0520高一数学（人教A版）余弦定理的应用-1教案.docx

教 案教学基本信息课题余弦定理的应用学科数学学段： 高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第二册A版 版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月教学设计参与人员姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课的主要知识要素是余弦定理及其推论的应用，核心环节是结合例题，灵活应用余弦定理及其推论解决不同类型的解三角形问题，深化余弦定理及其推论在边角互化中的应用；教学过程中主要培养学生逻辑推理、数学运算的能力.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习回顾同学们好！我是来自北京市第二中学的数学教师傅靖，在上节课中，我们为了探究三角形中已知某些元素，求解其他元素的这一问题，通过几种不同的方法，为同学们推导了三角形中表示边角关系的重要定理：余弦定理及其推论，那么这节课，我们就来继续探究余弦定理的应用.首先，我们来回顾一下余弦定理及其推论. 三角形中的余弦定理，有三个等式，尽管表达式不同，但本质相同，表示的是三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，接着，我们将余弦定理的三个等式中边角元素分离，进行变形，就得到了三个利用三条边来表示角的余弦值的公式：余弦定理的推论.给出本节课学习的核心内容：探究余弦定理及其推论的应用.探究新知实际上，如果我们进一步观察这六个等式的特征，会发现其实每个等式中均含有同一个三角形中的三条边和一个角共四个元素，因此利用等量关系，知道其中的三个元素，选择定理列出方程，就可以求得另一个元素.因此，余弦定理及其推论最常见的应用，就是通过已知三边和一个角这四个元素中的三个元素，求解另一个未知的元素，而一个三角形中有三个角、三条边共六个元素，我们就可以通过求解所有未知的元素，解三角形.那么根据三个已知元素类型的不同，我们选择的公式也不同，所以，我们先对已知三个元素的情况分类说明.对于已知的三条边和一个角，我们不妨按照一类元素的个数来进行梳理，比如我们考虑三个元素中角的个数，只可能是0或1，因此当角的个数为0，即已知三条边时，求解一个角，那么根据我们刚刚的课前回顾可知，此时可以选择余弦定理的推论中的相关公式解决问题，更可喜的是，借助推论，我们不仅能找到一个角，当我们运用了推论中的所有三个公式，我们就可以求出三角形中所有的角，此时也就解出了三角形.而当已知元素中角的个数是1时 ，此时的情况就是已知两条边和一个角，求另一条边，但此时请大家注意，这样的叙述，并不能清晰地表示元素之间的关系，因为边与角之间存在不同的位置关系，因此可能的情况有：已知两边及其夹角，此时我们可以选取含有两边及这个夹角的余弦定理公式，从而求得第三条边长.此外，还有可能的情况是：已知两边及一边的对角，那么这时，我们可以选取的就是含有两边和这个对角的余弦定理公式，也可利用等量关系建立方程求出第三条边，因此两类情况都可利用余弦定理的公式来求边，而当第三边求解之后，我们就得到了三条边，又可以转化为第一类问题，利用余弦定理的推论，求出所有的角，从而解三角形.下面我们针对不同类型的问题，结合例题逐一说明.复习余弦定理及其推论，为本节课探究余弦定理及其推论的应用做铺垫.例题解析请看例题解析已知三条边，求解三角形中的问题：例 在ABC中，已知，求这个三角形的最小内角.对于没有几何图形的问题，我们建议大家不妨先绘制一个示意图来辅助分析，我们在图形上标注好已知条件和问题.此时，已知三角形的三条边，求解三角形中最小的内角.我们不妨先将问题提炼出来，从已知和问题中寻找解题思路.结合课前回顾，我们知道，在三角形中，已知三边求解角的大小，可以利用余弦定理的推论，通过边的关系，找到角的余弦值，再通过角是三角形内角这一条件，确定角的大小.而问题是要求最小的内角，我们则可以分别用余弦定理的推论求出三个角，再通过比较找到最小的值，但这样显然有些麻烦.那有没有更简单的办法呢？实际上，如果我们能通过已知条件先确定谁是最小的内角，再去求解，可能就会简化解题过程.其实我们知道，在三角形中有一个重要的结论，即“大边对大角”，因此，最小角对应的边长应为最短的边长.所以，我们可以根据大边对大角，先确定最小的内角是谁，再利用余弦定理的推论直接求出最小的内角，因此我们不妨就用第二种思路来解决这个问题.