一次函数与几何图形综合专题讲座中考_-.pdf

一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结：（1）函数方法 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法 函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题（2）数形结合法 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用 知识规律小结：（1）常数 k，b 对直线 y=kx+b(k0）位置的影响 当 b0 时，直线与 y 轴的正半轴相交；当 b=0 时，直线经过原点；当 b0 时，直线与 y 轴的负半轴相交 当 k，b 异号时，即kb0 时，直线与 x 轴正半轴相交；当 b=0 时，即kb=0 时，直线经过原点；当 k，b 同号时，即kb0 时，直线与 x 轴负半轴相交 当 kO，bO 时，图象经过第一、二、三象限；当 k0，b=0 时，图象经过第一、三象限；当 bO，bO 时，图象经过第一、三、四象限；当 kO，b0 时，图象经过第一、二、四象限；当 kO，b=0 时，图象经过第二、四象限；当 bO，bO 时，图象经过第二、三、四象限（2）直线 y=kx+b（k0）与直线 y=kx(k0)的位置关系 直线 y=kx+b(k0)平行于直线 y=kx(k0)当 b0 时，把直线 y=kx向上平移 b 个单位，可得直线 y=kx+b；当 bO 时，把直线 y=kx向下平移|b|个单位，可得直线 y=kx+b（3）直线 b1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2（k10，k20）的位置关系 k1 k2y1与 y2相交；2121bbkky1与 y2相交于 y 轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；2121,bbkky1与 y2平行；2121,bbkky1与 y2重合.例题精讲：1、直线 y=2x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，C 在 y 轴的负半轴上，且 OC=OB(1)求 AC 的解析式；(2)在 OA 的延长线上任取一点 P,作 PQBP,交直线 AC 于 Q,试探究 BP 与 PQ 的数量关系，并证明你的结论。(3)在（2）的前提下，作 PMAC 于 M,BP 交 AC 于 N,下面两个结论：(MQ+AC)/PM 的值不变；(MQAC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。x y o B A C P Q x y o B A C P Q M 抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数2(本题满分 12 分)如图所示，直线 L：5ymxm与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于 A、B 两点。(1)当 OA=OB 时，试确定直线 L 的解析式；(2)在(1)的条件下，如图所示，设 Q 为 AB延长线上一点，作直线 OQ，过 A、B 两点分别作 AMOQ 于 M，BNOQ 于 N，若 AM=4，BN=3，求 MN 的长。(3)当m取不同的值时，点 B 在y轴正半轴上运动，分别以 OB、AB为边，点 B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF 和等腰直角ABE，连 EF 交y轴于 P 点，如图。问：当点 B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想 PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定 专题：代数几何综合题 分析：（1）是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；（2）由 OA=OB 得到启发，证明AMOONB，用对应线段相等求长度；（3）通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求 PB 的长 第 2 题图 第 2 题图 第 2 题图 抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数解答：解：（1）直线 L：y=mx+5m，A（5，0），B（0，5m），由 OA=OB 得 5m=5，m=1，直线解析式为：y=x+5（2）在AMO 和OBN 中 OA=OB，OAM=BON，AMO=BNO，AMOONB AM=ON=4，BN=OM=3（3）如图，作 EKy 轴于 K 点 先证ABOBEK，OA=BK，EK=OB 再证PBFPKE，PK=PB PB=21BK=21OA=25 点评：本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，本题也涉及一次函数图象的实际应用问题 