2.5 直线与圆的最值问题-(选择性必修第一册) (学生版).docx
直线与圆的最值问题1 最值模型(1) 三点共线模型(三角形三边的关系)(i)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则AP+BPmin=AB'(当点A、P、B'共线时取到)，点B'是点B关于直线l的对称点.(ii)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|APBP|max=AB(当点A、P、B共线时取到).(iii)点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|APBP|max=AB'(当点A、P、B共线时取到)，点B'是点B关于直线l的对称点.(2) 某点M到圆O上点N的距离(i)若点M在圆内，则MNmin=MN1=rOM，MNmax=MN2=r+OM；(ii)若点M在圆外，则MNmin=MN1=OMr，MNmax=MN2=r+OM；(3) 圆上一点到圆外一定直线的距离最值若直线l与圆O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PEmin=P1F=dr，PEmax=P2F=d+r.2 圆的参数方程圆的标准方程xa2+yb2=r2，圆心为(a , b)，半径为r，它对应的圆的参数方程：x=rcos+ay=rsin+b (是参数).理解：如图，易得rcos=有向线段HM=xax=rcos+a，rsin=有向线段HP=yby=rsin+b.Eg 圆x+12+y22=9的参数方程为x=3cos1y=3sin+2 .【题型一】几何法处理最值问题情况1 三点共线模型【典题1】P是直线L：3xy1=0上一点，求(1)P到A(4 , 1)和B(0 , 4)的距离之差的最大值；(2)P到A(4 , 1)和C(3 , 4)的距离之和的最小值情况2 斜率型最值【典题1】如果实数x , y满足条件：x22+y2=3，那么yx的最大值是 .情况3 两点距离型最值【典题1】已知点M(a , b)在直线l：3x+4y=25上，则a2+b2的最小值为 【典题2】 已知点P， Q分别在直线l1：x+y+2=0与直线l2：x+y1=0上，且PQl1，点A(3 , 3)，B(32 , 12)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为 .情况4 圆外一定点到圆上点距离最值【典题1】已知x、y满足x12+y2=1，则S=x2+y2+2x2y+2的最小值是 .【典题2】已知点P(7 , 3)，圆M：x2+y22x10y+25=0，点Q为在圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|+|SQ|的最小值为 .情况5 圆上一点到圆外一定直线的距离最值【典题1】已知两点A(1,0)、B(0,2)，若点P是圆x12+y2=1上的动点，则ABP面积的最大值和最小值之和为 巩固练习1 () 已知x2+y2=1，则yx+2的取值范围是 2 () 已知点P(x , y)在圆x2+y2=1上，则(x1)2+(y1)2的最大值为 3 () 已知圆x2+y22=1上一动点A，定点B(6 , 1)；x轴上一点W，则|AW|+|BW|的最小值等于 4 () 已知两个同心圆的半径分别为3和4，圆心为O点P、Q分别是大圆、小圆上的任意一点，线段PQ的中垂线为l若光线从点O射出，经直线l(入射光线与直线l的公共点为A)反射后经过点Q，则OA|AQ|的取值范围是 5 ()已知点A(2 , 0) , B(0 , 2)，若点P在圆x32+y+12=2上运动，则ABP面积的最小值为 6 () 过动点P作圆：x32+y42=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是 7 () 已知直线l：xy+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为 8 () 已知圆xa2+yb2=1经过原点，则圆上的点到直线y=x+2距离的最大值为 9() 如图，设圆C1：x52+y+22=4，圆C2：x72+y+12=25，点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y=x上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为 【题型二】代数法处理最值问题 【典题1】 已知圆C的圆心在直线x2y=0上，且经过点M(0 , 1)，N(1 , 6)(1)求圆C的方程；(2)已知点A(1 , 1)，B(7 , 4)，若P为圆C上的一动点，求PA2+PB2的取值范围 【典题2】 已知直线l：y=x，圆C：x2+y24x+3=0，在l上任意取一点A，向圆C作切线，切点分别为M , N，则原点O到直线MN的距离d的最大值为 【典题3】 已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2+y2的最大值和最小值；(3)求yx+1的取值范围 【典题4】 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为4，E(0 , 1)，点F是正方形边OC上的一个动点，点O关于直线EF的对称点为G点，当|GA+3GB|取得最小值时，直线GF的方程为 .巩固练习1 () 若实数x , y满足x2+y2+4x2y4=0，则x2+y2的最大值是()A5+3B65+14C5+3D65+14 2 () 多选题若实数x , y满足条件x2+y2=1，则下列判断正确的是()Ax+y的范围是0 , 2 Bx24x+y2的范围是3 , 5Cxy的最大值为1 Dy2x+1的范围是( , 343 () 多选题已知点P(2 , 4)，若过点Q(4 , 0)的直线l交圆C：x62+y2=9于A , B两点，R是圆C上动点，则()A|AB|的最小值为25 BP到l的距离的最大值为25CPQPR的最小值为1225 D|PR|的最大值为42+34 () 已知点A(1 , 1) , B(2 , 2)，点P在直线y=12x上，求PA2+PB2取得最小值时P点的坐标 5 () 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x22+y2=1，M为圆C的圆心，过原点O的直线l与圆C相交于A , B两点(A , B两点均不在x轴上)求ABM面积的最大值6 () 已知直线l过定点P(2 , 1)，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点(1)若AOB的面积为4，求直线l的方程；(2)求|OA|+|OB|的最小值，并求此时直线l的方程；(3)求|PA|PB|的最小值，并求此时直线l的方程7 () 在平面直角坐标系xOy中已知圆C经过A(0 , 2)， O(0 , 0) ， D(t , 0)(t>0)三点，M是线段AD上的动点，l1 , l2是过点B(1 , 0)且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P , Q两点(1)若t=PQ=6，求直线l2的方程；(2)若t是使AM2BM恒成立的最小正整数，求EPQ的面积的最小值 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