请大家看解题过程：因为在ABC中，所以，由三角形中“大边对大角”可知：，所以三角形的最小内角为B；下面我们只需要通过三边大小求出角B的大小即可.由余弦定理的推论得：，分子展开得，此时为了能够消去分母中的无理数项，可将分子提取公因数，得，最终运算得到，从而求得B的余弦值，而由余弦值确定B的大小时，请大家注意，因为在ABC中，所以，最后答题，即三角形的最小内角是.因此小结本题的解题过程，对于已知三条边求角的问题，可利用相关的余弦定理的推论来进行解决，此时，需注意满足要求的角的确定，即“大边对大角”，而在通过余弦定理的推论求出角的余弦值后，还要通过角是三角形内角这一条件确定角的范围，从而求出角的大小.因此这类问题的思路请大家明晰.已知两边及其夹角，求解三角形中的问题：例 在ABC中，a=7，b=8，锐角C满足，求B(精确到1°).同样，我们先绘制示意图来辅助分析，我们在图中标注已知和问题，发现此时问题为已知两边及其夹角的正弦值，求一个角，我们把问题提炼出来，并加以分析，已知两条边长，如果能找到第三条边，就可以类似上题的思路确定角的大小，因此，如果能利用已知条件求出c，就可结合余弦定理的推论求得B，那么如何求得c呢？我们知道，可以选择的依据是相关的余弦定理，通过a，b和C的余弦值，可以求得c，这就需要将已知条件中的sinC转化为cosC，而这一步的实现，可以依靠的是我们同角三角函数的基本关系，即，因此问题的思路就梳理清楚了，我们来看解题过程：因为，且C为锐角，所以可以直接这里请注意，cosC的平方在开方时，本身要考虑取值的正负，而本题中，已给出了C为锐角，因此C的余弦值一定是正数，所以在得到了C的余弦值后我们就可以利用余弦定理，代入数值运算得9.此时请注意，有时有的同学容易忽略平方，错看成，此处要小心.所以最终舍去负值，这样我们得到了三边长度，继续由余弦定理的推论，得，代入数值运算，得，再结合内角的范围，最终利用计算器，算得满足要求的精确到的 .问题得解.因此梳理此类问题，已知两边及其夹角的正弦值，求角的大小，我们可以先利用同角三角函数的基本关系得到两边及其夹角的余弦值，再利用余弦定理的推论求出角的大小.在这一过程中请注意，角的范围决定了余弦值的正负，那么请大家思考一下，如果本题条件中没有指明C是锐角，那么求出C的余弦值应该分别考虑其正负的情况，而如果是负值，最终又会是怎样的结果呢？大家可以课下进行探究。而由角的余弦值确定角的大小时，内角的范围决定了最终角的大小.因此这类问题的解题过程请大家明晰.接下来我们将上题的已知条件进行一些变化来分析.已知两边及一边对角，求解三角形中的问题：例 在ABC中，已知，解这个三角形(边长精确到1cm，角度精确到).先绘制示意图，并标注已知和问题，我们知道，此时问题提炼为已知a，b和A，求解这个三角形，那么通过已知的两边及一边对角这三个元素我们知道，是可以代入到有关的余弦定理中列出等量关系，而由于知道的角是A，所以我们不妨选择含有A的余弦定理，这样列出的应当是关于未知量第三边c的方程，再通过求解方程，得到c，这样，我们就得到了三边长度，而所谓的解三角形，是要知道三角形中三个角、三条边六个元素，因此还差B，C未知，而我们则可以利用得到了三边长度，借助余弦定理的推论，求得B，C，从而知道了所有六个元素，也就解出了这个三角形.我们来看解题过程：首先根据已知条件，我们选择含有两边及一边对角的余弦定理公式，代入数值，得，整理得到，这样我们就得到了关于c的一元二次方程，因此因式分解得，求得或.此时我们解出了两个c值，这意味着有两个c能够满足已知条件给出的边角关系.而这两个c值是否都能够构成三角形，实际上可以做检验，方法就是分别考察求出的两个c值和已知的a，b三边能否构成三角形，我们可以口算检查两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定或均满足题意，因此求得了第三边c.那么既然已知了三条边，下面我们只需继续利用余弦定理的推论，求出其他两个未知的角，即可解出三角形，而既然c有两种结果，我们就应该对问题分类来进行讨论：第一种情况，当时，此时我们不妨先来求B，则由余弦定理的推论，代入三边数值，此时由于B为三角形内角，所以利用计算器，就得到B精确到约等于.当然，接下来我们可以再一次使用余弦定理的推论，算出C的余弦值，从而得到C，但从刚刚的过程中我们发现，本题给出的数值，运算后似乎无法得到某些特殊角的三角函数值，而还需要利用计算器算得角的大小，比较麻烦，那有没有其他的办法求出最后的一个C呢？其实，在ABC中，角的关系存在一个重要的结论，即三个内角的和是，因此由内角和，可得，要求的，从而代入已有的结果，其中由于，因此最终.