3、如图，直线1l与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，直线2l与直线1l关于 x 轴对称，已知直线1l的解析式为3yx，（1）求直线2l的解析式；（3 分）（2）过 A点在ABC 的外部作一条直线3l，过点 B 作 BE3l于 E,过点 C 作 CF3l于 F 分别，请画出图形并求证：BECFEF （3）ABC 沿 y 轴向下平移，AB 边交 x 轴于点 P，过 P 点的直线与 AC 边的延长线相交于点 Q，与 y 轴相交与点 M，且BPCQ，在ABC 平移的过程中，OM 为定值；MC 为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确CBAl2l10 xyCBA0 xyQMPCBA0 xy抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数的结论，并求出其值。（6 分）考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质 分析：（1）根据题意先求直线 l1与 x 轴、y 轴的交点 A、B 的坐标，再根据轴对称的性质求直线 l2的上点 C 的坐标，用待定系数法求直线 l2的解析式；（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明BEAAFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明 BE+CF=EF；（3）首先过 Q 点作 QHy 轴于 H，证明QCHPBO，然后根据全等三角形的性质和QHMPOM，从而得 HM=OM，根据线段的和差进行计算 OM 的值 解答：解：（1）直线 l1与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，A（3，0），B（0，3），直线 l2与直线 l1关于 x 轴对称，C（0，3）直线 l2的解析式为：y=x3；（2）如图 1 答：BE+CF=EF 直线 l2与直线 l1关于 x 轴对称，AB=BC，EBA=FAC，BEl3，CFl3 BEA=AFC=90 BEAAFC BE=AF，EA=FC，BE+CF=AF+EA=EF；（3）对，OM=3 过 Q 点作 QHy 轴于 H，直线 l2与直线 l1关于 x 轴对称 POB=QHC=90，BP=CQ，又 AB=AC，ABO=ACB=HCQ，则QCHPBO（AAS），QH=PO=OB=CH 抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数QHMPOM HM=OM OM=BC（OB+CM）=BC（CH+CM）=BCOM OM=21BC=3 点评：轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等 4.如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且 a、b 满足.(1)求直线 AB 的解析式；(2)若点 M 为直线 y=mx 上一点，且ABM 是以 AB为底的等腰直角三角形，求 m 值；(3)过 A点的直线交 y 轴于负半轴于 P，N 点的横坐标为1，过 N 点的直线交 AP 于点 M，试证明的值为定值 考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 专题：计算题 分析：（1）求出 a、b 的值得到 A、B 的坐标，设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；（2）当 BMBA，且 BM=BA时，过 M 作 MNY轴于 N，证BMNABO（AAS），求出 M 的坐标即可；当 AMBA，且 AM=BA时，过 M 作 MNX轴于 N，同法求出 M 的抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数坐标；当 AMBM，且 AM=BM 时，过 M 作 MNX轴于 N，MHY轴于 H，证BHMAMN，求出 M 的坐标即可（3）设 NM 与 x 轴的交点为 H，分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为 G，HD 交 MP 于 D 点，求出 H、G 的坐标，证AMGADH，AMGADHDPCNPC，推出PN=PD=AD=AM 代入即可求出答案 解答：解：（1）要使 b=有意义，必须（a2）2=0，4-b=0，a=2，b=4，A（2，0），B（0，4），设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，代入得：0=2k+b，4=b，解得：k=2，b=4，函数解析式为：y=2x+4，答：直线 AB的解析式是 y=2x+4（2）如图 2，分三种情况：如图（1）当 BMBA，且 BM=BA时，过 M 作 MNY轴于 N，BMNABO（AAS），MN=OB=4，BN=OA=2，ON=2+4=6，M 的坐标为（4，6），代入 y=mx 得：m=23，如图（2）当 AMBA，且 AM=BA时，过 M 作 MNX轴于 