北师大版（2019）数学必修第一册：2.4.1《函数的奇偶性》学案.docx

函数的奇偶性【学习目标】（1）理解、掌握函数奇偶性的概念、图象特征和性质；（2）能够根据定义和图像判断简单函数的奇偶性；（3）能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。【学习重难点】（1）函数奇偶性的概念、图象特征和性质；（2）根据定义和图像判断简单函数的奇偶性；（3）用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。【学习过程】一、知识引入在日常生活中，我们经常会看到一些具有对称性的图片，如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等。思考讨论：（1）上列各图，分别是怎样的对称图形？（2）在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几个这样的函数；例1.画出函数fx=x3的图象，并观察它的对称性.（3）上例函数的图象是关于原点中心对称的，你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的吗？二、新知识一般地，设函数y=fx定义域为A.如果当xA时,有xA，且fx=f（x），那么就称函数y=fx为奇函数；如果当xA时,有xA，且fx=f（x），那么就称函数y=fx为偶函数。如：函数fx=x2、fx=2x等等注意：当函数y=fx是奇函数或偶函数时，称函数fx具有奇偶性。奇函数图象关于原点中心对称，反之亦然；偶函数图象关于y轴对称,反之亦然。函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称；若奇函数y=fx是在x=0处有定义，则有f0=0；如果已知了一个函数的奇偶性，那么在研究它的性质时，可以先研究其在非负区间0,+）上的性质，然后利用对称性可得在y轴另一侧函数的性质.例2.根据定义，判断下列函数的奇偶性：（1）fx=2x5；（2）gx=x4+2；（3）x=1x2；（4）mx=1x+2.思考讨论（综合练习）（1）根据定义，判断下列函数的奇偶性：fx=1x2+x21fx=x2+xx0x2+xx>0fx=1x2x+22fx=x2+1+x1x2+1+x+1（2）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=x2+2x+1.求函数fx的解析式；若函数在1,a2上单调递增，求实数a的取值范围.注意：奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法，某些函数，如果不易直接看出fx与fx的关系，可以通过验证fx+fx=0或fxfx=0来判断函数的奇偶性；奇函数如果在x=0处有定义，必有f0=0；函数fx在定义域内，如果满足fa+x=f（ax），则函数图象关于直线x=a对称；如果满足，则函数图象关于直线x=a+b2对称.