此时我们就解出了当时这个三角形的所有元素，也就解出了三角形；下面我们同理讨论当时的情况，此时，因此，再利用三角形内角和，算得，从而也得到了当时这个三角形的所有元素，解出了三角形.因此，最后答题，综上，将两种情况分别罗列，问题得解.小结这类问题，已知两边及一边对角求解三角形，我们的思路是，首先利用余弦定理，列出关于第三边的方程，此时需要注意的是公式的选择，我们可以选择含有两边和这个对角的余弦定理公式来建立等量关系.从而，通过求解方程，求得第三条边，此时应当注意方程解的情况与检验，考虑是否需要进行分类讨论，最后，分别利用推论求出角的大小，我们可以先利用公式求出一个角的大小，再利用三角形内角和是求出另一个角，从而解出三角形.因此以上，我们对三类已知某些元素，利用余弦定理及其推论求解三角形的问题进行了分析，我们来梳理一下这类问题：我们从已知元素出发，通过判断已知三个元素的类型来确定思路.若已知三边，可利用余弦定理的推论求出各个角的大小；而如果已知两边和一角，我们要进一步判断边与角的位置关系，但其实无论哪种情况，我们只要选择含有已知角的余弦定理公式即可找到等量的边角关系，求出第三边，从而，通过已知的三条边，转化为第一类问题进一步求出其他未知角，解出三角形.所以通过以上分析，可以看出，余弦定理及推论可解决通过已知三个元素，利用等量关系求解一个元素，从而解三角形的这类问题.这其中，建立恰当的等量关系是问题解决的关键，因此蕴含的方程思想是我们应当把握的重点，那么除此之外，余弦定理及其推论还有哪些其他的应用呢？实际上，由于定理表述的是三角形中边与角元素之间的等量关系，因此，我们也常常利用它们，将边与角进行相互的转化，从而将不同类型的元素统一成同类元素解决问题.比如，常见的题型有以下判断三角形形状，证明恒等式，求解几何计算等，今天我们就以其中的一类代表性问题：判断三角形的形状，来体会利用余弦定理及推论，实现边角互化，从而解决问题的过程.判断三角形的形状：例 在ABC中，已知，试判断ABC的形状.同样的，我们先简单地画一个示意图辅助分析，其中我们知道三边与之间的关系，还知道，即问题为已知边角关系，边边关系，如何判断三角形的形状.那我们不妨从问题入手，想确定一个三角形的形状，我们能做的是根据三角形边或者角的特征来判断.因此要么判断三条边的关系来确定形状，要么判断三个角的关系来确定形状，因此入手点为将已知关系从含有边角两类元素，转化为只含有边、或只含有角一类元素，通过同类元素间的关系再做判断.那么思路就是，要么消去已知关系中的角，得到三条边关系，要么消去已知关系中的边，得到三个角的关系，而这些转化，都离不开我们已有的三角形中边角之间的等量关系，比如余弦定理及推论，而具体边角互化方向的选择，则需要结合已知条件的特点来确定.对于本题，我们不妨分别从两条思路出发，体会边角互化的过程.先看第一种思路，将角转化为边，我们来看解题过程：先将已知条件中涉及边角关系的等式记作（1）式，此时观察（1）式特征，其中只有一个A的余弦，因此可利用推论，将角的余弦转化为三边关系，从而消去角，因此，我们将推论代入（1）式，此时观察等号两侧，发现若将等号左侧的移至右侧，则可与右侧的结合，形成等式左侧分式分子中的，从而可进行下一步的化简运算，因此将该式整理得到，而此时请大家务必注意，如果想将等式两侧同时消去，前提一定要保证其不为0，倘若这一项为0，等式也是成立的，因此我们要分类来进行讨论：第一种情况，当时，等式约分化简，得到，因此等式两边可同时乘以不为零的bc，将分式化为整式，可得，进一步化简，得到这样一个二元二次方程，此时我们可将该式因式分解，得到，但由于b，c均大于0，所以我们能够唯一确定b，c的关系，即，再结合已知中，得，可知ABC 为等腰三角形，此时请注意，这种情况的前提是，我们还要对其等于0的情况单独说明，当时，我们直接得到了三边的关系，即，而这不就是勾股定理吗？因此可知ABC为直角三角形.最后答题，综上，ABC为等腰三角形或直角三角形.我们通过将角转化成边，从而确定了三角形的形状.此外，我们再来尝试将边转化成角，来判断形状，实际上，问题的入手点仍旧是这一边角关系，此时等式中三边均存在，若想将边转化为角，我们不妨考虑先转化一条边来观察等式结构，结合等式中存在的唯一的角A，且A的对边a在该式中只出现了一次，化简起来相对简单，所以我们不妨利用余弦定理表示a，因此将代入，就得到了，进一步化简，得到了，此时，等式两侧均出现了，可以考虑消去，但前提是不能为0，所以当时，化简该式，得到，从而结果与第一种思路类似，因此答案与第一种思路相同；而当时，此时，所以直接得到ABC为直角三角形.