N，BOAANM（AAS），抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数同理求出 M 的坐标为（6，2），m=31，当 AMBM，且 AM=BM 时，过 M 作 MNX轴于 N，MHY轴于 H，则BHMAMN，MN=MH，设 M（x，x）代入 y=mx 得：x=mx，（2）m=1，答：m 的值是23或31或 1（3）解：如图 3，结论 2 是正确的且定值为 2，设 NM 与 x 轴的交点为 H，分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为 G，HD 交 MP 于 D 点，由 y=2kx2k与 x 轴交于 H 点，H（1，0），由 y=2kx2k与 y=kx2k交于 M 点，M（3，K），而 A（2，0），A为 HG 的中点，AMGADH（ASA），又因为 N 点的横坐标为1，且在 y=2kx2k上，可得 N 的纵坐标为K，同理 P 的纵坐标为2K，ND 平行于 x 轴且 N、D 的横坐标分别为1、1 N 与 D 关于 y 轴对称，AMGADHDPCNPC，PN=PD=AD=AM，AMPN-PM=2 点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键 抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数5.如图，直线 AB：y=xb 分别与 x、y 轴交于 A（6，0）、B 两点，过点 B 的直线交 x 轴负半轴于 C，且 OB：OC=3：1。（1）求直线 BC 的解析式：（2）直线 EF：y=kxk（k0）交 AB于 E，交 BC 于点 F，交 x 轴于 D，是否存在这样的直线 EF，使得 SEBD=SFBD？若存在，求出 k的值；若不存在，说明理由？（3）如图，P 为 A点右侧 x 轴上的一动点，以 P 为直角顶点，BP 为腰在第一象限内作等腰直角BPQ，连接 QA 并延长交轴于点 K，当 P 点运动时，K 点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。考点：一次函数综合题；一次函数的定义；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式 专题：计算题 分析：代入点的坐标求出解析式 y=3x+6，利用坐标相等求出 k的值，用三角形全等的相等关系求出点的坐标 解答：解：（1）由已知：0=6b，b=6，AB：y=x+6 B（0，6）OB=6 OB：OC=3：1，OC=3OB=2，C（2，0）设 BC 的解析式是 Y=ax+c，代入得；6=0 a+c,0=2a+c，解得：a=3,c=6，BC：y=3x+6 直线 BC 的解析式是：y=3x+6；（2）过 E、F 分别作 EMx 轴，FNx 轴，则EMD=FND=90 抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数SEBD=SFBD，DE=DF 又NDF=EDM，NFDEDM，FN=ME 联立 y=kxk,y=x+6 得 yE=1k5k，联立 y=kxk，y=3x+6 得 yF=3-k9k FN=yF，ME=yE，1k5k=3-k9k-k0，5（k3）=9（k+1），k=73；（3）不变化 K（0，6）过 Q 作 QHx 轴于 H，BPQ 是等腰直角三角形，BPQ=90，PB=PQ，BOA=QHA=90，BPO=PQH，BOPHPQ，PH=BO，OP=QH，PH+PO=BO+QH，即 OA+AH=BO+QH，又 OA=OB，AH=QH，AHQ 是等腰直角三角形，QAH=45，抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数OAK=45，AOK 为等腰直角三角形，OK=OA=6，K（0，6）点评：此题是一个综合运用的题，关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解 6.如图，直线 AB交 X 轴负半轴于 B（m，0），交 Y轴负半轴于 A（0，m），OCAB于 C（2，2）。（1）求 m 的值；-4m2CGOGGB,45OAOBGOBG都是等腰直角三角形为等腰直角三角形的垂线，垂足为作过OCBCGOCGBCBOAOB（2）直线 AD 交 OC 于 D，交 X轴于 E，过 B 作 BFAD 于 F,若 OD=OE，求AEBF的值；抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数21BF2BFBHBFAEBF2BHBFBHAEBHASAAOEBOH90AOEBOHAOBOEAOHBOAOEBOH)(BFASAAFHAFB)(AFAF90AFHAFBAFHAFBFEBADC)(OEDFEBODEOEDODOEFAHHBOBFHFFAHBAFFAHCADCADHBOODEADC等）（全等三角形对应边相）（已知）（已证）中，和在全等三角形对应边相等）（已证（公共边）中和在对顶角相等，（同角的余角相等）（3）如图，P 为 x 轴上 B 点左侧任一点，以 AP 为边作等腰直角APM，其中 PA=PM，直线 MB 交 y 轴于 Q，当 P 在 x 轴上运动时，线段 OQ 长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数 7.