第二章　4.1　函数的奇偶性.docx

第二章函数§4函数的奇偶性与简单的幂函数4.1函数的奇偶性课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)下列函数是奇函数的有()A.y=x(x-1)x-1B.y=-3x13C.y=x-2xD.y=x3-35x解析先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-,1)(1,+),不关于原点对称,所以排除A;选项B,D中函数定义域均为R,且f(-x)=-f(x),故为奇函数;选项C中函数定义域为(-,0)(0,+),且f(-x)=-f(x),也是奇函数.答案BCD2.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+)B.f(x)是偶函数,单调递增区间是(-,1)C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-,0)解析由函数f(x)=x|x|-2x可得,函数的定义域为R,且f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-x|x|+2x=-f(x),故函数f(x)为奇函数,函数f(x)=x|x|-2x=x2-2x,x0,-x2-2x,x<0,其图象如图所示,所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,1),故选C.答案C3.(多选题)(2019福建泉州高一期末)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|+g(x)是偶函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,|f(x)|是偶函数,|g(x)|是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,可得f(x)g(x)为奇函数,f(x)|g(x)|为奇函数,故A错误、C正确;由两个偶函数的和还是偶函数知B正确;由f(x)g(x)为奇函数得|f(x)g(x)|为偶函数,故D错误.答案BC4.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的单调递减区间是.解析因为函数f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1,所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为0,+).答案0,+)5.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x20,+)(x1x2),有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为. 解析由已知条件可知f(x)在区间0,+)上单调递减,所以f(3)<f(2)<f(1).再由偶函数的性质得f(3)<f(-2)<f(1).答案f(3)<f(-2)<f(1)6.若函数f(x)=2x2+7x-4,x>0,g(x),x<0为奇函数,则f(g(-1)=. 解析当x<0时,-x>0.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=2(-x)2-7x-4=2x2-7x-4,所以f(x)=-2x2+7x+4.即g(x)=-2x2+7x+4,因此,f(g(-1)=f(-5)=-50-35+4=-81.答案-817.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=. 解析令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,所以h(-2)=f(-2)+8=18.h(2)=-h(-2)=-18,所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.答案-268.已知奇函数f(x)的定义域为-5,5,且在区间0,5上的图象如图所示.(1)画出在区间-5,0上的图象;(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.解(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在-5,5上的图象关于原点对称.由y=f(x)在0,5上的图象,可知它在-5,0上的图象,如图所示.(2)由图象知,使函数值f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).9.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x1,3时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.解当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数,当x>0时,-x<0,则f(-x)=x2-3x+2.故f(x)=-f(-x)=3x-x2-2.当x1,32时,f(x)单调递增;当x32,3时,f(x)单调递减.因此当x1,3时,f(x)max=f32=14,f(x)min=f(3)=-2.m=14,n=-2,从而m-n=94.10.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:f(x)为奇函数;f(x)在定义域上是减函数;f(1-a)+f(1-a2)<0.求实数a的取值范围.解f(x)为奇函数,f(1-a2)=-f(a2-1),f(1-a)+f(1-a2)<0f(1-a)<-f(1-a2)f(1-a)<f(a2-1).f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,1-a>a2-1,-1<1-a<1,-1<a2-1<1,解得0<a<1,故实数a的取值范围为(0,1).能力提升练1.设f(x)是R上的奇函数,且在区间(0,+)上单调递减,若m<0且m+n>0,则()A.f(n)+f(m)<0B.f(n)+f(m)=0C.f(n)+f(m)>0D.f(n)+f(m)的符号不确定解析由m<0且m+n>0可得,n>-m>0.