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第一章 函数与极限 第一节 函数 函数内容网络图 区间 定义域 不等式 定义 集合 对应法则 表格法 表达方法 图象法 初等函数 解析法 非初等函数 单调性 函数的特性 奇偶性 函数 周期性 有界性 定义 反函数 重要的函数 存在性定理 复合函数 符号函数：.0,1,0,0,0,1sgnxxxx 几个具体重要的函数 取整函数：xxf，其中x表示不超过x的最大整数.狄里克雷函数：.,0,1为无理数为有理数xxxD 内容提要与释疑解难 一、函数的概念 定义:设 A、B 是两个非空实数集，如果存在一个对应法则f，使得对 A 中任何一个实数x，在B 中都有唯一确定的实数y与x对应，则称对应法则f是 A 上的函数，记为 BAfyxf:或.y称为x对应的函数值，记为 Axxfy,.其中x叫做自变量，y 又叫因变量，A称为函数f的定义域，记为D（f），AxxfAf)()(,称为函数的值域，记为 R（f），在平面坐标系 Oxy 下，集合 Dxxfyyx),(),(称为函数 y=f(x)的图形。函数是微积分中最重要最基本的一个概念，因为微积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。1、由确定函数的因素是定义域、对应法则及值域，而值域被定义域和对应法则完全确定，故确定函数的两要素为定义域和对应法则。从而在判断两个函数是否为同一函数时，只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同，至于自变量、因变量用什么字母，函数用什么记号都是无关紧要的。2、函数与函数表达式的区别：函数表达式指的是解析式子，是表示函数的主要形式，而函数除了用表达式来表示，还可以用表格法、图象法等形式来表示，不要把函数与函数表达式等同起来。二、反函数 定义 设y=f(x)，Dx，若对R(f)中每一个 y，都有唯一确定且满足 y=f(x)的Dx与之对应，则按此对应法则就能得到一个定义在R（f）上的函数，称这个函数为f的反函数，记作 fRyyfxDfRf,:11或.由于习惯上用 x 表示自变量，y 表示因变量，所以常把上述函数改写成 fRxxfy,1.数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达 1、由函数、反函数的定义可知，反函数的定义域是原来函数的值域，值域是原来函数的定义域。2、函数 y=f(x)与 x=f-1(y)的图象相同，这因为满足 y=f(x)点（x,y）的集合与满足 x=f-1(y)点(x,y)的集合完全相同，而函数 y=f(x)与 y=f-1(x)图象关于直线 y=x 对称。3、若 y=f(x)的反函数是 x=f-1(y)，则 .,)(11xffxyffy 4、定理 1（反函数存在定理）严格增（减）的函数必有严格增（减）的反函数。三、复合函数 定义 设 DxxuEuufy,，若 RfD)(，则y通过u构成x的函数，称为由 y=f(u)与 xu复合而成的函数，简称为复合函数，记作)(xfy。复合函数的定义域为ExDxx)(且，其中 x 称为自变量，y 称为因变量，u称为中间变量，x称为内函数，f(u)称为外函数。1、在实际判断两个函数 xuufy),(能否构成复合函数，只要看)(xfy的定义域是否为非空集，若不为空集，则能构成复合函数，否则不能复合函数。2、在求复合函数时，只要指出谁是内函数，谁是外函数，例如 y=f(x),y=g(x),若 y=f(x)作为外函数，y=g(x)作为内函数。则复合函数)(xgfy，若 xgy 作为外函数，xfy 作为内函数，则复合函数为 y=g(f(x)。3、我们要学会分析复合函数的复合结构，既要会把几个函数复合成一个复合函数，又要会把一个复合函数分拆成几个函数的复合。四 初等函数 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。大家一定要记住基本初等函数的定义域，值域，会画它们的图象，并且要知道这些函数在哪些区间递增，在哪些区间递减，是否经过原点与坐标轴的交点是什么以后我们常常要用到。由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的函数统称为初等函数。不是初等函数称为非初等函数。数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达一般来说，分段函数不是初等函数，但有些分段函数可能是初等函数，例如 0,0,xxxxxf2xx，是由2,xuuy复合而成。