综上可得到相同的答案.此处特别说明，请大家注意，由于和不可能同时成立，因此三角形不可能是等腰直角三角形，大家在答题时请特别注意.所以这种思路，我们是尝试利用余弦定理及推论将边转化为角来判断形状，虽然在时，最终仍旧是利用边长关系确定的结果，但当时，我们就需要利用角的大小来确定形状，因此将边转化为角，也是判断三角形形状的一种思路.所以我们来小结一下这类问题，已知边角关系，判断三角形的形状，我们有两种思路可供选择，而这两种思路，都离不开三角形中确定的边角关系，而这也是余弦定理其及推论的重要作用，实际上，这就是数学中重要的化归思想，其实就是将不同类元素转化成同类元素，消除差异，解决问题的过程.而转化方向的选择，则是问题的重点与难点.我们要具体问题具体分析.最终我们可以利用三条边，或三个角关系判断三角形的形状，而这也离不开三角形的一些性质，其实，从余弦定理及推论本身的形式中，我们也可以得到一些简单的结论，这里，我们不妨就从边角两类元素分离的更清楚的余弦定理的推论中来看，比如，我们知道，在ABC中，角A的大小与是一一对应的，这就说明，如果A为锐角，等价于，也就等价于表达式等号右侧的分式大于0，而分母中两边的乘积是恒大于0的，因此就等价于分子，实际上，就是三边关系，因此我们也可以通过转化边角关系，结合这样的结论来判断形状，当然我们还有当A为直角时，等价于分子等于0，即，而这就是勾股定理，也可以确定三角形为直角三角形，最后，当A为钝角时，等价于，等价于分子小于0，即，从而我们也可根据一个角是钝角，来确定三角形是钝角三角形，因此对于判断三角形形状问题的方法，请大家明晰.那从这类问题中我们可以看到余弦定理及推论在边角互化中的有着很重要作用，其中最主要的思想就是化归的思想，我们尽可能消除差异，统一元素来解决问题.以上，是我们本节课的学习内容.结合例题，灵活应用余弦定理及其推论解决不同类型的解三角形问题；深化余弦定理及其推论在边角互化中的应用.课堂小结最后，我们来进行课堂小结.本节课，我们主要列举了余弦定理及其推论的两大类应用中的一些例题.第一类问题，就是利用方程的思想，通过已知的三个元素求解另一个元素，从而解决解三角形及其他问题.而已知元素不同，虽然选择的公式不同，但都可以利用余弦定理及其推论表示的边角关系来解决问题，因此这类应用中，选择恰当的公式，是解决问题的关键.第二类问题，主要是利用化归思想，结合余弦定理及其推论，实现边角之间的相互转化，从而解决问题.而这类问题的关键在于我们要充分结合题目的特征，选择恰当的转化方向来实现消除差异，解决问题的目的.希望同学们课下能够认真总结，加强分析与练习.小结本节课所学知识.余弦定理的应用学习任务单【学习目标】本节课的主要知识要素是余弦定理及其推论的应用，核心环节是结合例题，灵活应用余弦定理及其推论解决不同类型的解三角形问题，深化余弦定理及其推论在边角互化中的应用；教学过程中主要培养学生逻辑推理、数学运算的能力.【课上任务】1余弦定理及其推论的形式和含义是什么？2余弦定理及其推论的六个等式表示哪些元素的等量关系，知道几个元素可以求几个元素？3已知三角形的三条边，如何求解三角形？如何由余弦值确定角的大小？4已知三角形的两条边及它们的夹角的正弦，如何求解三角形？5已知三角形的两条边及一边的对角，如何求解三角形？如何选择余弦定理的公式？6对求出两个解的解三角形问题如何进行取舍检验？7判断三角形形状的方法有哪些？学习过哪些特殊形状的三角形？8利用余弦定理及其推论判断三角形形状的结论有什么？9如何恰当地选择边角转化的方向？【学习疑问】（可选）10哪段文字没看明白？11哪个环节没弄清楚？12有什么困惑？13您想向同伴提出什么问题？14您想向老师提出什么问题？15没看明白的文字，用自己的话怎么说？16本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序是怎样的？17同伴提出的问题，您怎么解决？【课后作业】18作业1(1)在ABC中，已知，锐角A满足，求C(精确到).(2)在ABC中，分别根据下列条件解三角形(角度精确到，边长精确到1cm).，；，.19作业2（个人学习感想：哪个知识最重要，最有用，需要注意的关键之处等）【课后作业参考答案】(1)解：因为，且A为锐角，所以.由余弦定理，得.所以.由余弦定理的推论，得.利用计算器，可得.(2)解：由余弦定理，得.所以.由余弦定理的推论，得.利用计算器，可得.所以.解：由余弦定理的推论，得.利用计算器，可得.由余弦定理的推论，得利用计算器，可得.所以.