因为函数f(x)在区间(0,+)上单调递减,所以f(n)<f(-m).又因为函数f(x)为奇函数,所以f(-m)=-f(m),故有f(n)<-f(m),即f(n)+f(m)<0.故选A.答案A2.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+)上有最大值5,则F(x)在区间(-,0)上()A.有最小值-5B.有最大值-5C.有最小值-1D.有最大值-3解析函数f(x)和g(x)都是奇函数,F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇函数.又F(x)在区间(0,+)上有最大值5,F(x)-2在区间(0,+)上有最大值3,F(x)-2在区间(-,0)上有最小值-3,F(x)在区间(-,0)上有最小值-1.答案C3.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)0的解集是()A.(-,-4-2,+)B.-4,-20,+)C.(-,-22,+)D.(-,-40,+)解析g(x)=f(x-2)的图象是将函数f(x)的图象向右平移2个单位得到的,又g(x)=f(x-2)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f(0)=g(2)=0,f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,结合函数的图象,由xf(x)0可知x0,f(x)0或x<0,f(x)0.结合图象可知x0或-2x<0或x-4.故不等式xf(x)0的解集是(-,-4-2,+),故选A.答案A4.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x0时,f(x)=-x2+1x+1+t,则t=,f(-2)=. 解析因为函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即-02+10+1+t=0,解得t=-1.所以f(x)=-x2+1x+1-1.所以f(2)=-22+12+1-1=-143.又函数f(x)为R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2)=143.答案-11435.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间2,7上单调递增,在区间3,6上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=. 解析根据题意,f(x)是定义在区间(-8,a)上的奇函数,则a=8.又由f(x)在区间2,7上单调递增,且在区间3,6上的最大值为a=8,最小值为-1,则f(6)=a=8,f(3)=-1.函数f(x)是奇函数,则f(-6)=-8,f(-3)=1.则2f(-6)+f(-3)=2×(-8)+1=-15.答案-156.如果f(x)是定义域为R的偶函数,且当x0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)<5的解集是. 解析因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,所以|x+2|<5,解得-7<x<3,所以不等式f(x+2)的解集是(-7,3).答案(-7,3)7.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为-3,3,且它们在x0,3上的图象如图所示,则不等式f(x)g(x)<0的解集是. 解析不等式f(x)g(x)<0可化为f(x)g(x)<0,由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)(2,3).y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,f(x)g(x)是奇函数,当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1).综上,不等式f(x)g(x)<0的解集是x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3.答案x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<38.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.(1)试求出f(x)的解析式;(2)求出f(x)的值域.解(1)f(x)的图象经过点(-2,0),0=-2+b,即b=2.当x-1时,f(x)=x+2.f(x)为偶函数,当x1时,f(x)=f(-x)=-x+2.当-1x1时,依题意设f(x)=ax2+2(a0),则1=a·(-1)2+2,a=-1.当-1x1时,f(x)=-x2+2.综上,f(x)=x+2,x-1,-x2+2,-1<x<1,-x+2,x1.(2)当x-1时,f(x)=x+2(-,1;当-1<x<1时,f(x)=-x2+2(1,2;当x1时,f(x)=-x+2(-,1.综上所述,f(x)的值域为(-,2.素养培优练已知函数f(x)=x+ab+x2是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且f12=25.(1)用定义证明:f(x)在区间(-1,1)上单调递增;(2)若实数m满足f(m-1)+f(1-2m)<0,求m的取值范围.(1)证明函数f(x)=x+ab+x2是定义在区间(-1,1)上的奇函数,f(0)=0,即ab=0,即a=0.f12=25,b=1,f(x)=x1+x2.任取x1,x2(-1,1),且-1<x1<x2<1,f(x2)-f(x1)=x21+x22x11+x12=(x2-x1)(1-x1x2)(1+x22)(1+x12).x1,x2(-1,1),且x2-x1>0,1-x1x2>0,(x2-x1)(1-x1x2)(1+x22)(1+x12)>0,f(x2)>f(x1),f(x)在区间(-1,1)上单调递增.(2)解f(x)=x1+x2是区间(-1,1)上的奇函数且单调递增,f(m-1)+f(1-2m)<0,f(m-1)<f(2m-1).-1<m-1<1,-1<2m-1<1,m-1<2m-1,综上得0<m<1.