2.1直线的倾斜角与斜率.docx

第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率例1 如图2.1-6，已知，求直线，斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角图2.1-6解：直线的斜率；直线的斜率；直线的斜率由及可知，直线与的倾斜角均为锐角；由可知，直线的倾斜角为钝角练习1. 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1） （2） （3） （4）【解析】【分析】（1）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（2）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（3）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（4）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率.【小问1详解】解：直线的斜率为.【小问2详解】解：直线的斜率为.【小问3详解】解：直线的斜率为.【小问4详解】解：直线的斜率为.2. 已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角.（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的关系先计算出倾斜角的正切值，然后根据倾斜角的范围求解出倾斜角.【详解】设倾斜角为，（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）因为，所以.3. 求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1），； （2），【答案】（1），锐角；（2），钝角.【解析】【分析】先根据斜率的计算公式求解出直线的斜率，然后根据斜率的正负判断出倾斜角是锐角还是钝角.【详解】设倾斜角为，（1）因为，所以，所以为锐角；（2）因为，所以，所以为钝角.4. 已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角.（1）， （2），（3），【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先计算出斜率值，再根据倾斜角的正切值等于斜率求解出倾斜角；（2）根据横坐标相等判断出直线轴，由此分析得到直线的倾斜角；（3）先计算出斜率值，再根据倾斜角的正切值等于斜率求解出倾斜角.【详解】（1）因为，所以，所以，所以直线的倾斜角为；（2）因为的横坐标相等，所以直线轴，所以直线的倾斜角为；（3）因为，所以，所以，所以直线的倾斜角为.5. 经过，两点的直线的方向向量为，求k的值【答案】.【解析】【分析】根据直线的方向向量得到的含义，结合斜率的计算公式求解出的值.【详解】因为直线的方向向量为，则为直线的斜率，所以，所以的值为.2.1.2两条直线平行和垂直的判定例2 已知，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论解：如图2.1-8，由已知可得直线的斜率；直线的斜率；因为，所以直线 图2.1-8例3 已知四边形的四个顶点分别为，试判断四边形的形状，并给出证明解：如图21-9，由已知可得边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率因为，所以，因此四边形是平行四边形 图2.1-9例4 已知，试判断直线与的位置关系解：直线的斜率，直线的斜率为因为，所以直线例5 已知，三点，试判断的形状分析：如图2.1-10，猜想，是直角三角形解：边所在直线的斜率，边在直线的斜率由，得，即所以是直角三角形 图2.1-10练习6. 判断下列各对直线平行还是垂直：（1）经过两点A（2，3），B（1，0）的直线l1，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线l2；（2）经过两点C（3，1），D（2，0）的直线l3，与经过点M（1，4）且斜率为5的直线l4.【答案】（1）平行 （2）垂直【解析】【分析】(1) 由题意可得直线l1的斜率，根据直线l1，l2的斜率关系，判断它们的位置关系，(2) . 由题意可得直线l3的斜率，根据直线l3，l4的斜率关系，判断它们的位置关系，【小问1详解】由题意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k21，k1k2，又直线l1，l2不重合，所以两直线平行；【小问2详解】由题意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k25，k1k21，故两直线垂直.7. 试确定m的值，使过，两点的直线与过，两点的直线.（1）平行；（2）垂直【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用直线平行斜率相等即可求解.（2）利用直线垂直斜率乘积等于即可求解.【详解】过，两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，此时直线与直线即不平行也不垂直；当时，过，两点的直线斜率，（1）当两直线平行时，则，解得.（2）当两直线垂直时，则，解得.习题2.1复习巩固8. 已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角【答案】或.【解析】【分析】分别考虑斜率的情况，然后根据斜率等于倾斜角的正切值求解出倾斜角.【详解】设倾斜角为，当时，；当时，；所以直线的倾斜角为或.9. 已知四边形ABCD的四个顶点是，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率【答案】，.【解析】【分析】根据斜率的计算公式分别求解出四条边的斜率即可.【详解】解：，.10. m为何值时，（1）经过，两点的直线的斜率是12？（2），两点的直线的倾斜角是？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据斜率的计算公式列出关于的方程，由此求解出的值；（2）先根据倾斜角计算出斜率，然后根据斜率的计算公式列出关于的方程，由此求解出的值.【详解】（1）因为，所以，（2）因为倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，所以.11. 已知，三点，这三点是否在同一条直线上？为什么？【答案】在一条直线上，理由见解析.【解析】【分析】根据点的坐标计算，若相等则说明在同一条直线上，反之则不在同一条直线上.【详解】因为，所以，且直线有公共点，所以三点在一条直线上.12. 判断下列不同的直线与是否平行.（1）的斜率为2，经过，两点；（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点；（3）经过，两点，经过，两点【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【解析】【分析】（1）利用两直线的斜率是否相等进行判断即可.（2）根据直线的斜率即可判断.（3）求出两直线的斜率即可求解.【详解】（1）经过，两点，则，则，可得两直线平行.（2）经过，两点，可得平行于x轴，平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以；（3）经过，两点，经过，两点，则，所以.13. 判断下列直线与是否垂直.（1）的斜率为，经过点，；（2）的倾斜角为，经过，两点；（3）经过，两点，经过，两点【答案】（1）垂直；（2）垂直；（3）垂直.【解析】【分析】（1）先计算的斜率，然后根据斜率乘积是否为进行判断即可；（2）先计算，的斜率，然后根据斜率乘积是否为进行判断即可；（3）先计算，的斜率，然后根据斜率乘积是否为进行判断即可.【详解】（1）因为，又，所以，所以；（2）因为的倾斜角为，所以，又因为，所以，所以；（3）因为，所以，所以.综合运用14. 过，两点的直线l的倾斜角为，求的值【答案】.【解析】【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又，整理得，解得或，当时，不符合，当时，符合，综上：.15. 经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由【答案】，理由见解析.【解析】【分析】根据题意作出图示，根据图示结合临界位置分析直线与线段有交点时倾斜角和斜率的取值范围.【详解】如下图所示，当直线经过点时，斜率为，此时倾斜角为 ；当直线经过点时，斜率为， 此时倾斜角为，由题意可知，当直线从过点的位置开始，逆时针旋转至过点的位置，经过图中阴影部分时都能满足题意，旋转过程中，倾斜角先从变化到，再从变化到，所以倾斜角的取值范围是：；旋转过程中，斜率先从变化到，再从变化到，所以斜率的取值范围是：.16. 已知点和，点P在x轴上，且为直角，求点P的坐标.【答案】或.【解析】【分析】设，因为，所以由勾股定理可得,将表达式化简求解即可.【详解】设，因为，所以由勾股定理可得，即，解得或，所以点的坐标是或.故答案为：或.拓广探索17. 已知四边形ABCD的四个顶点是，求证：四边形ABCD为矩形【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据点的坐标计算出四边形四条边所在直线的斜率，然后根据斜率的值判断垂直关系，由此证明为矩形.【详解】因为四个点的横坐标各不相等，所以四边形四条边所在直线的斜率都存在，所以，所以，所以四边形四条边两两垂直，所以四边形四个内角都为，所以四边形是矩形.