五 具有某些特性的函数 1奇（偶）函数 定义 设 D 是关于原点对称的数集，y=f(x)为定义在 D 上 的函数，若对每一个DxDx也有这时，都有 xfxfxfxf，则称 y=f(x)为 D 上的奇（偶）函数。（1）定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要条件。（2）若 f(x)为奇函数，则 f(0)=0，事实上，由定义知 f(-0)=-f(0)，有 f(0)=-f(0)，得 f(0)=0.2周期函数 定义 设 y=f(x)为定义在 D 上的函数，若存在某个非零常数 T，使得对一切Dx，都有 f(x+T)=f(x)，则称 y=f(x)为周期函数，T 称为 y=f(x)的一个周期。显然，若 T 是 f(x)的周期，则ZkkT也是f（x）的周期，若周期函数 f(x)的所有正周期中存在最小正周期，则称这个最小正周期为 f(x)的基本周期，一般地，函数的周期是指的是基本周期。必须指出的是不是所有的周期函数都有最小正周期，例如 f(x)=c（c 为常数），因为对任意的实常数 T，都有 f(x+T)=f(x)=c。所以 f(x)=c 是周期函数，但在实数里没有最小正常数，所以，周期函数 f(x)=c 没有最小正周期。如果 f(x)为周期函数，且周期为 T，任给Dx，有 f(x)=f(x+kT)，知ZkDkTx。所以D 是无穷区间，即无穷区间是周期函数的必要条件。3单调函数 定义 设 y=f(x)为定义在 D 上的函数，若对 D 中任意两个数 x1,x2且 x10，使得对每一个Dx，都有 则 f(x)为 D 上的有界函数。几何意义，若 f(x)为 D 上的有界函数，则 f(x)的图象完全落在直线 y=-M 与 y=M 之间。注意：直线 y=-M，y=M 不一定与曲线相切。有界函数定义的反面是 定义 设 y=f(x)为定义在 D 上的函数，若对每一个正常数 M（无论 M 多么大），都存在Dx 0，使Mxf0，则称 f(x)为 D 上的无界函数。6函数的延拓与分解 有时我们需要由已知函数产生新的函数来解决实际问题，这里我们从函数的特性出发，开拓由已知产生新的函数的方法。设 axxfy,0,，我考虑区间-a,a上的函数 F(x)，它是偶函数，且在0,a上，使 F(x)=f(x)，则应有 .0,0,axxfaxxfxF 数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达称 F（x）是 f(x)的偶延拓 同样可给出 f(x)的奇延拓，即函数 F（x）在-a,a上的奇函数，且在（0,a）上，F（x）=f(x)，则应有 0,0,0,0,axxfxaxxfxF这样，研究 f(x)只要，研究 F（x）就可以了。同样，对于函数 y=f(x),bax,，可以构造一个以（b-a）为周期的周期函数 F（x），在（a,b）上，F（x）=f(x)，则有 znnabnannbxabnxfbaxxfxF,1,1,这就是函数 f(x)的周期延招，研究 f(x)只要研究 F（x）就可以了。此外，定义在区间（-a,a）上的任何一个函数 f(x)都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和事实上 22xfxfxfxfxf 设 ,2,221xfxfxfxfxfxf 由奇偶函数的定义知，f1(x)是奇函数。f2(x)是偶函数，且 xfxfxf21.我们还可以证明 f1(x)，f2(x)是唯一存在，如果 xgxgxf21,其中 g1(x)是奇函数，g2(x)是偶函数，于是 xgxgxf21,xgxgxgxgxf2121,解得 xfxfxfxg112，xfxfxfxg222 解题基本方法与技巧 一、求函数定义域的方法 1若函数是一个抽象的数学表达式子，则其定义域应是使这式子有意义的一切实数组成的集合，且在（1）分式的分母不能为零；（2）偶次根号下应大于或等于零；（3）对数式的真数应大于零且底数大于零不为 1；（4）arc sin x或 arc xcos，其 1x；（5）xtan，其 .,cot;,22zkkxkxzkkxk其 （6）若函数的表达式由几项组成，则它的定义域是各项定义域的交集；数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达（7）分段函数的定义域是各段定义域的并集。2.若函数涉及到实际问题，定义域是除了使数学式子有意义还应当确保实际有意义自变量取值全体组成的集合。