1.2 空间向量基本定理 -(选择性必修第一册) (学生版).docx
空间向量基本定理 1 空间向量基本定理如果三个向量a , b , c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 x, y, z，使 p=xa+yb +zc .证明 存在性：设a , b , c不共面，过点O作OA=a ,OB=b，OC=c，OP=p，过点P作直线PP'平行于OC交平面OAB于点P'在平面OAB内，过点P'作直线P'A'/OB,P'B'/OA，存在三个数x,y,z，使得OA'=xOA=xa，OB'=yOB=yb，OC'=zOC=zc，OP=OA'+OB'+OC'=xOA+yOB+zOC，p=xa+yb +zc；唯一性：设另有一组实数x',y',z'，使得p=x'a+y'b +z'c，则xa+yb +zc=x'a+y'b +z'cxx'a+yy'a+zz'c=0，a , b , c 不共面，xx'=yy'=zz'=0，即x=x'且y=y'且 z=z'.故实数x,y,z是唯一的.2基底若三向量a , b , c不共面，我们把(a , b , c)叫做空间的一个基底，a , b , c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用i,j,k表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.3推论设O, A, B, C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x , y , z，使 OP=x OA+y OB+z OC .若x+y+z=1，则点P,A,B,C四点共面.【题型一】 空间向量基本定理的理解【典题1】 若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是( )Ab+c,b,bcBa+b,ab,cCa,a+b,abDa+b,a+b+c,c【典题2】已知非零向量a=3m2n4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且m、n、p不共面若a/b，则x+y= .【典题3】 如图，在三棱锥SABC中，点E,F分别是SA,BC的中点，点G在棱EF上，且满足EGGF=12，若SA=a,SB=b,SC=c，则SG= ( )A13a12b+16cB13a+16b+16cC16a13b+12cD13a16b+12c巩固练习1() 已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底，则一定有( )AOA,OB,OC共线BO,A,B,C中至少有三点共线COA+OB与OC共线DO,A,B,C四点共面2() (多选题)下面四个结论正确的是( )A空间向量a,b(a0,b0)，若ab，则ab=0B若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P,A,B,C四点共面C已知a,b,c是空间的一组基底，若m=a+c，则a,b,m也是空间的一组基底D任意向量a,b,c满足(ab)c=a(bc) ab=03() 如图所示，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则MN=( )A12a23b+12cB23a+12b+12cC12a+12b23cD23a+23b12c4() 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a,AD=b,AA1=c，则CM=()A12a+12b+cB12a12b+cC12a+12b+cD12a12b+c 【题型二】空间向量基本定理的应用【典题1】如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD=60，CD=CC1，求证CA1平面C1BD. 【典题2】如图，在三棱锥PABC中，点G为ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点D,E,F，若PD=mPA,PE=nPB,PF=tPC，求证：1m+1n+1t为定值，并求出该定值 【巩固练习】1() 如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，A1AB=A1AC=60，点M为ABC的重心，AM的延长线交BC于点N，连接A1M设AB=a,AC=b,A1A=c(1)用a,b,c表示A1M；(2)证明：A1MAB 2() 如图，在棱长为 1的正方体ABCDA1B1C1D1 中，E,F 分别为DD1，BD 的中点，点G 在CD上，且 CG=14CD. (1)求证: EFB1C； (2) 求 EF与C1G 所成角的余弦值. 3() 如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别在棱AA1,CC1上，且A1M=13AA1,CN=13CC1，且A1AD=A1AB=DAB=60(1)用向量AA1,AD,AB表示向量MN；(2)求证：D,M,B1,N共面；(3)当AA1AB为何值时，AC1A1B4() 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等， 求证: 这个四面体相对的棱丙两垂直.已知：如图，四面体ABCD，E,F,G,H,K,M分别为棱AB,BC,CD,DA,BD,AC的中点，且|EG|=|FH|=|KM|.求证 ABCD,ACBD,ADBC. 5() 已知正三棱锥PABC的侧棱长为2，过其底面中心O作动平面交线段PC于点S，分别交PA,PB的延长线于点M,N，求1PS+1PM+1PN的值
