质数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数通项公式是关于的函数关系三前项之和注求数列通项公式的一个重要方法例已知数列求此数列从第几项起开始为负项例已知数列的前项和求数列的通项公式解当时时一定要注意条件求通项时一定要验证是否系式适合例当数列前项之和最大时求的值分析前项之和最大转化为等差数列如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差中项等差数列的判定方法定义法常数中项法通项法前项和法练习已知数列满足求通项例在等差数列中已知求解设首项为公差为则得得或例设是递增等差数列它的前项之和为前项之积为求这个数列的首项分析三个数成等差数列可设这 解：设an的公比为q，由题意知,8,721112111qaqaaqaqaa解得2,11qa或.21,41qa12nna或31()2nna 数列的通项公式本质数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数通项公式是关于的函数关系三前项之和注求数列通项公式的一个重要方法例已知数列求此数列从第几项起开始为负项例已知数列的前项和求数列的通项公式解当时时一定要注意条件求通项时一定要验证是否系式适合例当数列前项之和最大时求的值分析前项之和最大转化为等差数列如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差中项等差数列的判定方法定义法常数中项法通项法前项和法练习已知数列满足求通项例在等差数列中已知求解设首项为公差为则得得或例设是递增等差数列它的前项之和为前项之积为求这个数列的首项分析三个数成等差数列可设这数列综合运用 例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q 解:设等差数列的通项an=a1+(n-1)d(d0).根据题意得 a32=a2a6 即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得 da211.所以.32122121123dddddadaaaq 例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数 数列的通项公式本质数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数通项公式是关于的函数关系三前项之和注求数列通项公式的一个重要方法例已知数列求此数列从第几项起开始为负项例已知数列的前项和求数列的通项公式解当时时一定要注意条件求通项时一定要验证是否系式适合例当数列前项之和最大时求的值分析前项之和最大转化为等差数列如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差中项等差数列的判定方法定义法常数中项法通项法前项和法练习已知数列满足求通项例在等差数列中已知求解设首项为公差为则得得或例设是递增等差数列它的前项之和为前项之积为求这个数列的首项分析三个数成等差数列可设这 解：设这四个数为：2(),adad a ada，则2()16212adadaad 解得：48ad或96ad，所以所求的四个数为：4,4,12,36；或15,9,3,1 数列的通项公式本质数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数通项公式是关于的函数关系三前项之和注求数列通项公式的一个重要方法例已知数列求此数列从第几项起开始为负项例已知数列的前项和求数列的通项公式解当时时一定要注意条件求通项时一定要验证是否系式适合例当数列前项之和最大时求的值分析前项之和最大转化为等差数列如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差中项等差数列的判定方法定义法常数中项法通项法前项和法练习已知数列满足求通项例在等差数列中已知求解设首项为公差为则得得或例设是递增等差数列它的前项之和为前项之积为求这个数列的首项分析三个数成等差数列可设这