3.对于抽象函数的定义域问题，要依据函数定义及题设条件。例 1 求下列函数的定义域：（1）33xxy；（2）xxy12arcsin 解（1）要使函数式子有意义，就必须满足033 xx。化简有 033xxx,即 033xxx.解之，得定义域为 3,03,x。（2）要使函数式子有意义，就必须满足 112xx，即1121xx，化简有11221x，1123x，不等式各边除以（-2）有，211123x，各边取倒数得，2132x。解之，得函数的定义域为131x。例 2 不清设 211xxxf，求 f(x)的定义域。解 要使函数式子有意义，必须满足 020211xx 即 21xx 故所给函数的定义域为2,1:xxRxx且。注意：如果把211xx化简为 12xxx，那么函数的定义域为1x的一切实数，因此，求函数的定义变形式时需特别小心，避免出错。数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达 例 3 已知 xxfexfx1,2且 0 x，求 x并写出它的定义域。解 由xex 12，得 xx1ln，由 01lnx，得11 x，即 x 0，所以 0,1lnxxx。例 4 设f(x)的定义域为0，1，试求f(x+a)+f(x-a)的定义域（a0）。解 要使f(x+a)+f(x-a)有意义，必须满足 ,10,10axax 得 .1,1axaaxa 当210a时，由aa 1，知函数的定义域为axa1。当21a时，由a1 a，知定义域不存在。二、求函数值域的方法 1.由定义域x的范围，利用不等式求出f(x)的范围；2.若y=f(x)有反函数x=f-1(y)，求出反函数的定义域就是函数的值域；3.利用一元二次方程的判别式求函数的值域。例 5 求下列函数值域：（1）xxy1；（2）31xxy；（3）11222xxxxy。解（1）令21,1txtx则，于是4545211122tttxxy。当且仅当21t，即43x时，45y。故函数xxy1的值域是45,。（2）由31xxy，得(x+3)y=x+1，解之，131yyx是31xxy的反函数，而 131yyx的定义域是1y，故函数值域是,11,。（3）由原函数式变形，得 12122xxxxy，即 01212yxyxy。当 y-1=0，即 y=1 时，x=0；当时即1,01yy，014222yy，即 140yy。故函数的值域为0，4。数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达 三、判断两函数是否为同一函数的方法 例 6 判断下列各组函数是否为同一函数：（1）（i）xxy0sin；（ii）,0cos12tts （2）（i）112xxy；（ii）11xy。解（1）由 y=sinx 的定义域是0，ts2cos1的定义域是0，。知两函数定义域相同，又,0sinsinsincos122tttttS知两函数对应法则相同，故（i）（ii）为同一函数。（2）由112xxy的定义域是1x的全体实数，11xy的定义域是1x的全体实数，知两函数定义域不同，尽管当1x时，11112xxxy，知两函数对应法则相同，但（i）（ii）不是同一个函数。四、求反函数方法 步骤：1.从 y=f(x)中解出 x=f-1(y);2.改写成 y=f-1(x),则 y=f-1(x)是 x=f-1(y)的反函数.例 7 求下列函数的反函数:(1)0112xxy；（2）323211xxxxy；（3）.4,2,41,1,2xxxxxyx 解（1）由1,0,12yyx，知反函数为21xy，1,0 x。（2）由323211xxxxy 两边立方得 ,11)1(3113123222322223xxxxxxxxxxxxy即 ,321313232323yxxxxxxy 解之 3321yyx。所以反函数为.,3213Rxxxy 数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达（3）由 ,16,log,161,1,2yyyyyyx 则反函数为 .16,log,161,1,2xxxxxxy 五、求复合函数的方法。1代入法 某一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数的复合，关健搞清谁是内函数，谁是外函数。2分析法 根据外函数定义的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该方法用于初等函数与分段函数或分段函数与分段函数的复合。例 8 设 .,12 次求nnxfffxfxxxf.