在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b 的图像过点 B（1，），与 x 轴交于点 A（4,0），与 y 轴交于点 C，与直线 y=kx 交于点 P，且 PO=PA （1）求 a+b 的值；抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数（2）求 k的值；（3）D 为 PC 上一点，DFx 轴于点 F，交 OP 于点 E，若 DE=2EF，求 D 点坐标.考点：一次函数与二元一次方程（组）专题：计算题；数形结合；待定系数法 分析：（1）根据题意知，一次函数 y=ax+b 的图象过点 B（1，25）和点 A（4，0），把A、B 代入求值即可；（2）设 P（x，y），根据 PO=PA，列出方程，并与 y=kx组成方程组，解方程组；（3）设点 D（x，21x+2），因为点 E 在直线 y=21x 上，所以 E（x，21x），F（x，0），再根据等量关系 DE=2EF 列方程求解 解答：解：（1）根据题意得：25=a+b 0=4a+b 解方程组得：a=21，b=2 a+b=21+2=23，即 a+b=23；（2）设 P（x，y），则点 P 即在一次函数 y=ax+b 上，又在直线 y=kx 上，由（1）得：一次函数 y=ax+b 的解析式是 y=21x+2，又PO=PA，x2+y2=(4x)2+y2 y=kx 抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数y=21 x+2，解方程组得：x=2，y=1，k=21，k的值是21；（3）设点 D（x，21x+2），则 E（x，21x），F（x，0），DE=2EF，21x+221x=221x，解得：x=1，则21x+2=21 1+2=23，D（1，23）点评：本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系 8.在直角坐标系中，B、A分别在 x，y 轴上，B 的坐标为（3，0），ABO=30，AC 平分OAB交 x 轴于 C；（1）求 C 的坐标；解：AOB=90 ABO=30 OAB=30 又 AC 是OAB 的角平分线 OAC=CAB=30 OB=3 OA=3 OC=1 即 C(1，0)（2）若 D 为 AB中点，EDF=60，证明：CE+CF=OC 证明：取 CB 中点 H，连 CD,DH AO=3 CO=1 AC=2 又D,H 分别是 AB,CD 中点 抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数 DH=AC21 AB=23 DB=21AB=3 BC=2 ABC=30 BC=2 CD=2 CDB=60 CD=1=DH EOF=EDC+CDF=60 CDB=CDF+FDH=60 EDC=FDH AC=BC=2 CDAB ADC=90 CBA=30 ECD=60 HD=HB=1 DHF=60 在DCE 和 DHF 中 EDC=FDH DCE=DHF DC=DH DCE DHF(AAS)CE=HF CH=CF+FH=CF+CE=1 OC=1 CH=OC OC=CE+CF（3）若 D 为 AB 上一点，以 D 作DEC，使 DC=DE，EDC=120，连 BE，试问EBC的度数是否发生变化；若不变，请求值。解：不变 EBC=60 设 DB 与 CE 交与点 G DC=DE EDC=120 DEC=DCE=30 在DGC 和 DCB 中 CDG=BDC 抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数 DCG=DBC=30 DGC DCB DGDC=DCDB DC=DE DGDE=DEDB 在 EDG 和 BDE 中 DGDE=DEDB EDG=BDE EDG BDE DEG=DBE=30 EBD=DBE+DBC=60 9、如图，直线 AB 交 x 轴正半轴于点 A（a，0），交 y 轴正半轴于点 B（0，b），且 a、b满足4a+|4b|=0 （1）求 A、B 两点的坐标；（2）D 为 OA 的中点，连接 BD，过点 O 作 OEBD 于 F，交 AB 于 E，求证BDO=EDA；（3）如图，P 为 x 轴上 A点右侧任意一点，以 BP 为边作等腰 RtPBM，其中 PB=PM，直线 MA 交 y 轴于点 Q，当点 P 在 x 轴上运动时，线段 OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段 OQ 的取值范围.