解 2222222221111111xxxxxxxfxxxfxfxffxf，xfxfxffxfffxf22223122223121121xxxxxx，猜想 21nxxxfn。当 n=1 时，结论已成立，假设 n=k 时，21kxxxfk成立，当n=k+1时，2222111111xkxkxxkxxxffxfkk。即 n=k+1时结论成立，故 21nxxxfn。例 9 设 xffxxxf求,1,0,1,1。数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达 解 当 11,1,1fxffxfx时，当 10,0,1fxffxfx时。故 f(f(x)=1。例 10 设 xfxxxxxxxxexfx求,0,1,0,2.1,1,2。解 由 .1,1,xxxexfx（1）当 1x时 或 1,1,0,12,0 xxxxxx有即。或.20,22,0,11,02xxxxxx有即（2）当 1x时 或 01,1,0,12,0 xxxxxx有即。或.2,22,0,11,02xxxxxxx有或即得 六、判断奇偶函数的方法 偶函数 f(x)的图象关于 y 轴对称；奇函数 f(x)的图象关于原点对称。奇偶函数的运算性质 1.奇函数的代数和仍为奇函数，偶函数的代数和仍为偶函数。2.偶数个奇（偶）函数之积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数。3.一奇一偶的乘积为奇函数 4.两个奇函数复合仍为奇函数，一奇一偶复合为偶函数，两个偶函数复合仍为偶函数。判断方法 1用定义 2.若 f(x)+f(-x)=0，则 f(x)为奇函数，这种方法适合用定义比较困难的题目。例 11 判断下列函数的奇偶性：数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达 （1）323211xxxf；（2）xxxf11ln；（3）2111xaxf（a0,a 1 常数）解（1）由 xfxxxxxf323232231111，知f(x)为偶函数 （2）由 xxxxxfxf11ln11ln ,01ln1111ln11ln11lnxxxxxxxx知f(x)为奇函数。（3）由 211112111xxaaxf2111211xxxaaaa xfaaaaaxxxxx211121112111，知f(x)为奇函数 七、周期函数的判断与周期的求法 1周期函数周期的求法 （1）若 T 为 f(x)的周期，则 f(ax+b)的周期为0aaT （2）若f(x)的周期为T1，g(x)的周期为 T2，则c1f(x)+c2g(x)的周期为T1，T2的最小公倍数。2周期函数的判断方法。（1）用定义。（2）用周期函数的运算性质。常见函数的周期：sinx,cosx,其周期 T=2；,cos,sin,cot,tanxxxx其周期 T=。例 12 求下列函数周期 （1）3tan32tan2xxxf；（2）xxxf44cossin；（3）xxxf。解（1）由2tanx的周期2211T，3tanx的周期3312T。故 f(x)的周期性期为 6。（2）由 xxxxxf22222cossin2cossin xx4cos14112sin2112x4cos4143，知f(x)的周期2142T。（3）设Znrrnx，10，T为任意整数,由 数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达 xfrnrnrnTrTnrTnrTnrTnfTxf知任意整数均为其周期，则最小周期 T=1。例 13 若函数 xxf的图形关于两条直线 x=a和 x=b 对称（ba），则 f(x)为周期函数。证 由条件函数的对称性知 xafxaf，（1）xbfxbf，（2）故函数在a,b 中点(a+b)/2处的值等于点a2ab/和2abb处的函数值 从而猜想如果 f(x)为周期函数，则周期应为 ababaabb222。事实上 abxbfabxf22xafabxbf22 所以 f(x)是以 2(b-a)为周期的周期函数。八、单调函数的判断方法 1用定义。2利用单调函数的性质。（1）两个递减（增）函数的复合是递增函数，一个递增、一个递减函数的复合是递减函数。例 14 设 xx,及 f(x)为递增函数证明：若 xxfx （1）则 xxffx （2）证 设x0为三个函数公共域内的任一点，则 000 xxfx 由（1）以及函数f(x)的递增性知00 xffxf，00 xfx；从而 00 xffx 同理可证 00 xxff。由x0的任意性知，于是（2）式成立。