考点：全等三角形的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根 A B O D E F y x A B O M P Q x y 抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数专题：证明题；探究型 分析：首先根据已知条件和非负数的性质得到关于 a、b 的方程，解方程组即可求出 a，b的值，也就能写出 A，B 的坐标；作出AOB 的平分线，通过证BOGOAE 得到其对应角相等解决问题；过 M 作 x 轴的垂线，通过证明PBOMPN 得出 MN=AN，转化到等腰直角三角形中去就很好解决了 解答：解：4a+|4b|=0 a=4，b=4，A（4，0），B（0，4）；（2）作AOB 的角平分线，交 BD 于 G，BOG=OAE=45，OB=OA，OBG=AOE=90BOF，BOGOAE，OG=AE GOD=A=45，OD=AD，GODEDA GDO=ADE（3）过 M 作 MNx 轴，垂足为 N BPM=90，BPO+MPN=90 AOB=MNP=90，BPO=PMN，PBO=MPN BP=MP，PBOMPN，MN=OP，PN=AO=BO，OP=OA+AP=PN+AP=AN，MN=AN，MAN=45 BAO=45，BAO+OAQ=90 抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数BAQ 是等腰直角三角形 OB=OQ=4 无论 P 点怎么动 OQ 的长不变 点评：（1）考查的是根式和绝对值的性质（2）考查的是全等三角形的判定和性质（3）本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质，还有特殊三角形的性质 10、如图，平面直角坐标系中，点 A、B 分别在 x、y 轴上，点 B的坐标为(0，1)，BAO=30 （1）求 AB 的长度；（2）以 AB为一边作等边ABE，作 OA 的垂直平分线 MN 交 AB的垂线 AD 于点 D求证：BD=OE DENMBOxyA DEBOxyFA（3）在（2）的条件下，连结 DE 交 AB于 F求证：F 为 DE 的中点 考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含 30 度角的直角三角形 专题：计算题；证明题 分析：（1）直接运用直角三角形 30 角的性质即可（2）连接 OD，易证ADO 为等边三角形，再证ABDAEO 即可 （3）作 EHAB于 H，先证ABOAEH，得 AO=EH，再证AFDEFH 即可 解答：（1）解：在 RtABO 中，BAO=30，AB=2BO=2；（2）证明：连接 OD，抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数ABE 为等边三角形，AB=AE，EAB=60，BAO=30，作 OA 的垂直平分线 MN 交 AB的垂线 AD 于点 D，DAO=60 EAO=NAB 又DO=DA，ADO 为等边三角形 DA=AO 在ABD 与AEO 中，AB=AE，EAO=NAB，DA=AO ABDAEO BD=OE（3）证明：作 EHAB于 H AE=BE，AH=21AB，BO=21AB，AH=BO，在 RtAEH与 RtBAO 中，AH=BO，AE=AB RtAEHRtBAO，EH=AO=AD 又EHF=DAF=90，在HFE 与AFD 中，EHF=DAF，EFH=DFA，EH=AD HFEAFD，EF=DF F 为 DE 的中点 点评：本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等 11.如图，直线 y=31x+1 分别与坐标轴交于 A、B 两点，在 y 轴的负半轴上截取 OC=OB.（1）求直线 AC 的解析式；抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半轴相交当异号时即时直线与轴正半轴相交当时即时直线经过原点当同号时即时直线与轴负半轴相交当时图象经过第一二三象限当时图象经过第一三象限当时图象经过第一三四象限当时图象经过第一二四平移个单位可得直线当时把直线向下平移个单位可得直线直线与直线的位置关系与相交与相交于轴上同一点或与平行与重合例题精讲直线与轴轴交于两点在轴的负半轴上且求的解析式在的延长线上任取一点作交直线于试探究与的数解：直线 y=31x+1 分别与坐标轴交于 A、B 两点 可得点 A坐标为（3，0），点 B 坐标为（0，1）OC=OB 可得点 C 坐标为（0，1）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b 将 A（3，0），C（0，1）代入解析式 3k+b=0 且 b=1 可得 k=31，b=1 直线 AC 的解析式为 y=31x1（2）在 x 轴上取一点 D（1，0），过点 D 做 AB 的垂线，垂足为 E，交 AC 于点 F，交 y 轴于点 G，求 F点的坐标；解：GEAB kk1E GA B 131k=3GE 设直线 GE 的解析式为y=-3x+b 将点 D 坐标（1，0）代入，得y=-3b0 b3 直线 GE 的解析式为 y=3x3 联立 y=31x1 与 y=3x3，可求出34x，将其代入方程可得 y=34，F 点的坐标为（34，34）（3）过点 B 作 AC 的平行线 BM，过点 O 作直线 y=kx（k0），分别交直线 AC、BM 于点 H、I，试求ABBIAH的值。解：过点 O 作 AC 的平行线 ON 交 AB于点 N BM/AC 抽象升华为函数的模型进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数形结合法数形结合法是指将数与形结合分析研究解决问题的一种思想方法数形结合法在解决与函经过原点当时直线与轴的负半