数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达 九、函数有界性的判断 判断函数是否有界，经常用定义。例 15 判断下列函数是否有界：（1）21xxxf；（2）1,0,12xxxf。解（1）由f(x)的定义域是R。当 21211,022xxxxxxxfx时，当 210,00,0ffx有时，知 21,xfRx时，所以f(x)为有界函数。（2）1,011,00MxM取。.111110MMMMxf 由无界函数的定义知 f(x)在（0，1）上无界。第二节 函数极限与连续 函数极限内容网络图 )(lim)(lim)(lim)(lim00 xfxfAxfAxfxxxxxx函数极限定义 夹逼定理 判断函数极限存在准则 单调有界定理 单侧极限与双侧极限 函数极限与数列极限归结原则。关系定理 函数极限与无穷小 无穷大与无穷小 无穷小的阶高阶、同阶、等价。闭区间上连续函数的最大（小）值定理 函数极限与连续 数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达函数连续定义0lim)()(lim000yxfxfxxx或 可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 间断点分类 第二类间断点 内容提要与释疑解难 一、函数极限的概念 1.都有时当若存在一个常数,0,0,:)(limXxXAAxfxAxf)(。2.:)(limAxfx把 1 中“Xx”换成“Xx”。3:)(limAxfx把 1 中“Xx”换成“Xx”。定理Axfx)(limAxfx)(lim且.)(limAxfx 4:)(lim0Axfxx设)(xf在0 x的某空心邻域内00 xU有定义，若存在一个常数A，时当00,0,0 xx，都有Axf)(。5:)(lim0Axfxx 设)(xf在0 x的某左半邻域)(00 xU 内有定义，若存在一个常数A，0,0,00 xx当时，都有Axf)(。此时也可用记号)0(0 xf或)(0 xf表示左极限值 A，因此可写成)(lim)0()(lim000 xfxfxfxxxx或)(0 xf 6.:)(lim0Axfxx设)(xf在0 x的某右半邻域)(00 xU 内有定义，若存在一个常数0,0,A，当800 xx时，都有Axf)(。此时也可用)0(0 xf或)(0 xf表示右极限A。因此可写成 00)(lim0lim00 xfxfxfxfxxxx或。定理 AxfAxfxxxx00limlim且.lim0Axfxx 该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在0 x的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达700,0,0:)(lim0 xxMxfxx当时，都有Mxf)(。此时称0 xx 时，)(xf是无穷大量。而)(lim0 xfxx，只要把公式中“Mxf)(”改成“Mxf)(”，)(lim0 xfxx，只要把上式中“Mxf)(”改成“Mxf)(”。8.)(limxfx0,0:XM。当Xx 时，都有Mxf)(。读者同理可给出)()()(lim或或xfx定义。注：Axfxx)(lim0（常数）与)(lim0 xfxx的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。90)(lim0 xfxx。称)(xf当0 xx 是无穷小量。这里的0 x可以是常数，也可以是或,。定理 )()()()(lim0 xAxfAxfxx常数。其中0)(lim0 xxx。10若),(,0,00 xxUxM当时，都有Mxf)(，称0)(xxxf当时是有界量。二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系 设0)(lim,0)(lim00 xgxfxxxx，（这里0 x可以是常数，也可以是,，以后我们不指出都是指的这个意思）（1）若0)()(lim0 xgxfxx，称)(xf当0 xx 时是)(xg的高阶无穷小量，记作 ).)()(0 xxxgxf。（2）若,0)()()(lim0常数cxgxfxx，称0)(xxxf当时是)(xg的同价无穷小量。（3）若1)()(lim0 xgxfxx，称0)(xxxf当时是)(xg的等价无穷小量，记作 0 xxxgxf，此时（2）式也可记作 0 xxxcgxf。（4）若)0(0)()(lim00常数常数kcxxxfkxx，称0)(xxxf当时是0 xx 的k阶无穷小量。数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入 若1)()(lim0 xgxfxx。记作)()(0 xxxgxf，如果)(),(xgxf均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果)(),(xgxf均是无穷大量，称为等价无穷大量；如果)(),(xgxf既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。例如 0)()(lim0常数Axfxx，则)()(0 xxAxf。注：A 不能为零，若 A=0，)(xf不可能和 0 等价。无穷小量的性质：1若,)(,),(),(021时当xxxxxm均为无穷小量，则 （i）.0)()()(lim22110 xcxcxcmmxx 其中mccc,21均为常数。（ii）0)()()(lim210 xxxmxx。2若0)(xxxf当时是有界量，时是无穷小量当0)(xxx，则0)()(lim0 xxfxx。无穷大量的性质：1有限个无穷大量之积仍是无穷大量。2有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。无穷小量与无穷大量之间的关系：若0)(1lim,)(lim00 xfxfxxxx则；若则时当且,0)(),(,0,0)(lim000 xfxUxxfxx)(1lim0 xfxx。三、函数连续的概念。定义 1 若00)(),()(lim0 xxxfxfxfxx在称处连续。用语言可写为 数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达定义 设0)(xxf在的某邻域)(0 xU内有定义，若0,0,0 xx当时，都有)()(0 xfxf，称处在0)(xxxf连续。用函数值增量y形式可写为 定义 若0lim0yx，称)(xf在0 xx 处连续。若)()(lim00 xfxfxx,称0)(xxxf在处左连续。若),()(lim00 xfxfxx称0)(xxxf在处右连续。定理0)(xxf在处连续0)(xxf在处既是左连续又是右连续。如果0)(xxxf在处不连续，称0 xx 为)(xf的间断点。间断点的分类：（1）若的可去间断是称处不连续在但常数)(,)(),()(lim000 xfxxxxxfAxfxx点。若0 xx 为函数)(xf的可去间断点，只须补充定义或改变使处的函数值在,)(0 xxxf函数在该点连续。但须注意，这时函数与)(xf已经不是同一个函数但仅在0 xx 处不同，在其它点相同。我们正是利用这一性质去构造一个新的函数)(xF，使)(xF在某闭区间上处处连续，因而有某种性质。当0 xx 时，也具有这种性质。而0 xx 时，)()(xfxF，所以)(xf在0 xx 的范围内也具有这种性质，从而达到了我们的目的。例如 )(lim,sin)(0 xfxxxfx1sinlim0 xxx，但设处不连续在知处没定义在,0)(,0)(xxfxxf.0,1,0,sin)(xxxxxF 则 xF在0 x处连续，但 xF与 xf定义域不同，虽然处完全相同但在不是同一函数与0,)()(xxfxF，又如)(xf.0,0,0,sinxxxx,0)0(1sinlim)(lim00fxxxfxx知处不连续在0)(xxf。设.0,1,0,sin)(xxxxxF 数非初等函数解析法单调性函数函数的特性奇偶性周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数几个具体重要的函数取整函数其中表示不超过的最大整数符号函数狄里克雷函数为有理数为无理数内容提要与释疑解难一函则称对应法则是上的函数记为称为对应的函数值记为或其中叫做自变量又叫因变量称为函数的定义域记为称为函数的值域记为在平面坐标系下集合称为函数的图形函数是微积分中最重要最基本的一个概念因为微积分是以函数为研究定义域和对应法则完全确定故确定函数的两要素为定义域和对应法则从而在判两个函数是否为同一函数时只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同至于自变量因变量用什么字母函数用什么记号都是无关紧要的函数与函数表达则)(xF在0 x处连续，虽然)(xF与)(xf定义域相同，但在0 x处，两个函数值不同，知)(xF与)(xf不是同一函数，但仅在0 x不同，其余点函数值处处相同。（2）若),0()(lim).0()(l